Kombinatsioonid

Introduction to combinations

Eelmises videos me leidsime, kui mitmel erineval viisil

saaksid 5 inimest istuda 3-l toolil.

Nii et näiteks kui see on tool üks, see on tool

kaks ja see on tool kolm.

Me ütlesime, et esimesse tooli saame me panna 5 inimest.

Keegi ei istu veel.

Siis on veel 4 inimest jäänud, nii et me saaksime panna 4

erinevat inimest teisele toolile.

Ja siis meil oleks 3 inimest, keda me saaksime

panna kolmandasse tooli istuma.

Nii et kõik permutatsioonid, erinevad viisid, et inimesed

saavad istuda erinevates toolides, kui meid huvitaks nende

järjekord -- kui meid huvitaks mis toolil nad istusid

-- see oleks 5x4x3.

Ja teine viis selle peale mõtlemiseks - 5x4x

3 -- see on sama asi.

See võrdub 5x4x3x2x1 jagatud millega?

Jagatud 2x1.

Ja see on sama asi, mis 5!/2!

Nüüd, kustkohast see 2 tuli?

Kuidas 2 on seotud 5 ja 3-ga?

Mis on nende erinevus?

Nii et see on sama asi, see on võrdne 5!

jagatud (5-3)! .

Ja see üldiselt on see, kuidas me saame teada, kui mitu

permutatsiooni saavad 5 asja paigutada ennast või olla

paigutatud 3-e positsiooni?

Ja üldine valem on -- ja me õppisime

seda eelmises videos.

Ja ma vahetan värvi.

Kui me tahame panna n asja k positsiooni ja k peab

olema väiksem või võrdne n-ga.

Noh, tegelikult see ei pea.

Aga meie eesmärkideks praegu me oletame, et see on nii, sest

meie valem võib kokku kukkuda kui see nii ei oleks.

Ja see võrdub n!/(n-k)! .

Ma leian, et on raskem seda meelde jätta, kui lihtsalt

kohtade peale mõelda.

Ja lihtsalt öelda, et noh 5 inimest või 5

asja võivad olla siin.

Ja siis kui see üks asi on seal, on 4 võimalust

jäänud ja siis on 3 võimalust jäänud.

Ma võtan esimesed k öiiget

n faktoriaalist.

Või sel juhul ma võtan esimesed kolm liiget

5 faktoriaalist.

5x4x3.

Nii mõtlen mina permutatsioonidest.

See on hea, kui meid huvitab -- ütleme, et need on

inimesed A, B, C, D, E.

Nii et need on need 5 inimest, kes istuvad varsti nendel toolidel.

See oleks lahe, kui me tahaksime arvestada permutatsiooni ABC

eraldi permutatsioonist ACB, eraldi

permutatsioonist -- ma ei tea -- BAC eraldi

permutatsioonist BCA.

Sest mäletad, kui me tegime seda, siis meid huvitas

see, kus nad istusid.

Ja eelmises videos me lugesime kõiki kaks korda,

sest see on oluline kui inimene A on istmel üks ja

inimene B on istmel kaks.

Ja siis kui nad vahetaksid, siis me loeksime selle uuesti, onju?

See on see, kus nad vahetuvad.

Aga mis siis, kui meid see ei huvitaks?

Mis siis, kui meid ei huvitaks kes millisel toolil istub?

Me lihtsalt tahame teada, kui mitmel erineval viisil saavad

5 inimest istuda?

Nii et me tahtsime lugeda kõiki situatsioone, kus inimene A, B

ja C istuvad põhimõtteliselt ühe lahendusena.

Meid ei huvita, kes istub millises toolis.

Meid lihtsalt huvitab, et need 3 inimest istuvad.

See on hulk, osahulk nendest inimestest, kes istuvad.

Ja siis see küsimus ei ole see, kui mitut erinevat

permutatsiooni või mitu erinevat viisi saavad inimesed

maha istuvad vaid mitu 3-st alamhulka

me saame 6 hulgast võtta?

Ja ma tean, et ma hüppan ringi natukene, aga

see on põhimõtteliselt, mis kombinatsioon on.

Kombinatsioon on permutatsioon, kus sind ei huvita

järjekord

Nii et kuidas me selle välja nuputame?

Noh, kui me leidsime permutatsioonid kasutades seda valemit.

Me lugesime -- näiteks, me lugesime ABC, ACB, BAC,

BCA ja vaatame,

peaks olema 2 permutatsiooni veel olema.

CAB ja CBA.

Me lugesime kõik need 6 erinevateks permutatsioonideks.

Aga meie kombinatsioonides me tahame, et -- kõik see

oleks põhimõtteliselt sama kombinatsioon, kuna meid ei

huvita järjekord.

Nii et iga 3 erineva inimese jaoks, kes on nendel istmetel

on tegelikult 6 permutatsiooni, mida me

loeme, kui me teeme permutatsioone.

Nii et kui me tahame kombinatsioone me lihtsalt jagame selle numbriga,

kui mitmel erineval viisil me saaksime ümber paigutada 3 inimest 3-le istmele.

See on põhimõtteliselt see, mida me siin tegime.

Nii et kui mitmel erineval viisil saad sa 3

inimest korraldada 3-le istmele?

Noh see on teatud määral järgmine permutatsiooni probleem.

Esimesele istmele sa saaksid panna 3 erinevat inimest, teisele

istmele saaksid panna 2 erinevat inimest ja viimasele istmele --

noh, on ainult 1 inimene järel.

Nii et see võrdub 3!, mis on võrdne 6-ga.

See on võrdne 3!, mis on võrdne 6-ga.

Loodan, et ma ei aja segadusse.

Mida ma lihtsalt tahan öelda, on see, et kui sa tegid permutatsiooni, me

lugesime üles kõik erinevad viisid, kuidas inimesed saaksid

ennast korraldada.

Ja mida ma ütlen on, noh, kui mitmel erineval viisil

saavad inimesed ennast korraldada?

Noh see saab olema kohtade numbri faktoriaal,

sest kui meil on 3 inimest kolmel kohal või ütleme

4 inimest 4-l kohal.

Neljas koht saab saada 4 inimest, teine koht saab

saada 3 ja nii edasi, kolmas koht saab saada 2 ja

viimane koht saab saada ainult 1.

Nii et see on kohtade numbri faktoriaal, mis on kui mitu

permutatsiooni, me loeme.

Kui meil on täpselt samad inimesed, nad lihtsalt mängivad

muusikalisi toole täpselt samades istmetes.

Nii et sellekd, et leida kombinatsioonid, nii et kui me tahaksime

öelda kui mitu inimest -- ütleme, et meil on 5 inimest.

Kui mitu erinevat 3-st gruppi saaks istet võtta?

Ja me ei taha, kahekordistada.

Me ei taha rohkem kui topelt lugeda.

Ma ei tea mis sõna on selleks, et lugeda

midagi 6 korda.

Noh see saab olema sama asi, mis on permutatsioon

jagatud kõige selle lisa lugemisega, mida me tegime.

Noh, lihtsalt jagame selle arvuga, et kolm inimest saavad

ennast jaotada kolmele toolile.

Ja see on 3-e faktoriaal.

Ja ma loodan, et see on mõistetav.

Võib-olla ma teen veel mõne näite mõnes teises videos.

Ja kindlasti soovitan seda, kui sa arvad, et see

on eriti segadusttekitav.

Nii et üldiselt, kui me ütleme, mis on need erinevad viisid, et

n asja saavad valitud?

Või kombinatsioonide arv, et n asja saavad valitud

hulkadesse r, kus r on väiksem või võrdne n-ga.

See on võrdne permutatsioonidega, mida sa võid luua selleks, et

panna n asja r kohta jagada r-i faktoriaaliga.

Me jagame selle arvuga, mitmel viisil r kohti

endid saab ümber jaotada, sest me ei taha

neid lisana lugeda.

Ja kui me läheme tagasi selle valemi juurde siin üleval, noh, see

oli k, kuid nüüd me ütleme, et see on r.

See on sama asi nagu -- nii et permutatsioon oli

n!/(n-r)! .

Ja nüüd me jagame kõike r-i faktoriaaliga.

Nii et see võrdub -- las ma lihtsalt kirjutan selle.

See on tihiti kirjutatud, kui nCr.

Teine viis, kuidas see on kirjutatud on kombinatsioon n-st r-i kaupa.

Seda kutsutakse binoomkordajaks ja me teeme

terve seeria moodulitest selle kohta ka, sest see tegelikult

tuleb välja teistel polünoomsetel laienemistel, kui sa võtad

polünoome astmetele.

Kuid see on võrdne n faktoriaal r faktoriaali üle

jagatud n-ga, millest on maha arvatud r-i faktoriaal.

Sa võiksid selle meelde jätta.

See on kasulik, kui sa tahad teha asju

kiiresti testidel.

Aga on väga oluline mõelda sellest, kust see tuli.

n!/(n-r)! -- see

on lihtsalt permutation.

Ja mis see on?

Noh, see oli lihtsalt esimese r-ma arvan, et sa võid seda kutsuda

esimeseks r-i teguriks.

r suurimad tegurid n faktoriaalist,

See on kõik, mis see on.

Ja kui me tegime kombinatsioone, me jagasime r

faktoriaaliga, sest me tahtsime jagada seda kõigi erinevate

korraldustega, kuidas inimesed saavad ennast istutada

r istmetel.

Või pallid võiks panna r tassi.

Nii et sellest olukorras, kui me tahame teada, kui mitu erinevat

3-st grupp saab valida 5 inimese seast või 5

kirja seast, see oleks 5 faktoriaal jagada 3 faktoriaaliga

korda 5 miinus 3-e faktoriaal.

Ja see on 5x3x2x1 jagatud 3-e

faktoriaal on ainult 6.

Paneme selle korraks kõrvale.

Jagatud--see on 2 faktoriaal.

2 korda 1.

Nii et pane tähele, see on permutatsiooni osa siin.

See liige lihtsalt taandab ära kaks kõige madalamat tegurit.

Sa saad 5 korda 3.

Oh, vabandust seal on 4.

5 korda 4 korda 3, mis on permutatsioonide arv.

Ja siis me jagame 6-ga, sest me saime 6 permutatsiooni

iga kombinatsiooni eest.

Võib-olla see see ajas sind segadusse.

Kuid igatahes, nii et me saame 5x4x3/6.

Ja see on, mis?

5x12/6, mis on võrdne 5x2.

On 10 võimalikku viisi, et me saame 3-seid komplekte

5 asjaga grupist.

Näeme järgmises videos.