Combinaties

Inleiding op combinaties

In de vorige video ontdekten we hoeveel verschillende manieren er zijn

In de vorige video ontdekten we hoeveel verschillende manieren er zijn

waarop 5 personen op 3 stoelen kunnen zitten.

Bijvoorbeeld, als dit stoel 1 is, dit stoel 2,

en dit stoel 3.

Op de eerste stoel kunnen vijf personen plaats nemen

Hier gaat iemand zitten.

Dan zijn er nog maar 4 personen over, dus hier kunnen

4 verschillende personen plaats nemen.

Dan zijn er 3 personen over die we op stoel 3 kunnen plaatsen

Dan zijn er 3 personen over die we op stoel 3 kunnen plaatsen

Dus het totaal aantal permutaties, de verschillende volgordes dat personen

kunnen gaan zitten als we de volgorde belangrijk vinden

dus als het ons uit maakt welke persoon op welke stoel zit

zou zijn 5 maal 4, maal 3.

De andere manier om dit te bereken -- 5 maal 4, maal 3

is hetzelfde als:

5 maal 4, maal 3, maal 2, maal 1 gedeeld door -- wat ookal weer?

Gedeeld door 2 maal 1.

Dat is hetzelfde als 5 faculteit gedeeld door 2 faculteit.

Waar komt die twee vandaan?

Wat heeft 2 te maken met de getallen 5 en 3?

Wat is het verschil tussen de twee?

Dit is dus hetzelfde als 5 faculteit

gedeeld door (5 -- 3) faculteit.

Dat is hoe we bereken hoeveel permutaties

er zijn van 5 dingen verdeeld over

3 plaatsen?

De algemene formule is -- dat leerden we in

de vorige video,

ik ga een andere kleur gebruiken

Als we n dingen op k posities willen plaatsen, en k zal

kleiner gelijk aan n moeten zijn.

Trouwens, dat hoeft niet zo te zijn.

Maar voor ons voorbeeld nemen we aan dat het wel zo is,

want anders klopt de formule niet meer.

Dit is gelijk aan n faculteit gedeeld door (n -- k) faculteit.

Ik vind dit moeilijker te onthouden dan

bedenken waar het vandaan komt.

Dan bedenken dat je al weet: 5 personen (of dingen)

kunnen hier zijn,

en als er hier al iets is, dan zijn er 4 mogelijkheden over

en dan nog maar 3.

Hoe ik het onthoud is dat als je de eerste k termen

Hoe ik het onthoud is dat als je de eerste k termen

van n faculteit neemt.

Of in dit geval, neem ik de eerste 3 termen

van 5 faculteit.

5 maal 4, maal 3.

Dat is hoe ik permutaties onthoudt.

Prima formule als het ons uitmaakt -- laten we deze personen

A, B, C, D en E noemen.

Dus dit zijn de 5 personen die op een stoel willen zitten.

Prima formule als we de permutatie ABC zien als

verschillend van de permutatie ACB, verschillend van de permutatie

even denken -- BAC, als verschillend van

de permutatie BCA.

Want, herinner dat we door het zo te doen de volgorde belangrijk vinden

Want, herinner dat we door het zo te doen de volgorde belangrijk vinden

waarop ze zitten.

In de vorige video telden we alles meerdere keren

omdat het uit maakt of persoon A op de eerste stoel zit en

persoon B op de tweede.

En als zij van plaats verwisselen, tellen we ook, toch?

Dit is waar ze verwisselen.

Maar wat als we dat niet belangrijk vinden?

Wat als het ons niet uit maakt wie op welke stoel zit?

We willen alleen weten: op hoeveel verschillende manieren

kunnen 5 mensen gaan zitten?

Dus alle situaties waarin persoon A, B en C

zitten zijn eigenlijk één situatie.

Maakt niet uit in welke stoel ze zitten.

Het maakt uit dat deze 3 personen zitten.

Dat is een set, de subset van de personen die willen zitten.

Dus de vraag wordt niet: hoeveel verschillende permutaties

of hoeveel verschillende volgordes kunnen de personen

gaan zitten, de vraag wordt: hoeveel subsets van 3 personen

kunnen we samenstellen uit 5?

Ik weet dat ik een beetje van de hak op de tak ga,

Ik weet dat ik een beetje van de hak op de tak ga,

maar dat is eigenlijk wat een combinatie is.

Een combinatie is een permutatie waar de volgorde niet belangrijk is

Een combinatie is een permutatie waar de volgorde niet belangrijk is

Dus hoe bereken je dat?

Nou, toen we ontdekten dat je permutatie berekent met deze formule

telden we -- bijvoorbeeld, ABC, ACB, BAC, BCA

en even nadenken.

Er moeten nog twee permutaties zijn.

CAB en CBA.

We telden deze 6 permutaties al verschillende gevallen.

Maar bij combinaties willen we -- dit zijn eigenlijk

dezelfde combinatie omdat we de volgorde niet belangrijk vinden

dezelfde combinatie omdat we de volgorde niet belangrijk vinden

Dus voor elke subset van 3 verschillende personen op de stoelen,

zijn er 6 permutaties die we

wél tellen als we permutaties berekenen.

Dus als we alleen combinaties willen, delen we door het aantal

volgordes waarop we 3 personen op 3 stoelen kunnen zetten.

Dat is eigenlijk wat we hier doen.

Dus op hoeveel verschillende volgordes kun je 3 personen

op 3 stoelen zetten?

Dat is eigenlijk een nieuw permutatie-vraagstuk.

Op de eerste stoel kun je 3 verschillende personen zetten, de tweede

nog maar 2 verschillende personen, en de laatste stoel --

nou, daar is maar 1 persoon voor over.

Dus dat is gelijk aan 3 faculteit, dat is gelijk aan 6.

Dit is 3 faculteit, dat is 6.

Hopelijk verwar ik je niet.

Wat is probeer te zeggen is, dat toen we permutaties deden,

telden we alle verschillende volgordes waarop personen

kunnen gaan zitten.

En nu wil ik tellen: hoeveel verschillende manieren

kunnen personen zich groeperen?

Dat zal gelijk zijn aan de faculteit van het aantal plaatsen,

want toen we 3 personen hadden op 3 plaatsen, of

4 personen op 4 plaatsen.

Op de eerste plaats kunnen 4 personen zitten, de tweede plaats 3

enzovoort, de derde plaats 2 en de

laatste plaats slechts 1 persoon.

Dus de faculteit van het aantal plaatsen is hoe veel

permutaties we meetellen.

Als we dezelfde personen hebben, die stoelendans spelen,

met dezelfde stoelen.

Om het aantal combinaties te berekenen, laten we uitgaan van

zeg 5 personen.

Hoeveel verschillende groepjes van 3 kunnen gaan zitten?

En we willen niets dubbel tellen.

En we willen niets dubbel tellen.

Ik weet niet wat het woord is voor iets

6 keer tellen.

Dat gaat hetzelfde worden als met de permutaties

maar dan gedeeld door wat we te veel telden.

We gaan gewoon delen door het aantal manieren waarop 3 personen

zichzelf over 3 stoelen kunnen verdelen.

Dat is 3 faculteit.

Dat is 3 faculteit.

Ik hoop dat jullie me nog volgen

Misschien moet ik een paar voorbeelden doen in andere video's.

Daar moet je zeker naar vragen als je dit

verwarrend vindt.

In het algemeen, als we zeggen, op hoeveel manieren

kunnen n dingen verdeeld worden --

of: het aantal combinaties dat n dingen verdeeld kunnen worden

in groepjes van r, waarbij r kleiner of gelijk aan n is.

Dat is gelijk aan het aantal permutaties je kunt maken

van n dingen op r plaatsen, gedeeld door r faculteit.

van n dingen op r plaatsen, gedeeld door r faculteit.

We delen door het aantal manieren waarop r plaatsen

kunnen worden verdeeld, want we willen dat niet

steeds weer erbij tellen.

Dus als we terug gaan naar de formule, hier,

dit was een k, maar nu noemen we het r.

Dit is hetzelfde als -- de permutatie was

n faculteit gedeeld door (n -- r) faculteit.

en nu delen we het geheel door r faculteit.

Dat is gelijk -- laat het me zo schrijven

Dit wordt meestal genoteerd als nCr, of

ook wel als n boven r

Dit heet de binomiale coëfficient waarover een hele

serie van video's zullen komen, omdat dit ook opduikt

in veeltermen als je een

polynoom tot een macht verheft.

Dit is gelijk aan n faculteit gedeeld door r faculteit

gedeeld door (n -- r) faculteit.

Dit kun je uit je hoofd leren.

Dat is handig als je weinig tijd hebt

bijvoorbeeld op een toets.

Maar het is belangrijk om ook te weten waar de formule vandaan komt.

De n faculteit gedeeld door (n -- r) faculteit is gewoon

een permutatie.

Wat is dat, ook alweer?

Dat is eigenlijk de eerste r factoren.

Dat is eigenlijk de eerste r factoren.

De grootste r getallen uit n faculteit.

Dat is wat dit is.

En bij combinaties delen we door r faculteit

want we moeten delen door de verschillende volgordes

waarop de personen kunnen gaan zitten

op r stoelen.

Of, de ballen kunnen in r bekers worden gestopt.

Dus in deze situatie waarin we willen weten

hoeveel verschillende groepen van 3 uit 5 personen kunnen worden gemaakt

of van 5 letters, dan heb je 5 faculteit gedeeld door (3 faculteit

maal (5 -- 3) faculteit).

en dat is 5 maal 4, maal 3, maal 2, maal 1, gedeeld door

3 faculteit, en dat is 6.

Dat zet ik even iets opzij.

Gedeeld door -- dit is 2 faculteit.

2 maal 1.

Merk op, dit hier is een permutatie

Dit deel zorgt dat de kleine getallen weg gaan

Dus krijg je 5 maal 3.

Oh, sorry. Daar moet een 4.

5 maal 4, maal 3, dat is het aantal permutaties.

Dat delen we door 6, omdat we 6 permutaties hebben

per combinatie.

Misschien is dat verwarrend.

Hoe dan ook: we krijgen 5 maal 4, maal 3, gedeeld door 6.

En wat is dat?

5 maal 12, gedeeld door 6, dat is gelijk aan 5 maal 2.

Er zijn 10 mogelijk manieren waarop we 3 groepjes kunnen maken

uit een groep van 5 dingen.

Tot de volgende video.