Комбинации

Увод в комбинациите

В миналия клип разбрахме

по колко на брой различни начина

биха могли да седят 5 души на 3 стола.

Да вземем, например, ако това е
стол едно, това-стол две,

а това-стол три.

Казахме, добре, на стол едно
бихме могли да поставим 5 души.

Никой от тях не седи.

Тогава ще са останали само 4
души, и можем на стол 2

да сложим 4 различни човека.

Тогава ще са останали 3
души, които можем

да настаним на стол три.

Така общият брой пермутации,
различните начини, по които

би имало седящи по
столовете, ако ни е грижа

за реда-или по-точно на кой
стол са седели те-

това ще е равно на 5
пъти по 4 по 3.

А друг начин, по който можем
да мислим за това-5 пъти по 4

по 3-което е същото.

Това е равно на 5 пъти по 4 по 3
по 2 по 1 върху какво?

Върху две, умножено по 1.

Това е същото като 5 факториел
върху 2 факториел.

Така, откъде идва
тази двойка?

Как 2 е свързана
с петицата и с тройката?

Каква е разликата
между двете?

Това е същото,
равно е на 5 факториел

върху 5 минус 3 факториел.

И това, в общи линии, е начинът,
по който намираме от колко

пермутации могат да се заместят 5 неща, или

как могат да се подредят те в 3 положения?

А основната формула е-
научихме това

миналия път.

ще премина на цветове.

Ако искаме да поставим n неща
в k положения, и k трябва

да е по-малко или равно на n.

Ами, всъщност, това
не е нужно.

Но заради целите ни в момента,
ще приемем, че е нужно, защото

формулата ни може да не излезе
ако не беше нужно.

Така, това е равно на n факториел
върху n минус k факториел.

Винаги това ми се струва по-трудно
за запомняне, отколкото

мисълта за самата задача.

Така, да кажем, о, добре,
виждаме, 5 души, 5 от

нещата биха могли да са тук.

И веднъж щом едно от тях
е тук, останали са 4 възможности,

след които са

останали 3 възможности.

Начинът, по който разсъждавам,
вземам първите k члена

от n-факториела.

Или в този случай, вземам
първите три члена

от 5-факториела.

5, умножено по 4, умножено по 3.

По този начин
мисля за пермутациите.

Това е чудесно, ако ни интересуваше-
да кажем, че това са

хора: A, B, C, D, E.

Това са петимата души, които
ще седят на столовете.

Това е чудесно ако искаме
да преброим пермутацията ABC като

различна от пермутацията
ACB, която е различна от

пермутацията-не знам-
BAC, която е различна

от пермутацията

BCA.

Защото, запомнете, когато направихме
това, всъщност ни беше грижа за местата

за сядане на всички.

И в миналия клип
да пъти преброихме всичко,

защото има значение дали
човек А e на място едно, както

това, дали човек В e на място две.

И ако се счете това,
че сме преброили повторно, какво става?

Тук е станало ясно това.

Но ако не ни е грижа за тези неща,
какво ще стане?

Какво би станало, ако не се
интересуваме за това кой на кое място седи?

Искахме само да знаем по колко
на брой различни начина

биха могли да седят петте души.

Така че искаме да преброим всички
ситуации, в които хората A, B

и C седят като разглеждане
на една ситуация.

Не ни интересува кой
на кой стол седи.

Интересува ни само факта, че това
са тримата седящи.

Ето групата, и подгрупата
от седящи.

И така, въпросът става
не колко на брой различни

пермутации или по колко
различни начина могат да седят

хората, въпросът става,
колко подгрупи по 3

могат да се изведат

от група, съдържаща 5?

И сега знам, че вървя малко неопределено, но

това е същността
на една комбинация.

Комбинацията представлява
вид пермутация, при която не се интересуваме

от реда на нещата.

Как го намираме?

Ами, след като сме намерили
пермутациите с помощта на тази формула,

където броихме-например,
преброихме ABC, ACB, BAC,

BCA, и нека видим.

Би трябвало да има
още две пермутации.

CAB и CBA.

Преброихме всички 6 от тези,
като различни пермутации.

Но в комбинациите ни
ще искаме да... всичко това

е по същество същата
комбинация, защото

не ни е грижа за реда.

Така че за всеки три различни индивида,
които са по тези места,

всъщност ще има 6
пермутации, които

преброяваме, когато
пресмятаме пермутациите.

И така, ако искаме комбинациите,
само ще разделим на броя

начини, по които можем да прегрупираме
трима души на три места.

Това, по същество,
направихме тук.

И така, по колко на брой
различни начина можем да подредим

трима на три места?

Това е един вид друга
задача с пермутации.

На първото място можем да поставим
трима различни човека, на второто-

двама различни човека,
и на последното-

ами, останал е
само един човек.

Така, това е равно на 3 факториел,
което е равно на 6.

Имаме равенство с 3 факториел,
което е равно на 6.

Надявам се, че не ви обърквам.

Това, което се опитвам да кажа е,
че когато решихме пермутация,

ние преброихме всички различни
подредби на това как могат да се

групират хората.

И това, за което говоря сега е,
всъщност, по колко различни начина

хората могат да се подредят?

Това ще бъде броят места факториел,

защото ако са налице трима души
на три места или, да кажем,

четирима души на 4 места...

Четвъртото място може да съдържа
четирима души, второто място-

трима, и така, четвърто, третото
място би съдържало 2, и

на последното място ще има само 1.

И броят на местата
факториел представлява колко

на брой са преброените пермутации.

Когато имаме същия
брой хора, те просто си играят

на музикални столове
на точно същите места.

И за да намерим комбинацията,
ако искаме

да кажем колко души-да
приемем, че имаме 5 души.

Колко на брой различни групи
от по трима биха седнали?

И не искаме да удвояваме.

Не искаме да броим
повече от двойно.

Не знам каква е
думата, когато

нещо се брои шест пъти.

Ами, ще имаме същото нещо,
като пермутацията,

разделена на всичко,
преброено допълнително, което направихме.

Само ще разделим на броя
начини, по които трима души могат да се

подредят в три места.

Което е

3 факториел.

Надявам се, че ме разбирате.

Може би ще дам още няколко
примера в други клипове.

И определено ги потърсете,
ако мислите, че

това е много объркващо.

Така по принцип, да кажем,
какви са различните начини, по които

могат да бъдат избрани n-елемента?

Или броят комбинации,
в които могат да бъдат избрани n-елемента

на групи по r-броя, където
r е по-малко или равно на n.

Това е равно на броя
пермутации, които бихме създали

като подредим n-елементите в

r- места, делено на r факториел.

Ще разделим на
броя начини, по които самите r-места

могат да бъдат прегрупирани,
защото не искаме

да броим тези допълнения.

И ако се върнем на тази
формула тук горе, ами, това

беше k, но сега
казваме, че е r.

Което е същото като-
при пермутациите имаше

n-факториел върху n
минус r-факториел.

И вече разделяме
всичко на r-факториел.

А това е равно на-
нека го напиша.

Това често се записва така:
n избираемо за r.

Друг начин, по който може
да се запише е този: n на степен голямо C по r.

Това се нарича биномен
коефициент, ще имаме

цяла поредица модули върху него,
защото това всъщност

е показателно при извеждане
на полиноми, когато повдигаме

полиноми на дадена степен.

Но това е равно на n-
факториел върху r-факториел,

разделено на n минус r-факториел.

Лесно е за запомняне.

Един вид, полезно е,
ако искаме да правим

бързи сметки на контролните.

Но е много важно да помислим
за това от къде се е получило.

Така, n-факториел върху n
минус r-факториел-това е

самата пермутация.

А какво е това?

Ами това беше първото
r-предполагам, че можем да го

наречем първите r-множители.

Най-големите множители
от n-факториел.

Това е всичко, което е той.

След това, когато пресметнем
комбинациите, които сме разделили на

r-факториел, защото искаме
да го разделим на всички различни

групирания, в които ще се
подредят хората

в r-местата.

Или, топките могат
да се сложат в r-купи.

И в тази ситуация ако искаме
да знаем колко на брой различни

групи по трима могат да се изберат
от 5 души или от 5

букви, това ще е равно на 5
факториел върху 3 факториел,

умножено по 5 минус 3 факториел.

А това е 5 пъти по 3 пъти
по 2 пъти по 1, върху-3

факториел си е 6.

Да оставим това настрани
за малко.

Делено на-това е
3 факториел.

2 пъти по 1.

И забележете, това е
част от пермутация тук.

Този член просто се освобождава
от двата най-ниски коефициента.

Получаваме 5, умножено по 3.

О, извинете, има 4.

5, умножено по 4, умножено по 3, което
е броят пермутации.

И след това разделяме на 6, защото
получаваме 6 пермутации

за всяка една комбинация.

Може би се объркахте.

Както и да е, тук получаваме 5 пъти
по 4 по 3, делено на 6.

А това е какво?

5 пъти по 12 делено на 6,
което е равно на 5 пъти по 2.

Има 10 възможни начина,
по които можем да вземем редица от 3

от група, състояща се от 5 члена.

Ще се видим следващия път.