-
-
-
V předchozím videu jsme si ukázali, kolika různými
-
způsoby můžeme usadit 5 lidí na 3 židle.
-
Například toto je židle jedna, toto židle dva
-
a toto židle tři.
-
Řekli jsme, že na židli jedna můžeme usadit 5 lidí.
-
Nikdo na ní nesedí.
-
Pak budou zbývat pouze 4 lidé, takže na židli 2
-
můžeme usadit 4 různé lidi.
-
A poté zbydou 3 lidé, které můžeme posadit
-
na židli 3.
-
Šlo o variace. Celkový počet způsobů, kterými mohou být lidé
-
posazeni na různá místa, jestliže nám záleží na pořadí,
-
tedy jestliže nám záleží na tom, na které židli sedí,
-
bude tedy roven 5 krát 4 krát 3.
-
A jiný způsob, jak o tom můžeme přemýšlet je:
-
5 krát 4 krát 3 je to samé jako...
-
To se rovná 5 krát 4 krát 3 krát 2 krát 1 nad čím?
-
Nad 2 krát 1.
-
A to je ta samá věc jako 5 faktoriál nad 2 faktoriál.
-
Ale odkuď jsme vzali tuhle 2?
-
Jak je 2 spojena s 5 a 3?
-
Jaký je rozdíl těchto dvou čísel?
-
Je to také 2. Je to to samé. Tohle je rovno 5 faktoriál
-
nad 5 minus 3 faktoriál.
-
A to je v zásadě způsob, jakým jsme zjistili, kolika
-
způsoby můžeme umístit 5 věcí
-
na 3 pozice.
-
Obecný vzorec jsme se naučili
-
v předchozím videu.
-
Změním barvy.
-
Jestliže chceme dát n věcí na k pozic, přičemž k musí
-
být menší nebo rovno n.
-
No dobře, nemusí.
-
Ale pro naše účely budeme nyní předpokládat, že ano, protože
-
by náš vzorec nemusel fungovat, jestliže by to tak nebylo.
-
A to je rovno n faktoriál nad n minus k faktoriál.
-
Vždy mi přijde těžší učit se to nazpaměť než
-
se jen zamyslet nad tímto místem.
-
Pak si jen řeknu, víte, 5 lidí, 5 z těch věcí
-
může být tady.
-
A když už je tady jedna věc, pak zbývají 4 možnosti
-
a pak zbývají 3 možnosti.
-
-
-
Přemýšlím o tom tak, že vezmu prvních k členů
-
z n faktoriál.
-
V tomto případě vezmu první 3 členy
-
z 5 faktoriál.
-
5 krát 4 krát 3.
-
Takto počítám variace.
-
Je to skvělé, když nám záleží na pořadí. Řekněme, že tu jsou
-
lidé A, B, C, D, E.
-
Takže to je 5 lidí, kteří mají být usazeni na židle.
-
variace jsou skvělé, když uvažujeme, že trojice ABC
-
je jiná než trojice ACB i od
-
trojice -- já nevím -- BAC a stejně tak
-
od trojice BCA.
-
-
-
Pamatujte si, že když jsme toto dělali, tak záleželo na tom,
-
kde který člověk sedí.
-
A v minulém videu jsme vše započítávali dvakrát,
-
protože záleželo na tom, zda osoba A sedí na místě jedna a
-
osoba B na místě dva.
-
A když se prohodili, započítali jsme to znova, je to tak?
-
Tady se prohodili.
-
Ale co kdyby nám na tom nezáleželo?
-
Co kdyby nám nezáleželo na tom, kdo sedí na kterém místě?
-
Chtěli bychom pouze vědět, kolika různými způsoby
-
se může posadit 5 lidí?
-
Chceme započítat všechny situace, kdy lidé A, B, C
-
sedí na místě, jako jednu situaci.
-
Nezáleží nám na tom, kdo sedí na které židli.
-
Záleží nám pouze na tom, aby právě tyto 3 osoby seděly.
-
To je podmnožina sedících osob.
-
A tak je otázkou ne kolika různými
-
permutacemi nebo kolika různými způsoby můžeme posadit
-
tyto osoby, ale kolik podmnožin o 3 prvcích můžeme
-
vybrat z množiny 5 prvků?
-
-
-
Vím, že tak trochu chodím okolo horké kaše, ale
-
to je to, co v podstatě jsou kombinace.
-
Kombinace jsou podobné variacím, ale nezáleží nám
-
na pořadí.
-
Takže jak to spočítat?
-
Když jsme počítali variace použitím tohoto předpisu,
-
počítali jsme například ABC, ACB, BAC,
-
BCA a podívejme se.
-
Měly by tu být ještě dvě další trojice.
-
CAB a CBA.
-
Započítali jsme každou z těchto 6 uspořádaných trojic.
-
Ale v našich kombinacích budeme chtít něco jiného.
-
Je to vše v podstatě stejná kombinace, protože nám
-
nezáleží na pořadí.
-
Takže pro jakékoli 3 různé lidi, kteří jsou na těchto místech,
-
budeme mít 6 trojic, které
-
počítáme, když děláme variace.
-
Takže když chceme kombinace, jen to vydělíme počtem
-
způsobů, kterými můžeme přesadit 3 lidi na 3 místa.
-
To je v podstatě to, co tu děláme.
-
Takže kolika různými způsoby můžeme posadit 3
-
lidi na 3 místa?
-
No, to je trochu jiný problém.
-
Na první místo můžeme umístit 3 různé osoby, na druhé
-
2 různé osoby a na poslední místo--
-
tak to nám zbývá jen jedna osoba.
-
Takže se to rovná 3 faktoriál, který je roven 6.
-
Tohle je rovno 3 faktoriál, který se rovná 6.
-
Doufám, že vás nematu.
-
Snažím se jen říct, že když jsme dělali variace,
-
počítali jsme všechna různá pořadí, v nichž mohli být lidé
-
posazeni.
-
A teď se ptám, kolika různými způsoby
-
se mohou lidé posadit?
-
Bude to počet míst faktoriál
-
3 a třetí místo 2 a poslední
-
protože když máme 3 lidi na 3 místech nebo řekněme
-
místo může mít pouze 1.
-
4 lidi na 4 místech.
-
Takže počet míst faktoriál zde znamená, kolika způsoby
-
Čtvrté místo mohou obsadit 4 lidé, druhé místo mohou mít
-
se na ně mohou tři stejní lidé posadit.
-
Když máme přesně ty stejné osoby, které udělají
-
škatulata, hejbejte se na těch samých židlích.
-
Takže abychom určili kombinaci, když bychom chtěli
-
říct, kolik lidí-- řekněme kdybychom měli 5 lidí.
-
Kolik různých skupin po 3 může být usazeno?
-
A nechceme to započítat vícekrát.
-
A nechceme to započítat vícekrát.
-
Neznám slovo pro počítání
-
něčeho šest krát.
-
Bude to stejný případ jako u variací,
-
ale vydělíme to vším, co jsme zahrnuli navíc.
-
Budeme prostě dělit počtem způsobů, kterým mohou být 3 lidé
-
usazeni na 3 místa.
-
A to je 3 faktoriál.
-
-
-
A doufám, že to dává smysl.
-
Možná udělám více příkladů v dalších videích.
-
A určitě si o ně řekněte, jestliže si myslíte, že
-
je to příliš matoucí.
-
Takže obecně, jakými různými způsoby můžeme
-
vybrat n věcí?
-
Nebo počet kombinací, jak může být n věcí vybráno
-
do množin o velikosti r, kde r je menší nebo rovno n.
-
Spočítáme, kolika různými způsoby můžeme umístit
-
n věcí na r míst, a vydělíme r faktoriálem.
-
-
-
Budeme to dělit počtem způsobů, kterými můžou být tytéž věci
-
na r místech přeskupeny, protože nechceme
-
započítat několikrát totéž.
-
A když se vrátíme ke vzorci tady nahoře, tak toto
-
bylo k, ale nyní jsme řekli, že to je r.
-
Je to podobné jako u variací. U variací to bylo
-
n faktoriál nad n minus r faktoriál.
-
A nyní to ještě vydělíme r faktoriál.
-
Takže to se rovná-- jen to napíšu.
-
Toto se často píše jako n kombinace r.
-
Jiným způsobem je n kombinace r.
-
Nazývá se to binomický koeficient a my z nich uděláme
-
celou řadu, protože se to
-
objevuje v polynomiálním rozvoji, když vezmete
-
polynom a umocníte ho.
-
Ale toto se rovná n faktoriál nad r faktoriál
-
děleno n minus r faktoriál.
-
To si můžete zapamatovat.
-
Víte, je to užitečné, když chcete dělat věci
-
rychleji v testech.
-
Ale je důležité přemýšlet o tom, kde se to vzalo.
-
n faktoriál nad n minus r faktoriál--
-
to jsou jen variace.
-
A co to vůbec bylo?
-
No, to bylo pouze prvních r činitelů,
-
No, to bylo pouze prvních r činitelů,
-
r největších činitelů z n faktoriálu.
-
To je vše.
-
A pak, když uděláme kombinace, vydělíme je r
-
fakroiálem, protože to chceme vydělit všemi různými
-
uskupeními, kterými se mohou titéž lidé posadit
-
na r míst.
-
Nebo míčky mohou být umístěny do r hrníčků.
-
Takže v situaci, kdy chceme vědět, kolika různými způsoby
-
mohou být vybrány skupiny po 3 z 5 lidí nebo z 5 dopisů,
-
bude to 5 faktoriál nad 3 faktoriál
-
krát 5 minus 3 faktoriál.
-
A to je 5 krát 3 krát 2 krát 1 nad-- 3
-
faktoriál je 6.
-
Dáme to na chvíli bokem.
-
Děleno 2 faktoriál.
-
2 krát 1.
-
Všimněte si, že tohle je totéž jako u variací.
-
Tento člen se jen zbaví dvou nejnižších činitelů.
-
Dostanete 5 krát 3.
-
Promiňte, je tu ještě 4.
-
5 krát 4 krát 3, čímž bychom dostali variace.
-
A pak to vydělíme 6, protože dostaneme 6 trojic pro
-
každou kombinaci.
-
Možná vás to zmátlo.
-
Ale i tak, dostaneme (5 krát 4 krát 3) děleno 6.
-
A to je co?
-
5 krát 12 děleno 6, což je rovno 5 krát 2.
-
Je tu 10 možných způsobů, jak můžeme vybrat skupiny po 3
-
z množiny 5 věcí.
-
Uvidíme se u dalšího videa.
