Combinations

Introduction to combinations

Au cours de la dernière vidéo, nous avons compris comment dénombrer de combien de façons différentes

5 personnes peuvent s'asseoir dans trois chaises.

Par exemple, si nous avons la chaise 1, la chaise

2, la chaise 3

Bon, nous avons dit que nous avons le choix entre 5 personnes pour la chaise 1

Personne ne s'assoit

Puis, il y a seulement 4 personnes restant, donc, nous pouvons mettre 4

personnes differentes dans la chaise 2

Et puis, il y resterait 3 gens personnes que nous pourrions

mettre dans la chaise 3

Donc, le nombre total de permutations, le nombre de façons différentes d'asseoir

les personnes si nous faisons attention

à l'ordre -- si nous faisions attention à la chaise dans laquelle

ils s'assoient -- Ce serait 5 fois 4 fois 3.

Une autre façon de penser tout ça , c'est 5 fois 4 fois 3

c'est la meme chose.

C'est égal 5 fois 4 fois 3 fois 2 fois 1 sur quoi?

Sur 2 fois 1

Et c'est la meme chose que factorielle de 5 sur factorielle de 2.

Et d'où vient ce 2 ?

Comment ce est-il lié au 5 et au3 ?

Quelle est la difference entre les deux?

C'est la meme chose, c'est égal à factorielle de 5

divisée par factorielle de (5-3)

Et c'est, d'un manière générale, comment nous déterminons le nombre

de permutations qui existe pour 5 choses qui doivent se placer

ou être placées dans 3 emplacements

Et la formule générale est -- comme nous l'avons appris

dans la dernière vidéo.

Et je changerai les couleurs.

Si nous voulons placer n choses dans k positions, et k doit être

inférieur ou égal à n.

En fait, cela n'est pas nécessaire

Mais, pour nos objectifs actuels nous allons supposer que c'est parce que la

formule ne fonctionnerait pas si cela n'était pas vrai.

Et c'est égal à factorielle de n sur factorielle de (n-k)

Je trouve toujours cela difficile à mémoriser qu'un simple

réflexion sur la place.

Puis juste en disant, eh bien, vous savez, 5 personnes, 5 de

les choses pourraient être ici.

Et puis une fois une chose est ici, il ya 4 possibilités

à gauche et puis il ya 3 possibilités gauche.

La façon dont je pense, je prendre le k premiers termes

de la factorielle n.

Ou dans ce cas, je prends les trois premiers termes

de la factorielle 5.

5 fois 4 fois 3.

Voilà comment je pense de permutations.

Ce serait super si nous faisions attention -- disons que ce sont

les personnes A, B, C, D, E.

Ce sont donc les 5 personnes qui vont s'asseoir dans les fauteuils.

Ce serait super si nous voulions compter la permutation ABC comme

différente de la permutation ACB, comme différente de la permutation

de -- je ne sais pas -- BAC, comme différente de

la permutation BCA.

Parce que rappelez-vous, nous avons fait attention à

où ils sont assis.

Et dans la dernière vidéo nous avons tout compté plusieurs fois

parce que c'est important si la personne A est en un siège et de

personne B est en biplace.

Et ensuite s'ils changent de chaise nous recomptons, c'est bien ça ?

C'est ici qu'ils changent de chaise

Mais que faire si nous n'avions pas les soins à ce sujet?

Que si nous n'avions pas les soins qui est en ce siège?

Nous voulons seulement savoir de combien de façons différentes

5 personnes peuvent s'asseoir par groupes de 3 ?

Donc maintenant nous voulons compter toutes les situations dans lesquelles les personnes A, B

et C sont assis comme essentiellement une situation.

Nous ne voulons pas différencier qui s'assoit dans quelle chaise

Nous venons de soins que ceux qui sont les 3 personnes de s'asseoir.

C'est l'ensemble, le sous-ensemble du peuple assis.

Et la question devient alors pas de combien de différentes

permutations ou combien différentes façons que le peuple

asseyez-vous, la question devient, combien sous-ensembles de 3 peut

nous sortons d'un ensemble de 5?

Et je sais que je suis une sorte de saut autour d'un petit peu, mais

C'est essentiellement ce que c'est une combinaison.

Une combinaison est une permutation, où vous ne vous souciez

A propos de la commande.

Alors, comment pouvons-nous le comprendre?

Eh bien, quand nous avons compris les permutations en utilisant cette formule

nous avons compté - par exemple, nous avons compté ABC, ACB, BAC,

BCA, et nous allons voir.

Il devrait y avoir plus de deux permutations.

CAB et CBA.

Nous avons compté tous les six de ces permutations comme différents.

Mais pour les combinaisons nous allons vouloir -- c'est la même

combinaison car nous ne faisons

soucient de l'ordre.

Donc lorsque nous avons 3 personnes différentes dans ces chaises

il ya en fait va être 6 permutations que nous sommes

comptage lorsque nous ne les permutations.

Donc, si nous voulons que les combinaisons que nous allons simplement diviser par le nombre

des façons dont nous pouvons réorganiser 3 personnes en 3 sièges.

C'est essentiellement ce que nous avons fait ici.

Alors combien de manières différentes pouvez-vous organiser trois

les personnes dans 3 chaises ?

Eh bien, c'est un autre problème du genre de permutation.

Sur la première chaise nous pouvons placer 3 personnes différentes, sur la seconde

Siège vous mettez 2 personnes différentes, et le dernier siège -

ainsi, il ya seulement une personne a quitté.

Donc, il est égal à 3 factorielle, qui est égal à 6.

Ceci est égal à 3 factorielle, qui est égal à 6.

J'espère que je ne suis pas en train d'embrouiller les choses

Ce que je veux juste essayer de dire, c'est quand vous avez une permutation, nous

compté tous les différents ordres de comment les gens pouvaient

se ranger.

Et ce que je dis maintenant est bien, combien de manières différentes

les gens peuvent se ranger?

Eh bien, ça va être le nombre de places factorielle

parce que si nous avons trois personnes dans trois endroits ou disons,

4 personnes dans 4 spots.

La quatrième place peut avoir 4 personnes, la deuxième place peut

peut en avoir 3, et ainsi de suite, le troisième emplacement peut en avoir 2 et le

dernier pourra seulement en avoir 1

Donc, c'est le nombre de taches factorielle est de savoir combien

permutations nous comptons.

Quand nous venons les mêmes personnes, elles sont tout simplement jouer

chaises musicales dans les sièges exactement les mêmes.

Ainsi, sur l'ordre de trouver la combinaison, si nous voulions

dire combien de personnes - disons si nous avions 5 personnes.

Combien de différents groupes de 3 peuvent être assis?

Et nous ne voulons pas compter plusieurs fois

Nous ne voulons plus compter plusieurs fois

Je ne sais pas ce que le mot est pour le comptage

quelque chose de six fois.

Eh bien, il va juste être la même chose que la permutation

divisé par l'ensemble de comptage supplémentaire dont nous avons fait.

Nous allons juste diviser par le nombre de façons selon lesquelles 3 personnes

se rangent dans trois sièges.

Et c'est 3 factorielle.

Et j'espère que je fais sens.

Peut-être que je vais faire quelques exemples plus dans d'autres vidéos.

Et certainement en faire la demande si vous pensez que cela

est extra confusion.

Donc en général, si nous disons, ce sont les différentes façons dont

les choses n peut être choisie?

Ou le nombre de combinaisons que les choses n peut être choisie

en ensembles de r, où r est inférieur ou égal à n.

Il est égal au nombre de permutations, vous pouvez créer

de mettre les choses n en taches r, divisé par factorielle r.

Nous allons diviser par le nombre de façons les taches r

nous pouvons réarranger les r emplacements car nous ne voulons pas

compter ces en supplément.

Et si nous revenons à cette formule ici, eh bien, cela

c'était un k, mais maintenant nous disons que c'est un r

C'est la même choses que -- comme pour les permutations

factorielle de n sur factorielle de (n-r)

Et maintenant nous sommes tout en divisant par r factorielle.

Donc cela vaut -- laissez moi juste l'écrire

C'est souvent écrit n choix r

une autre manière de l'écrire est n choix r

C'est ce que l'on appelle les coefficients du binôme et nous allons faire

une série entière de modules aussi à ce sujet car en fait

cela nous donne les coefficients du binôme quand on prend

les puissances du binôme de Newton.

Mais ceci est égal à factorielle de n sur factorielle de r

divisé par factorielle de (n-r)

Vous devriez mémoriser cela

Vous savez, c'est utile si vous voulez faire des choses

rapidement dans les tests

Mais c'est aussi extrêmement important de se rappeler d'où cela vient

La factorielle de n sur la factorielle de (n-r) -- ceci

est juste la permutation

Et ça qu'est-ce que c'est ?

Eh bien, c'était juste le premier r -- je suppose que vous pourriez l'appeler

le premier des facteurs r

Le plus grand des facteurs r de la factorielle de n

C'est tout ce que c'est

Par conséquent quand nous faisons des combinaisons nous avons divisé par la factorielle de r

parce que nous voulons le diviser par le nombre de différents

arrangements selon lesquels les personnes peuvent s'asseoir

dans r chaises

Ou, les boules pourraient être placées dans r tasses

Donc dans cette situation si nous voulons savoir combien de différentes

groupes de 3 peuvent être sélectionnés à partir de 5 personnes ou à partir de 5

lettres, cela sera la factorielle de 5 sur la factorielle de 3

multipliée par la factorielle de (5-3)

Et c'est 5 fois 3 fois 2 fois 1, sur -- factorielle de 3

fait juste 6

Nous allons mettre ça de côté pour une seconde

Divisé par -- c'est la factorielle de 3

2 fois 1

Notez, cette partie est une permutation

Ce terme est débarrassé des deux plus petirs facteurs

Nous obtenons 5 fois 3

Oh, pardon il y a un 4

5 fois 4 fois 3, qui est le nombre de permutations

Et puis nous divisons par 6 car nous obtenons 6 permutations pour

chaque combinaison

Cela vous a peut-être embrouillé les idées

Quoi qu'il en soit, nous avons 5 fois 4 fois 3 divisé par 6

Et c'est quoi ?

5 fois 12 divisé par 6, ce qui vaut 5 fois 2

Il est possible de combiner 10 sous-groupes différents de 3 éléments

à partir d'un groupe de 5 éléments

A bientôt dans la prochaine vidéo