< Return to Video

Combinations

  • 0:00 - 0:05
    上个视频中 我们分析了共有多少种方法
  • 0:05 - 0:11
    让五个人坐三把椅子
  • 0:11 - 0:14
    例如 如果这是第一把椅子
  • 0:14 - 0:16
    这是第二把 这是第三把
  • 0:16 - 0:19
    我们说第一把椅子可以由五个人中任一个坐
  • 0:19 - 0:21
    没有人坐下
  • 0:21 - 0:23
    还剩下四个人没有座位
  • 0:23 - 0:26
    第二把椅子可由四个人中任意一个坐
  • 0:26 - 0:28
    还剩下三个人没有座位
  • 0:28 - 0:30
    可以让其中任何一个人坐第三把椅子
  • 0:30 - 0:34
    所有的排列
  • 0:34 - 0:36
    不同人坐在不同椅子上的方式总数
  • 0:36 - 0:37
    如果我们考虑顺序
  • 0:37 - 0:41
    如果考虑不同的人坐在了哪个椅子上
  • 0:41 - 0:43
    总数是5乘以4乘以3
  • 0:43 - 0:47
    另一种思考方法是 5乘以4乘以3
  • 0:47 - 0:49
    这就相当于
  • 0:49 - 0:59
    等于5乘以4乘以3乘以2乘以1除以什么呢？
  • 0:59 - 1:02
    除以2*1
  • 1:02 - 1:09
    也就相当于5的阶乘除以2的阶乘
  • 1:09 - 1:11
    2从哪里来的呢？
  • 1:11 - 1:14
    2与5和3有什么关系呢？
  • 1:14 - 1:16
    这两种分析有什么区别？
  • 1:16 - 1:17
    这两个代表相同的结果
  • 1:17 - 1:28
    等于5的阶乘除以5-3的阶乘
  • 1:28 - 1:30
    总之 这代表我们解题的一般思路
  • 1:30 - 1:37
    在5样东西中选择3个放到3个位置中
  • 1:37 - 1:39
    共有多少种排列呢？
  • 1:39 - 1:41
    一般公式是
  • 1:41 - 1:43
    我们在上个视频中学过了
  • 1:43 - 1:44
    换种颜色
  • 1:44 - 1:51
    如果我们要从n样东西中选出k样放到k个位置中
  • 1:51 - 1:53
    并且k必须小于等于n
  • 1:53 - 1:55
    实际上 并不需要这个限定条件
  • 1:55 - 1:56
    对于现在的目的来说 将假设k小于等于n
  • 1:56 - 2:00
    因为如果没有这个条件 公式将行不通
  • 2:00 - 2:08
    排列总数等于n的阶乘除以n-k的阶乘
  • 2:08 - 2:11
    我总是发现记住这个公式比
  • 2:11 - 2:12
    根据实际情况推导更难
  • 2:12 - 2:14
    题目说 哦 大家知道 有5个人
  • 2:14 - 2:16
    可以将5个东西放在这里
  • 2:16 - 2:18
    一旦这里放了一样东西
  • 2:18 - 2:19
    还剩下4样东西可以放
  • 2:19 - 2:20
    然后还剩下三样东西可以放
  • 2:20 - 2:24
    我思考的方式是
  • 2:24 - 2:29
    在n的阶乘中计算前k个元的积
  • 2:29 - 2:30
    或者在这种情况下
  • 2:30 - 2:32
    在5的阶乘中计算前3个元的乘积
  • 2:32 - 2:34
    5乘以4乘以3
  • 2:34 - 2:37
    这是我思考排列的方式
  • 2:37 - 2:41
    如果我们考虑
  • 2:41 - 2:47
    比方说 这是人A B C D E
  • 2:47 - 2:50
    所以这是5个人 他们要坐到这些椅子上
  • 2:50 - 2:57
    如果我们考虑排列ABC
  • 2:57 - 3:02
    与排列ACB不相同
  • 3:02 - 3:05
    不同于排列- 我不知道
  • 3:05 - 3:13
    BAC 不同于排列BCA
  • 3:13 - 3:17
    记住 当我们这么做时 实际上我们考虑了
  • 3:17 - 3:18
    他们坐在了哪个位置
  • 3:18 - 3:22
    上个视频中 我们多算了
  • 3:22 - 3:28
    因为A坐第一个位置
  • 3:28 - 3:29
    并且B坐第二个位置是有关系的
  • 3:29 - 3:32
    如果交换了位置 还要计算在内 对吗？
  • 3:32 - 3:32
    这是他们交换位置的情况
  • 3:32 - 3:34
    但如果我们不考率这种情形会怎样呢？
  • 3:34 - 3:36
    假设我们不考虑哪个人坐在哪个位置会怎样呢？
  • 3:36 - 3:38
    我们只要知道 5个人坐下的方式
  • 3:38 - 3:40
    有多少种
  • 3:40 - 3:46
    所以我们要将A B C坐下的所有情况都
  • 3:46 - 3:49
    当成一种情况
  • 3:49 - 3:52
    我们不关心哪个人坐在了哪个位置
  • 3:52 - 3:55
    我们只要关心是哪三个人坐下了
  • 3:55 - 3:57
    这是一种情况 是五个人坐下的一个子集
  • 3:57 - 4:00
    所以问题不是
  • 4:00 - 4:01
    有多少种排列
  • 4:01 - 4:04
    或说多少种方法能够让五个人坐下
  • 4:04 - 4:06
    问题变成
  • 4:06 - 4:10
    从5个人中选出3个人 有多少种选法？
  • 4:10 - 4:15
    我知道我有点过了
  • 4:15 - 4:18
    这本质上就是一个组合
  • 4:18 - 4:20
    组合就是
  • 4:20 - 4:22
    不用考虑顺序的排列
  • 4:22 - 4:24
    我们怎么知道的呢？
  • 4:24 - 4:26
    当我们用这个公式
  • 4:26 - 4:30
    计算排列时
  • 4:30 - 4:33
    例如 我们考虑ABC ACB BAC
  • 4:33 - 4:34
    BCA 大家看看
  • 4:34 - 4:37
    应该还有两种排列
  • 4:42 - 4:47
    我们将这6种作为不同的排列
  • 4:47 - 4:49
    我们将这6种作为不同的排列
  • 4:49 - 4:53
    这本质上是同一个组合
  • 4:53 - 4:56
    因为我们不考虑顺序
  • 4:56 - 5:00
    所以对于坐在这些位置上的任意3个人
  • 5:00 - 5:02
    实际上有6种排列
  • 5:02 - 5:04
    在做排列时我们要全部考虑
  • 5:04 - 5:05
    如果我们要做组合题
  • 5:05 - 5:08
    要除以将3个人安排在3个位置上的
  • 5:08 - 5:11
    所有排列总数
  • 5:11 - 5:12
    这就是我们刚才做的
  • 5:12 - 5:14
    那么有多少种方法可以
  • 5:14 - 5:16
    安排3个人坐在3个位置上呢？
  • 5:16 - 5:19
    这是另一个排列问题
  • 5:19 - 5:22
    第一个位置可以坐3个人中的任何一个
  • 5:22 - 5:25
    第二个位置可以坐2个人中的一个 最后一个位置
  • 5:25 - 5:26
    还剩下一个人
  • 5:26 - 5:30
    所以排列总数等于3的阶乘 也就是6
  • 5:30 - 5:35
    这等于3的阶乘 也就是6
  • 5:35 - 5:37
    希望大家都明白了
  • 5:37 - 5:39
    我要说的是
  • 5:39 - 5:41
    当大家做排列时 要考虑
  • 5:41 - 5:46
    人们被安排的所有不同顺序
  • 5:46 - 5:46
    我现在要说的是
  • 5:46 - 5:49
    有多少种方式安排每个人的座位呢？
  • 5:49 - 5:52
    答案是座位数的阶乘
  • 5:52 - 5:55
    因为如果把三个人放到三个位置 或者比方说
  • 5:55 - 5:57
    把四个人放到四个位置
  • 5:57 - 5:58
    第四个位置可以放4个人中的任意一个
  • 5:58 - 6:00
    第二个位置放剩余三个人中的任意一个
  • 6:00 - 6:02
    第三个位置放剩余三个人中的任意一个
  • 6:02 - 6:04
    最后一个位置只有一个人可供选择
  • 6:04 - 6:07
    所以位置数量的阶乘就是
  • 6:07 - 6:09
    我们要计算的排列
  • 6:09 - 6:10
    当人数和位置数相同时
  • 6:10 - 6:13
    就像是抢椅子游戏 每人占一个位置
  • 6:13 - 6:15
    为了算出组合数
  • 6:15 - 6:17
    如果我们要知道有多少人-
  • 6:17 - 6:20
    比方说如果有5个人
  • 6:20 - 6:25
    有多少种方法选3个人坐下呢？
  • 6:25 - 6:27
    我们不需要双重考虑
  • 6:27 - 6:29
    不需要多次考虑同一组人
  • 6:29 - 6:30
    我不知道该用什么词表达
  • 6:30 - 6:33
    将某个东西考虑6次
  • 6:33 - 6:38
    这相当于将排列
  • 6:38 - 6:43
    除以我们额外考虑的次数
  • 6:43 - 6:46
    我们除以
  • 6:46 - 6:48
    3个人坐到3个位置上所有方式数
  • 6:48 - 6:50
    这是3的阶乘
  • 6:50 - 6:54
    希望大家都明白了
  • 6:54 - 6:56
    或许我应该在另外的视频中多做些例题
  • 6:56 - 6:58
    如果大家感觉更困惑了
  • 6:58 - 7:00
    一定要告诉我
  • 7:00 - 7:02
    总之 如果我们说
  • 7:02 - 7:07
    共有多少种方法从n个东西中选择呢？
  • 7:07 - 7:10
    或说从n个东西中选择r个有多少种组合呢？
  • 7:10 - 7:15
    在这里r小于等于n
  • 7:15 - 7:19
    等于从n个东西中选r个放入r个位置的排列总数
  • 7:19 - 7:25
    除以r的阶乘
  • 7:25 - 7:29
    我们要除以
  • 7:29 - 7:32
    r个位置自身可被排列的总数
  • 7:32 - 7:34
    因为我们不想将它们作为不同情况考虑
  • 7:34 - 7:36
    如果回到上面的公式
  • 7:36 - 7:38
    好的 这是k 但现在我们把它称为r
  • 7:38 - 7:44
    也就相当于 排列数是
  • 7:44 - 7:51
    n的阶乘除以n-r的阶乘
  • 7:51 - 7:54
    现在我们要将它们都除以r的阶乘
  • 7:54 - 7:56
    等于 写下这个
  • 7:56 - 8:01
    这常写成从n中选择r
  • 8:01 - 8:04
    另一种书写方式是n选r
  • 8:04 - 8:05
    这个称为二项式系数
  • 8:05 - 8:08
    我们同样要在这个部分做一系列例题
  • 8:08 - 8:11
    实际上当大家把多项式按权展开时
  • 8:11 - 8:13
    这会出现
  • 8:13 - 8:20
    这等于n的阶乘除以r的阶乘
  • 8:20 - 8:24
    除以n-r的阶乘
  • 8:24 - 8:26
    大家可以记住这个式子
  • 8:26 - 8:26
    大家知道 这很有用
  • 8:26 - 8:28
    如果你们想在考试时快速做题
  • 8:28 - 8:31
    但思考这个公式是怎么来的非常重要
  • 8:31 - 8:35
    n的阶乘除以n-r的阶乘
  • 8:35 - 8:37
    这是个排列
  • 8:37 - 8:39
    这是什么呢？
  • 8:39 - 8:41
    这是前r个
  • 8:41 - 8:45
    我想大家可以称为前r个因子
  • 8:45 - 8:48
    n的阶乘中最大的r个因子
  • 8:48 - 8:48
    这就是这部分
  • 8:48 - 8:50
    当大家做组合题时
  • 8:50 - 8:52
    要除以r的阶乘
  • 8:52 - 8:54
    因为我们要除以
  • 8:54 - 8:56
    人们坐到r个位置上的
  • 8:56 - 8:58
    所有不同排列
  • 8:58 - 9:00
    或说 球可以放在r个杯中
  • 9:00 - 9:02
    在这里 如果大家要知道
  • 9:02 - 9:06
    从5个人或从5封信中选三个
  • 9:06 - 9:09
    共有多少种方法
  • 9:09 - 9:17
    结果是5的阶乘除以3的阶乘
  • 9:17 - 9:21
    乘以5-3的阶乘
  • 9:21 - 9:27
    也就是5乘以3乘以2乘以1 除以
  • 9:27 - 9:28
    3的阶乘是6
  • 9:28 - 9:30
    暂且先放到一边
  • 9:30 - 9:32
    除以 这是2的阶乘
  • 9:32 - 9:33
    2乘以1
  • 9:33 - 9:36
    注意 这里是一个排列
  • 9:36 - 9:40
    这部分和最小的两个因子抵消了
  • 9:40 - 9:42
    得到5乘以3
  • 9:42 - 9:44
    哦 抱歉 这是4
  • 9:44 - 9:48
    5乘以4乘以3 就是排列的总数
  • 9:48 - 9:50
    然后除以6
  • 9:50 - 9:55
    因为每种组合共有6个排列
  • 9:55 - 9:57
    或许这让大家困惑了
  • 9:57 - 10:00
    但无论如何 我们得到5乘以4乘以3除以6
  • 10:00 - 10:01
    这是多少？
  • 10:01 - 10:08
    5乘以12除以6 也就是5乘以2
  • 10:08 - 10:11
    从5样东西中选择3个
  • 10:11 - 10:14
    共有10种选法
  • 10:14 - 10:15
    下次视频再见
Title:
Combinations
Description:

Introduction to combinations
more » « less
Video Language:
English
Duration:
10:16
chezisu1988 added a translation

Chinese, Simplified subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.