< Return to Video

Agustin Rayo: Sizes of Infinity Part 2: Getting Real

  • 0:00 - 0:06
    Música
  • 0:06 - 0:09
    Hola, soy Agustín Rayo
  • 0:09 - 0:12
    Soy catedrático de filosofía en el MIT.
  • 0:12 - 0:14
    Y hoy quiero hablarles acerca de cómo
  • 0:14 - 0:16
    hay algunos infinitos que son más grandes que otros.
  • 0:20 - 0:22
    Hemos visto que hay muchos infinitos,
  • 0:22 - 0:24
    que realmente son del mismo tamaño,
  • 0:24 - 0:26
    en el senitdo de que todos ellos se pueden poner en
  • 0:26 - 0:28
    correspondencia uno a uno entre sí.
  • 0:28 - 0:30
    Así que uno se ve tentado a pensar que
  • 0:30 - 0:33
    todos los infinitos son del mismo tamaño.
  • 0:33 - 0:35
    Que cualesquiera dos infinitos se pueden poner en
  • 0:35 - 0:37
    correspondencia uno a uno entre sí.
  • 0:37 - 0:39
    Pero de hecho eso no es verdad,
  • 0:39 - 0:43
    y ese es el segundo gran teorema que probó Cantor.
  • 0:44 - 0:48
    El probó que hay más números reales
  • 0:48 - 0:50
    que números naturales.
  • 0:50 - 0:54
    Así que si llegaran tantos huéspedes nuevos al hotel
  • 0:54 - 0:56
    como números reales,
  • 0:56 - 0:58
    no podríamos darles alojamiento.
  • 0:58 - 1:00
    De hecho, no podríamos hospedarlos
  • 1:00 - 1:03
    incluso si el hotel estuviese vacío desde el prinicipio.
  • 1:04 - 1:05
    Les explicaré porqué.
  • 1:05 - 1:07
    Lo que probaremos es que hay
  • 1:07 - 1:11
    más números reales entre cero y uno
  • 1:12 - 1:14
    que números naturales.
  • 1:14 - 1:16
    Y la manera en que los probaremos es
  • 1:16 - 1:18
    por reducción.
  • 1:18 - 1:21
    Supondremos lo opuesto
  • 1:21 - 1:24
    de lo que queremos probar
  • 1:24 - 1:26
    y derivaremos una contradicción de esa suposición.
  • 1:28 - 1:31
    Dado que lo opuesto implica una contradicción,
  • 1:31 - 1:32
    no puede ser verdadero.
  • 1:32 - 1:35
    Así que la cosa que queríamos probar debe ser verdadera.
  • 1:37 - 1:39
    ¿Qué es lo opuesto de lo que queremos probar?
  • 1:40 - 1:43
    Bien, es la idea de que los números reales
  • 1:43 - 1:45
    entre cero y uno
  • 1:45 - 1:48
    están en correspondencia uno a uno con los números naturales.
  • 1:48 - 1:50
    En particular eso significa que
  • 1:50 - 1:53
    podemos asignar un número natural diferente
  • 1:53 - 1:56
    a cada número real entre cero y uno.
  • 1:57 - 1:59
    Así que supongamos que eso es verdad.
  • 1:59 - 2:01
    Aquí hay un diagrama que lo representa.
  • 2:01 - 2:04
    Cada número real entre cero y uno
  • 2:04 - 2:08
    puede ser representado como una expansión decimal.
  • 2:09 - 2:12
    Pueden escribirlo como "0." y luego
  • 2:12 - 2:15
    una secuencia infinita de dígitos.
  • 2:15 - 2:17
    Así que supongamos que podemos asignar un número
  • 2:17 - 2:21
    natural diferente a cada número real entre el cero y el uno.
  • 2:21 - 2:24
    Aquí hay un ejemplo de cómo podría suceder eso.
  • 2:24 - 2:26
    Al número natural cero le asignamos
  • 2:26 - 2:29
    este número real, y al número natural uno
  • 2:29 - 2:32
    le asignamos este número real, y así sucesivamente.
  • 2:33 - 2:35
    Ahora, lo que haremos
  • 2:35 - 2:37
    es que usaremos nuestra lista para crear
  • 2:37 - 2:40
    un número malévolo.
  • 2:41 - 2:42
    Y así es cómo lo haremos.
  • 2:43 - 2:45
    Primero, consideramos la diagonal,
  • 2:45 - 2:49
    que es sólo el resultado de escribir "0.", y luego
  • 2:49 - 2:53
    la secuencia de dígitos que obtenemos de esta diagonal aquí.
  • 2:57 - 2:59
    Y una vez que tenemos esa diagonal,
  • 2:59 - 3:01
    definimos su gemelo malvado.
  • 3:01 - 3:03
    El gemelo malvado de la diagonal
  • 3:03 - 3:06
    es el número que obtienen de escribir
  • 3:06 - 3:09
    un siete siempre que la diagonal tenga un tres.
  • 3:09 - 3:14
    Y escribir un tres cuando la diagonal tenga
  • 3:14 - 3:16
    cualquier cosa que no sea un tres.
  • 3:18 - 3:20
    Así es como sería.
  • 3:20 - 3:22
    Aquí tenemos un tres, así que escribimos "7."
  • 3:22 - 3:24
    Aquí no tenemos un tres, así que escribimos "3".
  • 3:24 - 3:27
    Aquí tenemos tres, escribimos "7."
  • 3:27 - 3:28
    No es tres, escribimos "3."
  • 3:28 - 3:31
    No es tres, escribimos "3." Y así sucesivamente.
  • 3:34 - 3:37
    La observación de Cantor es que
  • 3:37 - 3:41
    el gemelo malvado no puede estar en nuestra lista.
  • 3:42 - 3:44
    ¿Por qué no puede estar en nuestra lista?
  • 3:44 - 3:47
    Bien, no puede ser el primer miembro de nuestra lista,
  • 3:47 - 3:50
    porque el primer miembro de nuestra lista
  • 3:50 - 3:52
    tiene un tres en su primera posición,
  • 3:52 - 3:55
    pero nuestro número malévolo tiene un siete en esa posición.
  • 3:55 - 3:57
    ¿Qué hay del segundo?
  • 3:57 - 3:59
    Bien, no puede ser el segundo,
  • 3:59 - 4:01
    porque el segundo tiene algo
  • 4:01 - 4:03
    distinto de un tres en su segunda posición.
  • 4:03 - 4:05
    Y nuestro número malévolo tiene un tres.
  • 4:05 - 4:07
    Y en general,
  • 4:08 - 4:11
    el número malévolo no puede estar en la enésima posición,
  • 4:11 - 4:15
    porque cualquiera que sea el número en la enésima posición que tenga
  • 4:15 - 4:18
    su enésimo dígito,
  • 4:18 - 4:20
    el número malévolo tendrá algo diferente.
  • 4:22 - 4:23
    He aquí lo que sucede.
  • 4:25 - 4:27
    Habíamos supuesto por reducción,
  • 4:27 - 4:29
    que pueden asignar un número natural diferente
  • 4:29 - 4:32
    a cada número real entre cero y uno.
  • 4:32 - 4:35
    Pero entonces encontramos un número real, el número malévolo,
  • 4:35 - 4:37
    que no está en esa lista.
  • 4:37 - 4:40
    Esto contradice nuestra suposición de que realmente habíamos asignado
  • 4:40 - 4:43
    un número natural a cada número real entre cero y uno.
  • 4:43 - 4:46
    Así que nuestra suposición debe ser falsa.
  • 4:46 - 4:48
    Y dado que asumimos la negación de
  • 4:48 - 4:49
    aquello que queríamos probar,
  • 4:49 - 4:52
    se sigue que aquello que queríamos probar es verdadero.
  • 4:52 - 4:55
    Hay más números reales entre cero y uno
  • 4:55 - 4:57
    que números naturales.
  • 4:59 - 5:02
    Así que, hasta ahora,hemos identificado dos tamaños de infinitos.
  • 5:04 - 5:05
    El tamaño de los números naturales,
  • 5:05 - 5:08
    el cual sabemos que es tan grande como
  • 5:08 - 5:11
    el tamaño de los números naturales
  • 5:11 - 5:13
    más un elemento adicional,
  • 5:13 - 5:17
    y justo tan grande como el tamaño de
  • 5:17 - 5:20
    tantas copias de números naturales
  • 5:20 - 5:22
    como números naturales hay.
  • 5:23 - 5:26
    Y hemos identificado un tamaño más grande.
  • 5:26 - 5:28
    El tamaño de los números reales entre el cero y el uno.
  • 5:28 - 5:31
    ¿Hay otras cosas que sean de ese tamaño?
  • 5:31 - 5:34
    Resulta que sí.
  • 5:35 - 5:38
    Hay exactamente tantos números reales
  • 5:38 - 5:40
    como hay números reales entre cero y uno.
  • 5:40 - 5:44
    Y hay exactamente tantos puntos en una línea
  • 5:44 - 5:46
    como números reales.
  • 5:46 - 5:48
    Y hay exactamente tantos
  • 5:48 - 5:51
    puntos en un plano
  • 5:51 - 5:52
    como números reales.
  • 5:52 - 5:54
    Y hay exactamente tantos
  • 5:54 - 5:57
    puntos en un cubo como números reales.
  • 5:57 - 6:00
    Y hay exactamente tantos puntos
  • 6:00 - 6:02
    en un hipercubo como hay números reales.
  • 6:05 - 6:07
    Así que, ¿es el infinito de los números reales
  • 6:07 - 6:09
    el infinito más grande que hay?
  • 6:11 - 6:13
    Como se ha visto, hay inifinitamente muchos
  • 6:13 - 6:15
    tamaños de infinitos.
  • 6:15 - 6:16
    Otra cosa que Cantor probó
  • 6:16 - 6:18
    es que siempre que tienes un conjunto,
  • 6:18 - 6:21
    su conjunto potencia (en otras palabras,
  • 6:21 - 6:24
    el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto original)
  • 6:24 - 6:26
    es más grande.
  • 6:27 - 6:30
    Así que, el conjunto potencia del conjunto de los números ntaurales
  • 6:30 - 6:32
    es más grande que el conjunto de los números naturales.
  • 6:32 - 6:34
    Y el conjunto potencia del conjunto potencia
  • 6:34 - 6:36
    es más grande que el conjunto potencia.
  • 6:36 - 6:38
    Y el conjunto potencia del conjunto potencia del conjunto potencia
  • 6:38 - 6:40
    es más grande que ese.
  • 6:40 - 6:43
    Y así sucesivamente sin tener fin.
Title:
Agustin Rayo: Sizes of Infinity Part 2: Getting Real
Description:

more » « less
Video Language:
English
Duration:
06:52

Spanish subtitles

Revisions