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Música
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Hola, soy Agustín Rayo
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Soy catedrático de filosofía en el MIT.
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Y hoy quiero hablarles acerca de cómo
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hay algunos infinitos que son más grandes que otros.
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Hemos visto que hay muchos infinitos,
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que realmente son del mismo tamaño,
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en el senitdo de que todos ellos se pueden poner en
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correspondencia uno a uno entre sí.
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Así que uno se ve tentado a pensar que
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todos los infinitos son del mismo tamaño.
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Que cualesquiera dos infinitos se pueden poner en
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correspondencia uno a uno entre sí.
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Pero de hecho eso no es verdad,
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y ese es el segundo gran teorema que probó Cantor.
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El probó que hay más números reales
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que números naturales.
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Así que si llegaran tantos huéspedes nuevos al hotel
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como números reales,
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no podríamos darles alojamiento.
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De hecho, no podríamos hospedarlos
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incluso si el hotel estuviese vacío desde el prinicipio.
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Les explicaré porqué.
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Lo que probaremos es que hay
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más números reales entre cero y uno
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que números naturales.
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Y la manera en que los probaremos es
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por reducción.
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Supondremos lo opuesto
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de lo que queremos probar
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y derivaremos una contradicción de esa suposición.
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Dado que lo opuesto implica una contradicción,
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no puede ser verdadero.
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Así que la cosa que queríamos probar debe ser verdadera.
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¿Qué es lo opuesto de lo que queremos probar?
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Bien, es la idea de que los números reales
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entre cero y uno
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están en correspondencia uno a uno con los números naturales.
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En particular eso significa que
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podemos asignar un número natural diferente
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a cada número real entre cero y uno.
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Así que supongamos que eso es verdad.
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Aquí hay un diagrama que lo representa.
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Cada número real entre cero y uno
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puede ser representado como una expansión decimal.
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Pueden escribirlo como "0." y luego
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una secuencia infinita de dígitos.
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Así que supongamos que podemos asignar un número
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natural diferente a cada número real entre el cero y el uno.
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Aquí hay un ejemplo de cómo podría suceder eso.
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Al número natural cero le asignamos
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este número real, y al número natural uno
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le asignamos este número real, y así sucesivamente.
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Ahora, lo que haremos
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es que usaremos nuestra lista para crear
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un número malévolo.
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Y así es cómo lo haremos.
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Primero, consideramos la diagonal,
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que es sólo el resultado de escribir "0.", y luego
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la secuencia de dígitos que obtenemos de esta diagonal aquí.
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Y una vez que tenemos esa diagonal,
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definimos su gemelo malvado.
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El gemelo malvado de la diagonal
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es el número que obtienen de escribir
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un siete siempre que la diagonal tenga un tres.
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Y escribir un tres cuando la diagonal tenga
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cualquier cosa que no sea un tres.
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Así es como sería.
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Aquí tenemos un tres, así que escribimos "7."
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Aquí no tenemos un tres, así que escribimos "3".
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Aquí tenemos tres, escribimos "7."
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No es tres, escribimos "3."
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No es tres, escribimos "3." Y así sucesivamente.
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La observación de Cantor es que
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el gemelo malvado no puede estar en nuestra lista.
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¿Por qué no puede estar en nuestra lista?
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Bien, no puede ser el primer miembro de nuestra lista,
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porque el primer miembro de nuestra lista
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tiene un tres en su primera posición,
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pero nuestro número malévolo tiene un siete en esa posición.
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¿Qué hay del segundo?
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Bien, no puede ser el segundo,
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porque el segundo tiene algo
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distinto de un tres en su segunda posición.
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Y nuestro número malévolo tiene un tres.
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Y en general,
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el número malévolo no puede estar en la enésima posición,
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porque cualquiera que sea el número en la enésima posición que tenga
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su enésimo dígito,
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el número malévolo tendrá algo diferente.
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He aquí lo que sucede.
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Habíamos supuesto por reducción,
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que pueden asignar un número natural diferente
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a cada número real entre cero y uno.
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Pero entonces encontramos un número real, el número malévolo,
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que no está en esa lista.
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Esto contradice nuestra suposición de que realmente habíamos asignado
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un número natural a cada número real entre cero y uno.
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Así que nuestra suposición debe ser falsa.
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Y dado que asumimos la negación de
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aquello que queríamos probar,
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se sigue que aquello que queríamos probar es verdadero.
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Hay más números reales entre cero y uno
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que números naturales.
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Así que, hasta ahora,hemos identificado dos tamaños de infinitos.
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El tamaño de los números naturales,
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el cual sabemos que es tan grande como
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el tamaño de los números naturales
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más un elemento adicional,
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y justo tan grande como el tamaño de
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tantas copias de números naturales
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como números naturales hay.
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Y hemos identificado un tamaño más grande.
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El tamaño de los números reales entre el cero y el uno.
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¿Hay otras cosas que sean de ese tamaño?
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Resulta que sí.
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Hay exactamente tantos números reales
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como hay números reales entre cero y uno.
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Y hay exactamente tantos puntos en una línea
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como números reales.
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Y hay exactamente tantos
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puntos en un plano
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como números reales.
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Y hay exactamente tantos
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puntos en un cubo como números reales.
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Y hay exactamente tantos puntos
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en un hipercubo como hay números reales.
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Así que, ¿es el infinito de los números reales
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el infinito más grande que hay?
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Como se ha visto, hay inifinitamente muchos
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tamaños de infinitos.
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Otra cosa que Cantor probó
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es que siempre que tienes un conjunto,
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su conjunto potencia (en otras palabras,
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el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto original)
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es más grande.
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Así que, el conjunto potencia del conjunto de los números ntaurales
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es más grande que el conjunto de los números naturales.
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Y el conjunto potencia del conjunto potencia
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es más grande que el conjunto potencia.
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Y el conjunto potencia del conjunto potencia del conjunto potencia
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es más grande que ese.
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Y así sucesivamente sin tener fin.