Combinazioni

Introduzione alle combinazioni

Nell'ultimo video abbiamo calcolato in quanti modi diversi

5 persone possono sedersi su 3 sedie.

Quindi per esempio, se questa e' la sedia uno, questa e' la sedia

due, questa e' la sedia tre.

Diciamo: bene, sulla sedia uno potremmo metterci 5 persone.

Nessuno e' seduto.

Poi ci restano solo 4 persone, quindi possiamo mettere 4

persone diverse sulla sedia 2.

E poi ci restano 3 persone che possiamo

mettere sulla sedia 3.

Quindi le permutazioni totali, i modi diversi con cui la gente

potrebbe sedersi in modi diversi se ci interessa

l'ordine --- se ci interessa su quale sedia stanno seduti ---

e' 5 * 4 * 3.

E un altro modo di ragionarci --- 5 * 4 * 3 ---

e' la stessa cosa.

Questo e' uguale a 5 * 4 * 3 * 2 * 1 fratto che?

Fratto 2 * 1.

Ed e' la stessa cosa di 5 fattoriale fratto 2 fattoriale.

Ora da dove viene questo 2?

In che relazione sta il 2 con il 5 e il 3?

Che differenza c'e' tra i due?

Allora e' lo stesso, e' uguale a 5 fattoriale

fratto (5 - 3) fattoriale.

Ed e' cosi' che in generale calcoliamo in quante

permutazioni si possono posizionare 5 cose o

essere piazzate su 3 posizioni?

E la formula generale e' --- e l'abbiamo imparato

nell'ultimo video.

E cambio colore.

Se vogliamo mettere n cose su k posizioni e k deve

essere minore o uguale a n.

Beh, in realta' non c'e' bisogno.

Ma per i nostri scopi di adesso assumeremo che lo sia perche'

la formula si potrebbe rompere se non lo facessimo.

Ed e' uguale a n! / (n - k)!.

Lo trovo sempre piu' difficile da ricordare piuttosto

che pensarci sul posto.

Piuttosto che dire: oh, beh, sai, 5 persone, 5

cose potrebbero andare qui.

E poi una volta che una cosa sta qui, ci restano 4 possibilita'

e poi ci restano 3 possibilita'.

Il modo in cui ci penso e' che prendo i primi k termini

di n fattoriale.

O in questo caso, prendo i primi tre termini

del 5 fattoriale.

5 * 4 * 3.

E' cosi' che penso alle permutazioni.

Questo e' grandioso se ci interessa --- diciamo che queste sono

le persone A, B, C, D, E.

Percio' queste sono le 5 persone che dobbiamo far sedere sulle sedie.

E' grandioso se vogliamo considerare la permutazione ABC

come differente dalla permutazione ACB e differente dalla

permutazione --- non lo so --- BAC e differente dalla

permutazione BCA.

Perche' ricordati, quando abbiamo fatto questo ci interessava effettivamente

dove ci siedevamo.

E nel video precedente abbiamo contato tutto il doppio

perche' e' importante se la persona A sta sulla sedia uno e

la persona B sta sulla sedia due.

E scambiati di posto li abbiamo ricontati, giusto?

E' qui che si scambiano.

Ma se non ce ne importasse?

Se non ci importasse chi sta su quale sedia?

Vogliamo solo sapere in quanti modi diversi le

5 persone si possono sedere?

Vogliamo considerare tutte le situazioni in cui le persone A, B

e C stanno sedute essenzialmente come una situazione.

Non ci interessa chi sta seduto su quale sedia.

Ci interessa solo che queste sono le 3 persone che stanno sedute.

Questo e' l'insieme, il sottoinsieme delle persone che stanno sedute.

E quindi la domanda diventa non quante diverse

permutazioni o in quanti modi si puo' sedere

la gente, la domanda diventa: quanti sottoinsiemi di 3

possiamo estrarre da un insieme di 5?

E lo so che sto tipo un po' saltellando, ma

essenzialmente una combinazione e' questo.

Una combinazione e' una permutazione dove non ti interessa

dell'ordine.

Percio' come lo calcoliamo?

Beh, abbiamo calcolato le permutazioni usando questa formula

abbiamo contato --- per esempio: abbiamo contato ABC, ACB, BAC,

BCA e vediamo.

Dovrebbero esserci altre 2 permutazioni.

CAB e CBA.

ABbiamo contato tutte queste 6 come differenti permutazioni.

Ma nelle combinazioni vogliamo --- queste sono tutte

essenzialmente la stessa combinazione perche'

l'ordine non ci interessa.

Percio' per ognuna di queste 3 persone diverse che stanno su queste sedie,

ci sono in realta' 6 permutazioni che

contiamo quando facciamo le permutazioni.

Quindi se vogliamo le combinazioni dividiamo semplicemente per il numero

di modi in cui possiamo risistemare 3 persone su 3 sedie.

E' essenzialmente questo che abbiamo fatto qui.

Quindi in quanti modi diversi puoi sistemare 3

persone su 3 sedie?

Beh, questo e' tipo un altro problema sulle permutazioni.

Sulla prima sedia puoi mettere 3 persone diverse, sulla seconda

sedia metti 2 persone differenti e sull'ultima sedia ---

beh, ci resta una persona sola.

Quindi e' uguale a 3 fattoriale, che e' uguale a 6.

Questo e' uguale a 3 fattoriale, che e' uguale a 6.

Spero di non confonderti.

Quello che sto cercando di dire e' che quando hai fatto le permutazioni abbiamo

contato tutti gli ordini differenti in cui le persone

possono sistemarsi.

E ora sto dicendo: beh, in quanti modi diversi

si possono sistemare le persone?

Beh. sara' il numero di posizioni fattoriale

perche' se abbiamo 3 persone in 3 posizioni o diciamo

4 persone su quattro posti.

Il quarto posto puo' avere 4 persone, il secondo posto

3 e cosi' via, il terzo posto ne puo' avere 2 e

l'ultimo posto ne avra' una sola.

Quindi e' il numero di posizioni fattoriale sono quante

permutazioni contiamo.

Quando abbiamo le stesse persone, giocano

al gioco della sedia esattamente sulle stesse sedie.

Quindi per poter calcolare le cmobinazioni, quindi se volessimo

dire quante persone --- diciamo che abbiamo 5 persone.

In quanti gruppi di 3 diversi si possono sedere?

E non vogliamo raddoppiare.

Non vogliamo contare piu' del doppio.

Non lo so che parola usaper per contare

qualcosa sei volte.

Beh, sara' la stessa cosa delle permutazioni

diviso tutto il conteggio extra che abbiamo fatto.

Dividiamo semplicemente per il numero di modi in cui 3 persone

si sistemano su 3 posti.

Ed e' 3 fattoriale.

E spero di apparirti sensato.

Magari faccio un altro paio di esempi in altri video.

E assolutamente chiedili se pensi che

questo sia estremamente confuso.

Percio' in generale, se diciamo: in quanti modi diversi

possono essere scelte n cose?

O il numero di combinazioni in cui n cose possono essere scelte

in gruppi di r, dove r e' minore o uguale a n.

E' uguale al numero di permutazioni che potresti creare

mettendo n cose in r posizioni, diviso per r fattoriale.

Lo dividiamo per il numero di modi in cui le r posizioni

si possono risistemare perche' non vogliamo

contarle come extra.

Quindi se torniamo a questa formula qui sopra, questa

era una k, ma adesso diciamo che e' una r.

Questo e' come --- quindi le permutazioni era

n! / (n - r)!.

E adesso dividiamo il tutto per r fattoriale.

Quindi e' uguale --- fammelo scrivere.

Questo lo scrivi con questo simbolo.

E questo e' un altro modo di scriverlo.

Si chiama coefficiente binomiale e ci faremo

tutta una serie di moduli anche su questo perche' in realta'

esce fuori nell'espansione polinomiale quando elevi

a potenza i polinomi.

Ma e' uguale a n fattoriale fratto r fattoriale

diviso n meno r fattoriale.

Puoi impararlo a memoria.

Sai, e' utile se vuoi fare le cose

velocemente nei test.

Ma e' molto importante pensare alla sua origine.

L'n fattoriale fratto n - r fattoriale --- queste

sono solo le permutazioni.

E questo cos'e'?

Beh, questo era i primi r --- suppongo tu possa chiamarli

i primi r fattori.

Gli r fattori piu' grandi di n fattoriale.

Tutto qua.

E poi quando facciamo le combinazioni dividiamo per r

fattoriale perche' vogliamo dividerlo per tutti i diversi

modi di sistemarsi in cui le persone potrebbero sedersi

su r posti.

O con cui le palline potrebbero essere piazzate in r tazze.

Quindi in questa situazion vogliamo sapere in quanti gruppi di 3

diversi si possono selezionare 5 persone o 5

lettere, sara' 5 fattoriale fratto 3 fattoriale

per 5 meno 3 fattoriale.

Ed e' 5 * 3 * 2 * 1 fratto --- 3

fattoriale fa 6.

Lo mettiamo da parte un secondo.

Diviso --- questo e' 3 fattoriale.

2 * 1.

Quindi nota, questa parte qui e' una permutazione.

Questo temine si libera dei due fattori piu' bassi.

Ottieni 5 per 3.

O scusa, e' un 4.

5 * 4 * 3, che e' il numero di permutazioni.

E poi dividiamo per 6 perche' otteniamo 6 permutazioni per

ogni effettiva combinazione.

Magari ti ha confuso.

Ma ad ogni modo, percio' otteniamo 5 * 4 * 3 / 6.

E quanto fa?

5 * 12 / 6, che e' uguale a 5 * 2.

Ci sono 10 modi diversi in cui possiamo prendere insiemi di 3

da un gruppo di 5 cose.

Ci vediamo nel prossimo video.