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Combinations

  • 0:00 - 0:05
    上個影片中 我們分析了共有多少種方法
  • 0:05 - 0:11
    讓五個人坐三把椅子
  • 0:11 - 0:14
    例如 如果這是第一把椅子
  • 0:14 - 0:16
    這是第二把 這是第三把
  • 0:16 - 0:19
    我們說第一把椅子可以由五個人中任一個坐
  • 0:19 - 0:21
    沒有人坐下
  • 0:21 - 0:23
    還剩下四個人沒有座位
  • 0:23 - 0:26
    第二把椅子可由四個人中任意一個坐
  • 0:26 - 0:28
    還剩下三個人沒有座位
  • 0:28 - 0:30
    可以讓其中任何一個人坐第三把椅子
  • 0:30 - 0:34
    所有的排列
  • 0:34 - 0:36
    不同人坐在不同椅子上的方式總數
  • 0:36 - 0:37
    如果我們考慮順序
  • 0:37 - 0:41
    如果考慮不同的人坐在了哪個椅子上
  • 0:41 - 0:43
    總數是5乘以4乘以3
  • 0:43 - 0:47
    另一種思考方法是 5乘以4乘以3
  • 0:47 - 0:49
    這就相當於
  • 0:49 - 0:59
    等於5乘以4乘以3乘以2乘以1除以什麽呢？
  • 0:59 - 1:02
    除以21
  • 1:02 - 1:09
    也就相當於5的階乘除以2的階乘
  • 1:09 - 1:11
    2從哪裏來的呢？
  • 1:11 - 1:14
    2與5和3有什麽關係呢？
  • 1:14 - 1:16
    這兩種分析有什麽區別？
  • 1:16 - 1:17
    這兩個代表相同的結果
  • 1:17 - 1:28
    等於5的階乘除以5-3的階乘
  • 1:28 - 1:30
    總之 這代表我們解題的一般思路
  • 1:30 - 1:37
    在5樣東西中選擇3個放到3個位置中
  • 1:37 - 1:39
    共有多少種排列呢？
  • 1:39 - 1:41
    一般公式是
  • 1:41 - 1:43
    我們在上個影片中學過了
  • 1:43 - 1:44
    換種顏色
  • 1:44 - 1:51
    如果我們要從n樣東西中選出k樣放到k個位置中
  • 1:51 - 1:53
    並且k必須少於等於n
  • 1:53 - 1:55
    實際上 並不需要這個限定條件
  • 1:55 - 1:56
    對於現在的目的來說 將假設k少於等於n
  • 1:56 - 2:00
    因爲如果沒有這個條件 公式將行不通
  • 2:00 - 2:08
    排列總數等於n的階乘除以n-k的階乘
  • 2:08 - 2:11
    我總是發現記住這個公式比
  • 2:11 - 2:12
    根據實際情況推導更難
  • 2:12 - 2:14
    題目說 哦 大家知道 有5個人
  • 2:14 - 2:16
    可以將5個東西放在這裡
  • 2:16 - 2:18
    一旦這裡放了一樣東西
  • 2:18 - 2:19
    還剩下4樣東西可以放
  • 2:19 - 2:20
    然後還剩下三樣東西可以放
  • 2:20 - 2:24
    我思考的方式是
  • 2:24 - 2:29
    在n的階乘中計算前k個元的積
  • 2:29 - 2:30
    或者在這種情況下
  • 2:30 - 2:32
    在5的階乘中計算前3個元的乘積
  • 2:32 - 2:34
    5乘以4乘以3
  • 2:34 - 2:37
    這是我思考排列的方式
  • 2:37 - 2:41
    如果我們考慮
  • 2:41 - 2:47
    比方說 這是人A B C D E
  • 2:47 - 2:50
    所以這是5個人 他們要坐到這些椅子上
  • 2:50 - 2:57
    如果我們考慮排列ABC
  • 2:57 - 3:02
    與排列ACB不相同
  • 3:02 - 3:05
    不同於排列- 我不知道
  • 3:05 - 3:13
    BAC 不同於排列BCA
  • 3:13 - 3:17
    記住 當我們這麽做時 實際上我們考慮了
  • 3:17 - 3:18
    他們坐在了哪個位置
  • 3:18 - 3:22
    上個影片中 我們多算了
  • 3:22 - 3:28
    因爲A坐第一個位置
  • 3:28 - 3:29
    並且B坐第二個位置是有關係的
  • 3:29 - 3:32
    如果交換了位置 還要計算在內 對嗎？
  • 3:32 - 3:32
    這是他們交換位置的情況
  • 3:32 - 3:34
    但如果我們不考率這種情形會怎樣呢？
  • 3:34 - 3:36
    假設我們不考慮哪個人坐在哪個位置會怎樣呢？
  • 3:36 - 3:38
    我們只要知道 5個人坐下的方式
  • 3:38 - 3:40
    有多少種
  • 3:40 - 3:46
    所以我們要將A B C坐下的所有情況都
  • 3:46 - 3:49
    當成一種情況
  • 3:49 - 3:52
    我們不關心哪個人坐在了哪個位置
  • 3:52 - 3:55
    我們只要關心是哪三個人坐下了
  • 3:55 - 3:57
    這是一種情況 是五個人坐下的一個子集
  • 3:57 - 4:00
    所以問題不是
  • 4:00 - 4:01
    有多少種排列
  • 4:01 - 4:04
    或說多少種方法能夠讓五個人坐下
  • 4:04 - 4:06
    問題變成
  • 4:06 - 4:10
    從5個人中選出3個人 有多少種選法？
  • 4:10 - 4:15
    我知道我有點過了
  • 4:15 - 4:18
    這本質上就是一個組合
  • 4:18 - 4:20
    組合就是
  • 4:20 - 4:22
    不用考慮順序的排列
  • 4:22 - 4:24
    我們怎麽知道的呢？
  • 4:24 - 4:26
    當我們用這個公式
  • 4:26 - 4:30
    計算排列時
  • 4:30 - 4:33
    例如 我們考慮ABC ACB BAC
  • 4:33 - 4:34
    BCA 大家看看
  • 4:34 - 4:37
    應該還有兩種排列
  • 4:42 - 4:47
    我們將這6種作爲不同的排列
  • 4:47 - 4:49
    我們將這6種作爲不同的排列
  • 4:49 - 4:53
    這本質上是同一個組合
  • 4:53 - 4:56
    因爲我們不考慮順序
  • 4:56 - 5:00
    所以對於坐在這些位置上的任意3個人
  • 5:00 - 5:02
    實際上有6種排列
  • 5:02 - 5:04
    在做排列時我們要全部考慮
  • 5:04 - 5:05
    如果我們要做組合題
  • 5:05 - 5:08
    要除以將3個人安排在3個位置上的
  • 5:08 - 5:11
    所有排列總數
  • 5:11 - 5:12
    這就是我們剛才做的
  • 5:12 - 5:14
    那麽有多少種方法可以
  • 5:14 - 5:16
    安排3個人坐在3個位置上呢？
  • 5:16 - 5:19
    這是另一個排列問題
  • 5:19 - 5:22
    第一個位置可以坐3個人中的任何一個
  • 5:22 - 5:25
    第二個位置可以坐2個人中的一個 最後一個位置
  • 5:25 - 5:26
    還剩下一個人
  • 5:26 - 5:30
    所以排列總數等於3的階乘 也就是6
  • 5:30 - 5:35
    這等於3的階乘 也就是6
  • 5:35 - 5:37
    希望大家都明白了
  • 5:37 - 5:39
    我要說的是
  • 5:39 - 5:41
    當大家做排列時 要考慮
  • 5:41 - 5:46
    人們被安排的所有不同順序
  • 5:46 - 5:46
    我現在要說的是
  • 5:46 - 5:49
    有多少種方式安排每個人的座位呢？
  • 5:49 - 5:52
    答案是座位數的階乘
  • 5:52 - 5:55
    因爲如果把三個人放到三個位置 或者比方說
  • 5:55 - 5:57
    把四個人放到四個位置
  • 5:57 - 5:58
    第四個位置可以放4個人中的任意一個
  • 5:58 - 6:00
    第二個位置放剩余三個人中的任意一個
  • 6:00 - 6:02
    第三個位置放剩余三個人中的任意一個
  • 6:02 - 6:04
    最後一個位置只有一個人可供選擇
  • 6:04 - 6:07
    所以位置數量的階乘就是
  • 6:07 - 6:09
    我們要計算的排列
  • 6:09 - 6:10
    當人數和位置數相同時
  • 6:10 - 6:13
    就像是搶椅子遊戲 每人占一個位置
  • 6:13 - 6:15
    爲了算出組合數
  • 6:15 - 6:17
    如果我們要知道有多少人-
  • 6:17 - 6:20
    比方說如果有5個人
  • 6:20 - 6:25
    有多少種方法選3個人坐下呢？
  • 6:25 - 6:27
    我們不需要雙重考慮
  • 6:27 - 6:29
    不需要多次考慮同一組人
  • 6:29 - 6:30
    我不知道該用什麽詞表達
  • 6:30 - 6:33
    將某個東西考慮6次
  • 6:33 - 6:38
    這相當於將排列
  • 6:38 - 6:43
    除以我們額外考慮的次數
  • 6:43 - 6:46
    我們除以
  • 6:46 - 6:48
    3個人坐到3個位置上所有方式數
  • 6:48 - 6:50
    這是3的階乘
  • 6:50 - 6:54
    希望大家都明白了
  • 6:54 - 6:56
    或許我應該在另外的影片中多做些例題
  • 6:56 - 6:58
    如果大家感覺更困惑了
  • 6:58 - 7:00
    一定要告訴我
  • 7:00 - 7:02
    總之 如果我們說
  • 7:02 - 7:07
    共有多少種方法從n個東西中選擇呢？
  • 7:07 - 7:10
    或說從n個東西中選擇r個有多少種組合呢？
  • 7:10 - 7:15
    在這裡r少於等於n
  • 7:15 - 7:19
    等於從n個東西中選r個放入r個位置的排列總數
  • 7:19 - 7:25
    除以r的階乘
  • 7:25 - 7:29
    我們要除以
  • 7:29 - 7:32
    r個位置自身可被排列的總數
  • 7:32 - 7:34
    因爲我們不想將它們作爲不同情況考慮
  • 7:34 - 7:36
    如果回到上面的公式
  • 7:36 - 7:38
    好的 這是k 但現在我們把它稱爲r
  • 7:38 - 7:44
    也就相當於 排列數是
  • 7:44 - 7:51
    n的階乘除以n-r的階乘
  • 7:51 - 7:54
    現在我們要將它們都除以r的階乘
  • 7:54 - 7:56
    等於 寫下這個
  • 7:56 - 8:01
    這常寫成從n中選擇r
  • 8:01 - 8:04
    另一種書寫方式是n選r
  • 8:04 - 8:05
    這個稱爲二項式係數
  • 8:05 - 8:08
    我們同樣要在這個部分做一係列例題
  • 8:08 - 8:11
    實際上當大家把多項式按權展開時
  • 8:11 - 8:13
    這會出現
  • 8:13 - 8:20
    這等於n的階乘除以r的階乘
  • 8:20 - 8:24
    除以n-r的階乘
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    大家可以記住這個式子
  • 8:26 - 8:26
    大家知道 這很有用
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    如果你們想在考試時快速做題
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    但思考這個公式是怎麽來的非常重要
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    n的階乘除以n-r的階乘
  • 8:35 - 8:37
    這是個排列
  • 8:37 - 8:39
    這是什麽呢？
  • 8:39 - 8:41
    這是前r個
  • 8:41 - 8:45
    我想大家可以稱爲前r個因子
  • 8:45 - 8:48
    n的階乘中最大的r個因子
  • 8:48 - 8:48
    這就是這部分
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    當大家做組合題時
  • 8:50 - 8:52
    要除以r的階乘
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    因爲我們要除以
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    人們坐到r個位置上的
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    所有不同排列
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    或說 球可以放在r個杯中
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    在這裡 如果大家要知道
  • 9:02 - 9:06
    從5個人或從5封信中選三個
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    共有多少種方法
  • 9:09 - 9:17
    結果是5的階乘除以3的階乘
  • 9:17 - 9:21
    乘以5-3的階乘
  • 9:21 - 9:27
    也就是5乘以3乘以2乘以1 除以
  • 9:27 - 9:28
    3的階乘是6
  • 9:28 - 9:30
    暫且先放到一邊
  • 9:30 - 9:32
    除以 這是2的階乘
  • 9:32 - 9:33
    2乘以1
  • 9:33 - 9:36
    注意 這裡是一個排列
  • 9:36 - 9:40
    這部分和最小的兩個因子抵消了
  • 9:40 - 9:42
    得到5乘以3
  • 9:42 - 9:44
    哦 抱歉 這是4
  • 9:44 - 9:48
    5乘以4乘以3 就是排列的總數
  • 9:48 - 9:50
    然後除以6
  • 9:50 - 9:55
    因爲每種組合共有6個排列
  • 9:55 - 9:57
    或許這讓大家困惑了
  • 9:57 - 10:00
    但無論如何 我們得到5乘以4乘以3除以6
  • 10:00 - 10:01
    這是多少？
  • 10:01 - 10:08
    5乘以12除以6 也就是5乘以2
  • 10:08 - 10:11
    從5樣東西中選擇3個
  • 10:11 - 10:14
    共有10種選法
  • 10:14 - 10:15
    下次影片再見
Title:
Combinations
Description:

Introduction to combinations
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Video Language:
English
Duration:
10:16
David Chiu added a translation
yleleanor67 edited Chinese, Traditional subtitles for Combinations
chezisu1988 added a translation

Chinese, Traditional subtitles

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