-
-
-
Bir önceki videoda, örneğin, 5 kişinin 3 sandalyeye
-
kaç farklı şekilde oturabileceğinin nasıl bulunduğunu gördük.
-
Nasıl yapıyorduk? Bu 1. sandalye, bu 2. sandalye,
-
bu da 3. sandalye olsun.
-
Henüz hiç kimse oturmadığı için, 1. sandalyeye
-
5 kişi oturabilir.
-
Geriye 4 kişi kaldığı için, 2. sandalyeye
-
4 farklı kişi yazabiliriz.
-
Geriye kalan kişi sayısı şimdi 3 olduğu için,
-
3. sandalyeye 3 yazarız.
-
Toplam permütasyon sayısı, yani, hangi kişinin
-
hangi sandalyeye oturduğu önemli olmak üzere,
-
sandalyelere kaç farklı şekilde oturulabileceğinin sayısı,
-
5 çarpı 4 çarpı 3'tür.
-
Bir diğer bakış açısı da şudur: 5 çarpı 4
-
çarpı 3, neye eşittir?
-
5 çarpı 4 çarpı 3 çarpı 2 çarpı 1, bölü... Burası nedir?
-
Bölü, 2 çarpı 1'dir.
-
Bu ne demektir? 5 faktöriyel, bölü, 2 faktöriyel.
-
Peki, bu 2 nereden geliyor?
-
2'nin, 5 ve 3 ile olan bağlantısı nedir?
-
5 ile 3'ün farkı nedir?
-
O hâlde, burası eşittir; 5 faktöriyel,
-
bölü, "5 eksi 3" faktöriyel.
-
Bu da; 5 şeyin, 3 boşluğa, 3 ayrı konuma
-
kaç adet permütasyonla yerleştirilebileceğinin
-
genel gösterimidir.
-
Tabii bir de genel formülümüz var.
-
Önceki videoda öğrenmiştik.
-
Renk değiştireyim.
-
"n" adet şeyi, "k" adet boşluğa yerleştirmek istiyorsak...
-
"k" burada "n"den küçüktür veya ona eşittir.
-
Aslında öyle olmak zorunda değil
-
ama şu anda öyle kabul ediyoruz,
-
yoksa formülümüz hata verir.
-
Eşittir; "n" faktöriyel, bölü, "n eksi k" faktöriyel.
-
Bu formülü ezberlemenin, boşluğa yerleştirme yönteminden
-
daha zor olduğunu düşünüyorum.
-
Bu çok kolay. 5 kişi var.
-
Bunların 5'i de buraya gelebilir.
-
Biri gidince, geriye 4 olasılık kalır.
-
Biri daha gidince, geriye 3 olasılık kalır.
-
Bir diğer deyişle, bunun kısa yolu,
-
"n" faktöriyelin, ilk "k" adet çarpanını
-
hesaplamaktır.
-
Bu soruda, 5 faktöriyelin
-
ilk 3 çarpanını alıyoruz.
-
5 çarpı 4 çarpı 3.
-
Permütasyonları ben böyle bulurum.
-
Şimdi de şöyle düşünelim: Diyelim ki,
-
bunlar 5 kişi olsun. Adları da; A, B, C, D, E olsun.
-
Bunlar, sandalyelere oturacak kişiler olsun.
-
Az önce gösterdiğim yöntem; ABC permütasyonu,
-
ACB permütasyonundan farklıysa kullanılabilir.
-
Ya da BAC'den farklıysa;
-
ya da BCA'dan farklıysa.
-
-
-
Hatırlarsanız, bu soruyu çözerken, "kimin nereye
-
oturduğu önemli" demiştik.
-
Önceki videoda da her şeyi iki kez saymıştık.
-
Çünkü A, 1. sandalyede, B de
-
2. sandalyeye oturduğunda
-
ve sonra yer değiştirdiklerinde, bir kez daha saymıştık.
-
AB ve BA var.
-
Peki, ya bunun önemi yoksa?
-
Kimin hangi sandalyede oturduğu önemli değilse;
-
yalnızca, 5 kişinin kaç farklı şekilde oturabileceğini
-
bulmak istiyorsak, ne olacak?
-
Böyle bir durumda, A'nın B'nin
-
ve C'nin aynı anda oturuyor olduğu tüm olasılıkları, 1 olasılık olarak sayarız.
-
Kimin hangi sandalyede oturduğu önemsiz.
-
Bu 3 kişinin oturuyor olması, bizim için yeterli.
-
Bu, "kişilerin oturması kümesi"nin alt kümesidir.
-
Bu durumda bulmamız gereken; bu kişilerin kaç farklı
-
permütasyonla ya da kaç farklı şekilde oturduğu değil de,
-
5 elemanlı bir kümenin kaç adet 3 elemanlı
-
alt kümesinin olduğudur.
-
-
-
Bir anda farklı bir konuya atladığımın farkındayım
-
ama kombinasyonun tanımı budur.
-
Kombinasyon, sıralamanın önemli olmadığı
-
permütasyondur.
-
Peki, bunu nasıl bulabiliriz?
-
Permütasyonu, bu formülü kullanarak bulduğumuzda;
-
ABC'yi, ACB'yi, BAC'yi ve
-
BCA'yi saydık. Tabii,
-
2 permütasyon daha olacak.
-
CAB ve CBA.
-
Bu 6'sını birden ayrı permütasyonlar olarak saydık.
-
Ama söz konusu olan kombinasyonsa,
-
bunların tümü aynı kombinasyondur
-
çünkü kombinasyonda sıralama önemsizdir.
-
3 kişinin bu sandalyelere oturması
-
söz konusu olduğunda,
-
toplam 6 permütasyon vardır.
-
Bu nedenle, kombinasyonu bulmak istediğimizde, 3 kişinin 3 sandalyeye
-
oturabileceği permütasyonların sayısına bölmemiz gerekir.
-
Yani, burada bulduğumuz şeye.
-
Peki, 3 kişiyi 3 sandalyeye
-
kaç farklı şekilde oturtabiliriz?
-
Bu da bir permütasyon sorusudur.
-
İlk sandalyeye 3 kişiyi, ikinci sandalyeye
-
2 kişiyi, üçüncü sandalyeye de,
-
geriye kalan tek kişiyi oturtabiliriz.
-
Yani, eşittir, 3 faktöriyel. Bu da eşittir 6.
-
Burası 3 faktöriyele, yani 6'ya eşittir.
-
Umarım aklınızı karıştırmamışımdır.
-
Permütasyonları hesapladığımızda, kişilerin,
-
kendi aralarındaki farklı dizilimlerini de
-
sayarız.
-
Size şunu soruyorum: Bu kişiler kendi aralarında
-
kaç farklı şekilde dizilebilir?
-
Boş yer sayısının faktöriyeli kadar.
-
3 boşluğa 3 kişi yerleşecekse ya da diyelim
-
4 boşluğa 4 kişi yerleşecek olsun.
-
1. boşluğa 4 kişi yerleşebilir. 2. boşluğa
-
3 kişi, 3. boşluğa 2 kişi, son boşluğa da
-
1 kişi yerleşebilir.
-
Buradaki permütasyon,
-
boşluk sayısının faktöriyelidir.
-
Kişi sayısıyla sandalye sayısı aynıysa,
-
yalnızca hangi sandalyenin kapılacağının yarışı yapılır.
-
Peki, kombinasyonu nasıl hesaplarız?
-
Örneğin, kişi sayısı 5 olsun. Bu 5 kişi,
-
kaç farklı 3 kişilik gruplar hâlinde oturabilir?
-
Bir kişiyi birden fazla
-
saymamalıyız. Onları hesaba katamayız.
-
Burada 6 kez sayılıyor,
-
az önce gördüğümüz üzere.
-
Bunun yanıtı şudur: 5'in 3'lü permütasyonlarını,
-
yapılan fazladan sayımlara böleriz.
-
Yani, 3 kişi 3 sandalyeye kaç farklı şekilde
-
oturabilirse, ona böleriz.
-
Bu da, 3 faktöriyeldir.
-
Genel gösterimde...
-
Umarım anlıyorsunuzdur.
-
Sonraki videolarda başka sorular da çözebilirim.
-
Bu konunun çok karışık olduğunu düşünüyorsunuz,
-
bunu biliyorum.
-
Şimdi, genel gösterime geçebiliriz.
-
"n"nin, "r"li kümeler hâlindeki
-
kombinasyonlarının sayısı; tabii, "r" burada
-
"n"den küçük veya ona eşit olmalı;
-
şuna eşittir: "n" sayıda şeyi "r" sayıdaki boşluğa
-
yerleştirebileceğiniz permütasyonların, "r" faktöriyele bölümüdür.
-
-
-
"r" sayıda boşluğun kendi aralarındaki
-
farklı dizilimlerine bölüyoruz çünkü bu fazlalıkları
-
saymamalıyız.
-
Yukarıdaki bu formüle dönersek...
-
Orada "k" idi ama burada "r" diyoruz.
-
Bu da eşittir... Permütasyon neydi?
-
"n" faktöriyel, bölü, "n eksi r" faktöriyel.
-
Bunun tamamını da "r" faktöriyele bölüyoruz.
-
Bu da eşittir... Şuraya yazayım.
-
Genelde "n C r" şeklinde gösterilir.
-
Bir diğer gösterim şekli de, böyle parantez içindedir.
-
Buna, "binom katsayısı" denir. Bu konuyu anlatan
-
birçok dersimiz olacak çünkü bu konu daha sonra
-
polinomların kuvvetlerini aldığımız
-
"polinom açılımları"nda da karşımıza çıkacak.
-
Bunlar eşittir; "n" faktöriyel, bölü; "r" faktöriyel
-
çarpı "n eksi r" faktöriyel.
-
Bunu ezberleyebilirsiniz.
-
Çoktan seçmeli sınavlarda
-
işinize yarayabilir.
-
Ama bu formülün nasıl üretildiğini bilmeniz çok önemli.
-
"n" faktöriyel, bölü, "n eksi r" faktöriyel bölümü,
-
permütasyon.
-
Nasıl ifade edebiliriz?
-
"n" faktöriyelin açılımında bulunan,
-
en büyüğünden başlayarak
-
"r" sayıdaki çarpan sayısıdır.
-
Böyle diyebiliriz.
-
Kombinasyonu hesapladığımızda da,
-
bunu "r" faktöriyele böleriz, çünkü elimizde bulunan kişiler,
-
"r" sayıdaki sandalyeye kendi aralarında
-
kaç farklı şekilde
-
oturabiliyorsa, ona bölmemiz gerekir.
-
5 kişi arasından 3 kişilik grupların kaç farklı
-
şekilde seçilebileceğini bulmak istiyorsak,
-
şöyle yaparız: 5 faktöriyel, bölü, 3 faktöriyel,
-
çarpı, "5 eksi 3" faktöriyel.
-
Bu da; 5 çarpı 3 çarpı 2 çarpı 1, bölü,
-
3 faktöriyel, 6'ya eşittir.
-
Onu doğrudan yazıyorum.
-
Bölü; burası 2 faktöriyel eder.
-
2 çarpı 1.
-
Burası permütasyon bölümü, buna dikkat edin.
-
Bu gördüğünüz çarpanlar birbirini götürür.
-
Geriye, "5 çarpı 3" kalır.
-
Affedersiniz, burada 4 de olacak.
-
5 çarpı 4 çarpı 3. Bu da permütasyonların sayısıydı.
-
Bunu, 6'ya bölüyoruz çünkü her bir kombinasyon için
-
6 adet permütasyonumuz var.
-
Aklınızı karıştıran şey belki de budur.
-
5 çarpı 4 çarpı 3, bölü, 6.
-
Bu kaç eder?
-
5 çarpı 12, bölü, 6. Eşittir; 5 çarpı 2.
-
Yani, 10. 5 şeyden oluşan bir gruptan, 3 şey içeren kümeler,
-
10 farklı şekilde seçilebilirmiş.
-
Sonraki videoda görüşmek üzere...
