Combinações

Introdução a combinações

No último vídeo descobrimos de quantas maneiras diferentes

5 pessoas podem sentar-se em três cadeiras.

Então, por exemplo, se esta é a cadeira "um", esta cadeira é a

"dois" , esta é a cadeira de "três".

Dissemos, também, na cadeira "um" poderíamos colocar 5 pessoas.

Ninguém está sentado.

Depois, sobrariam só 4 pessoas, então daria para colocar 4

pessoas diferentes na cadeira 2.

E então haveriam três pessoas para

colocarmos na cadeira de três.

Assim, o total de permutações, as diferentes maneiras que as pessoas

poderiam sentar-se, se nos preocupássemos com a

ordem - em quais cadeiras eles stavam cadeira sentados

seria 5 vezes 4 vezes 3.

E uma outra maneira de pensar sobre isso - 5 vezes 4 vezes

3 - essa é a mesma coisa.

Que é igual a 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1 sobre o quê?

Sobre 2 vezes 1.

E essa é a mesma coisa que fatorial 5 mais de 2 fatorial.

Agora de onde é que este 2 veio?

Qual a relação do2 com o 5 e o 3?

Qual é a diferença entre os dois?

Portanto, esta é a mesma coisa, isso é igual a 5 fatorial

sobre 5 menos 3 fatorial.

E assim é como geralmente descobrimos, quantas

permutações possíveis ou como colocar 5 coisas

em 3 posições?

E a fórmula geral é - e aprendemos

isso no último vídeo.

E eu vou mudar as cores.

Se quisermos colocar n coisas k posições , e k tem que

ser menor ou igual a n.

Bem, na verdade, ele não precisa.

Mas para os nossos propósitos agora vamos supor que é porque a nossa

fórmula pode quebrar se não fosse.

E que é igual a n fatorial sobre n menos k fatorial.

Eu sempre acho isso difícil de memorizar do que apenas

pensar sobre o local.

Em seguida, apenas dizendo, oh bem, você sabe, 5 pessoas, 5 coisas

que poderiam estar aqui.

E, depois, uma coisa estando aqui, há quatro possibilidades

sobrando e então há três possibilidades sobrando.

A maneira que eu penso nisso eu levo os primeiros k termos

do n fatorial.

Ou neste caso, eu levo os três primeiros termos

do 5 fatorial.

5 vezes 4 vezes 3.

É assim que eu penso de permutações.

Isso é ótimo - digamos que estes são

pessoas A, B, C, D, E.

Então, essas são as 5 pessoas que estão indo se sentar nas cadeiras.

Isso seria ótimo se quisemos contar as permutações ABC como

diferente da permutação ACB, que seria diferente da

permutação - Não sei - BAC, ou diferente da

permutação BCA.

Pois lembre-se, quando fizemos isso, nos preocupávamos com

onde estão sentados.

E no vídeo anterior, nós contamos duas vezes tudo

porque importa se a pessoa A está no assento um e

se a pessoa B está no assento 2.

E então se eles trocassem de lugar a gente recontava, certo?

Este é onde eles trocam.

Mas e se nós não nos importássemos com isso?

E se nós não nos importássemos com quem esteja em cada lugar?

E se quiséssemos saber de quantas maneiras diferentes essas

5 pessoas podem se sentar?

Então, queremos contar todas as situações em que a pessoa A, B,

e C estão sentadas como essencialmente uma situação.

Nós não nos importamos com quem está sentado em cada cadeira.

O importante é saber que essas são as três pessoas sentadas.

Isso é o conjunto, o subconjunto de pessoas sentadas.

E assim questão muda de quantas permutações

diferentes ou de quantas maneiras diferentes as pessoas podem

se sentar, a questão torna-se, quantos subconjuntos de 3 podem

ser tirados de um conjunto de 5?

E eu sei que eu estou dando algumas voltas

mas isso é o que uma combinação é essencialmente.

Uma combinação é uma permutação, onde você não se importa

com a ordem.

Então, como vamos descobrir isso?

Bem, quando nós descobrimos as permutações usando esta fórmula

contamos - por exemplo, contamos ABC, ACB, BAC,

BCA, e vamos ver.

Deve haver duas permutações mais.

CAB e CBA.

Contamos todas as 6 como permutações diferentes.

Mas em nossas combinações vamos querer - tudo isto é

essencialmente a mesma combinação, porque não

nos importa a ordem.

Então, para qualquer 3 pessoas diferentes que estão nesses lugares,

serão na verdade 6 permutações que estaremos

contando quando fazemos as permutações.

Portanto, se queremos as combinações vamos dividir pelo número

de maneiras que nós podemos reorganizar 3 pessoas em três lugares.

Isso é essencialmente o que fizemos aqui.

Então, de quantas maneiras diferentes você pode organizar três

pessoas em 3 lugares?

Bem, este é um tipo de outro problema de permutação.

O primeiro lugar você poderia colocar três pessoas diferentes, o segundo

assento você poderia colocar 2 pessoas diferentes, e o último lugar -

bem, há apenas 1 pessoa sobrando.

Por isso, é igual a 3 fatorial, que é igual a 6.

Isto é igual a 3 fatorial, que é igual a 6.

Espero que eu não esteja confundindo você.

O que eu só estou tentando dizer é que quando você fez uma permutação

nós contamos todas as diferentes ordens de como as pessoas podem

se organizar.

E o que eu estou dizendo agora é assim, de quantas maneiras diferentes

as pessoas podem se organizar?

Bem, isso vai ser o número de lugares fatorial

porque, se temos 3 pessoas em 3 pontos ou vamos dizer,

4 pessoas em 4 pontos.

O quarto lugar pode ter 4 pessoas, o segundo lugar pode

ter 3, e assim por diante, o terceiro lugar poderia ter dois, e o

último lugar terá apenas 1.

Por isso é o número de lugares fatorial, é quantas

permutações estamos contando.

Quando temos apenas as mesmas pessoas, eles estão apenas brincando de

dança das cadeiras nos mesmos assentos.

Então, para descobrir a combinação,se quiséssemos

dizer quantas pessoas - digamos, se tivéssemos 5 pessoas.

Quantos grupos diferentes de 3 podem ser sentados?

E nós não queremos dobrar.

Nós não queremos contar em dobro.

Eu não sei qual é a palavra para contar

algo seis vezes.

Bem, será somente a mesma coisa que a permutação

dividida por todas as contagens extras que fizemos.

Vamos apenas dividir pelo número de maneiras que 3 pessoas podem

se organizam em três lugares.

E isso é 3 fatorial.

E eu espero que isto esteja fazendo sentido.

Talvez eu faça alguns outros exemplos em outros vídeos.

E, definitivamente, peça isto se você acha que isso

é extra confuso.

Assim, em geral, se dissermos, quais são as diferentes maneiras que

n coisas podem ser escolhidas?

Ou o número de combinações que n coisas podem ser escolhidas

em conjuntos de r, onde r é menor ou igual a n.

É igual ao número de permutações que você poderia criar

ao colocar n coisas em r lugares, dividido por r fatorial.

Vamos dividir pelo número de maneiras que os pontos r

podem ser rearranjado, porque não queremos

contar aqueles extras.

Então, se voltarmos a essa fórmula até aqui, bem, este

era um k, mas agora estamos dizendo que é um r.

Esta é a mesma coisa que - assim as permutações eram

n fatorial sobre n menos r fatorial.

E agora estamos dividindo tudo por r fatorial.

Então, isso é igual a - deixe-me escrever isto.

Isso é muitas vezes escrito como n escolhe r.

Outra forma de escrever é n escolhe r.

Este é o chamado coeficiente binomial e nós faremos uma

série de módulos sobre isso também, porque isso realmente

aparece em expansão polinomial quando você toma

polinômios a potências.

Mas isso é igual a n fatorial sobre r fatorial

dividido por n menos r fatorial.

Você pode memorizar isso.

Você sabe, é útil se você quiser fazer as coisas

rapidamente em testes.

Mas é muito importante pensar sobre de onde veio.

O n fatorial sobre o n menos o r fatorial - iste

é a permutação.

E o que é isso?

Bem, isso era apenas o primeiro r - Eu acho que você poderia chamar

isto de primeiros fatores de r.

Os r maiores fatores de n fatorial.

Isso é tudo o que é.

E então, quando fizemos as combinações dividimos por r

fatorial porque queremos dividí-lo por todos os diferentes

arranjos onde as pessoas pudessem se sentar

em r assentos.

Ou, as bolas que pudessem ser colocadas em r copos.

Assim, nesta situação, se quisermos saber quantos diferentes

grupos de 3 podem ser selecionados de 5 pessoas ou a partir de 5

letras, que vai ser de 5 factorial sobre 3 factorial

vezes 5 menos 3 fatorial.

E isso é 5 vezes 3 vezes 2 vezes 1, sobre -- 3

fatorial é somente 6.

Vamos colocar isso de lado por um segundo.

Dividido por - este é 3 fatorial.

2 vezes 1.

Então veja, esta é a parte de uma permutação aqui.

Este termo livra somente os dois fatores mais baixos.

Você fica com 5 vezes 3.

Oh, desculpe-me há um 4.

5 vezes 4 vezes 3, que é o número de permutações.

E depois dividimos por 6, porque nós temos 6 permutações para

realmente cada combinação.

Talvez isso confunda você.

Mas de qualquer maneira, então temos 5 vezes 4 vezes 3 dividido por 6.

E isso é o quê?

5 vezes 12 dividido por 6, que é igual a 5 vezes 2.

Existem 10 maneiras possíveis para fazermos conjuntos de 3

de um grupo de 5 coisas.

Te vejo no próximo vídeo!