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Nell'ultimo video ti ho mostrato che se qualcuno dovesse venire
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da te e ti chiedesse quant'e' l'arcoseno --- ooops.
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--- arcoseno di x?
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E quindi questo sara' chissa' quanto.
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Questo e' come dire che il seno di
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un qualche angolo e' uguale a x.
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E l'abbiamo risolto in un paio di casi nell'ultimo esempio.
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Quindi usando lo stesso schema --- fammiti mostrare questo.
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L'avrei anche potuto riscrivere come il seno inverso
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di x e' uguale a cosa.
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Queste sono affermazioni equivalenti.
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Due modi di scrivere la funzione inversa del seno.
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Questo e' piu' --- questa e' la funzione inversa del seno.
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Non la stai elevando alla potenza di -1.
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Stai solo dicendo il seno di cosa --- quindi quale punto interrogativo ---
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che angolo e' uguale a x?
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E l'abbiamo fatto nell'ultimo video.
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Quindi per lo stesso schema, se dovessi venire da te
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per la strada e ti dicessi la tangente di --- la tangente
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inversa di x e' uguale a cosa?
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Tu immediatamente dovresti dirti: oh, mi sta solo chiedendo ---
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sta solo dicendo che la tangente di un qualche angolo
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e' uguale a x.
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E devo solo capire che angolo e'.
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Quindi facciamo un esempio.
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Quindi diciamo che ti incontro per strada.
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Si cammina un sacco su un sacco di strade.
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Scriverei --- se ti dicessi quant'e'
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l'arcotangente di -1?
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O ti avrei equivalentemente potuto chiedere, quant'e'
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l'inverso della tangente di -1?
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Queste sono domande equivalenti.
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E quello che dovresti fare e' che dovresti, a mente --- se
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non lo sai a memoria, dovresti disegnare la circonferenza unitaria.
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In realta' fammiti dare una rinfrescata su anche solo
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cosa ci chiede la tangente.
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La tangente di theta --- questa e' proprio funzione tangente non inversa
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originale, diretta --- e' uguale al seno di
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theta fratto il coseno di theta.
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E il seno di theta e' il valore y sulla funzione unitaria ---
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sulla circonferenza unitaria.
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E il coseno di theta e' il valore x.
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E quindi se disegni una retta --- fammi disegnare una piccola
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circonferenza unitaria.
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Percio' se ho una circonferenza unitaria fatta cosi'.
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E diciamo che sto su un certo angolo.
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Diciamo che questo e' il mio angolo theta.
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E questa e' la mia y --- le mie coordinate (x, y).
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Sappiamo gia' che il valore di y, questo e'
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il seno di theta.
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Fammi scorrere qui.
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Seno di theta.
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E sappiamo gia' che questo valore di x e' il coseno di theta.
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Quindi quanto sara' la tangente?
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Sara' questa distanza diviso per questa distanza.
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O da algebra 1, questopotrebbe ricordarti qualcosa, perche'
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cominciamo all'origine dal punto (0, 0).
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Questo e' variazione di y fratto variazione di x.
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E' salita fratto percorso.
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O puoi tipo vederlo come tangente di theta, o e'
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sul serio, come la pendenza della retta.
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La pendenza.
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Quindi puoi scrivere che la pendenza e' uguale alla tangente di theta.
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Teniamolo bene a mente quando andiamo all'esempio.
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Se ti chiedo --- e lo riscrivo qui --- quant'e'
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l'inverso della tangente di -1?
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E continuo a riscriverlo.
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O l'arcotangente di -1?
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Sto dicendo quale angolo mi da una pendenza di -1
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sulla circonferenza unitaria?
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Quindi disegnamo la circonferenza unitaria.
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Disegnamo la circonferenza unitaria cosi'.
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Poi ho gli assi cosi'.
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E voglio una pendanza di -1.
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Una pendanza di -1 e' fatta cosi'.
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Se fosse stata cosi' sarebbe una pendenza di +1.
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Quindi che angolo e'?
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Percio' per poter avere una pendenza di -1, questa distanza
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e' uguale a questa distanza.
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E potresti aver gia' riconosciuto che questo e' un angolo retto.
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Quindi questi angoli devono essere uguali.
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Quindi questo deve essere un triangolo 45-45-90.
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Questo e' un triangolo isoscele.
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La somma di questi deve essere 90 e devono essere uguali.
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Quindi e' un 45-45-90.
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E se conosci il 45-45-90 --- in realta', non devi neanche
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conoscerne i lati.
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Nel video precedente abbiamo visto che questo
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sara' --- qui.
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Questa distanza sara' la radice quadrata di 2 fratto 2.
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Quindi questa coordinata nella direzione y e'
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meno radice quadrata di 2 fratto 2.
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E questa coordinata qui sulla direzione x e'
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radice quadrata di 2 fratto 2 perche' questa lunghezza qui
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e' questa.
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Quindi la radice quadrata di 2 fratto 2 al quadrato piu' la radice quadrata di
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2 fratto 2 al quadrato e' ugual a 1 al quadrato.
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Ma la cosa importante da realizzare e' che questo e'
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un triangolo 45-45-90.
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Quindi quest'angolo qui e' --- beh se guardi solo il
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triangolo stesso, dici che questo e'
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un angolo di 45 gradi.
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Ma visto che stiamo andando in senso orario sotto l'asse x,
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lo chiamiamo angolo di -45 gradi.
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Quindi la tangente di -40 --- fammelo scrivere.
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Quindi se sto in gradi.
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E tende ad essere come penso.
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Quindi scrivo tangente di -45 e' uguale a questo
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valore negativo --- meno la radice quadrata di 2 fratto 2 fratto radice quadrata
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di 2 fratto 2, che e' uguale a -1.
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O potrei scrivere l'arcotangente di -1 e' uguale
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a -45 gradi.
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Adesso se abbiamo a che fare con i radianti, dobbiamo solo
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convertirlo in radianti.
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Quindi moltiplichiamo questo per --- otteniamo π radianti
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ogni 180°.
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I gradi si annullano.
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Quindi hai 45 / 180.
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Questo ci va 4 volte.
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Quindi e' uguale a --- hai il segno meno ---
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-π/4 radianti.
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Quindi l'arcotangente di -`1 e' uguale a -π/4 o
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anche l'inverso della tangente di -1 e' uguale a -π/4.
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Ora potresti dire: guarda.
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Se sto a -π/4, sta qui.
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Va bene.
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Questo mi da un valore di -1 perche' la pendenza
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di questa retta e' -1.
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Ma potrei continuare a girare attorno alla circonferenza unitaria.
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Potrei aggiungerci 2π.
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Magari potrei aggiungerci 2π e anche questo mi darebbe ---
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se prendo la tangente di quell'angolo, anche questo
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mi darebbe -1.
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O potrei aggiungerci altri 2π e anche questo, di nuovo, mi darebbe -1.
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Infatti potrei andare su questo punto qui.
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E anche la tangente mi darebbe -1 perche'
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la pendenza sta qui.
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E come ho detto per il seno --- il video sull'inverso del seno,
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non puoi avere una funzione che ha una relazione uno a molti.
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Non puoi --- l'inverso della tangente di x non puo' mapparsi a un mucchio
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di valori diversi.
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Non si puo' mappare su -π/4.
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Non si puo' mappare su 3 --- quanto sarebbe? -- 3π/4.
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Non lo so.
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Sarebbe --- dico solo 2π/4.
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O 4π - π.
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Non si puo' mappare a tutte queste cose diverse.
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Quindi devo restringere l'intervallo
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dell'inverso della tangente.
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E lo restringiamo molto similarmente al modo in cui
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abbiamo ristretto il seno --- l'intervallo dell'inverso del seno
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Lo restringiamo al primo e quarto quadrante.
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Quindi la risposta dell'inverso della tangente sara' sempre
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qualcosa in questi quadranti.
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Ma non puo' essere questo punto e questo punto.
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Perche' la funzione tangente diventa indefinita su
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π/2 e -π/2.
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Perche' la pendenza diventa verticale.
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Inizi a dividere --- la variazione di x e' 0.
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Dividi --- il coseno di θ diventa 0.
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Quindi quando dividi per quello e' indefinito.
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Quindi l'intervallo --- se io --- fammelo scrivere.
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Quindi se ho l'inverso della tangente di x, faro' --- beh,
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quali sono tutti i valori che la tangente puo' prendere?
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Percio' se ho la tangente di θ = x, qualsi sono
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i diversi valori che x puo' prendere?
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Sono i valorio possibili per la pendenza.
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E la pendenza puo' prendere tutto.
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Quindi x potrebbe essere qualsiasi cosa tra meno infinito
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e' piu' infinito.
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x puo' assumere qualsiasi valore.
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Che mi dici di θ?
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Beh l'ho appena detto.
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θ, puoi solo andare da -π/2 fino ad
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arrivare a π/2.
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E non puoi neanche includere π/2 o -π/2
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perche' andresti in verticale.
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Quindi quando dici --- quindi se ho a ch fare con
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la tangente originale.
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Non l'inversa.
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Il dominio --- beh, il dominio della tangente puo' girare
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piu' volte, quindi non farmi fare quell'affermazione.
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Ma se voglio fare l'inverso della tangente in modo da non avere
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quella relazione 1 a molti.
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Voglio eliminare tutti questi.
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Restringo θ, o il mio intervallo, ad essere maggiore di
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-π/2 e minore di +π/2.
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E quindi se restringo l'intervallo a questo qui e
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escludo questo punto e questo punto.
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Cosi' posso ottenere una sola risposta.
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Quando dico tangente di cosa mi da' una pendenza di -1?
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E questa e' la domanda che sto ponendo qui.
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C'e' solo una risposta.
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Perche' se mantengo --- questo ne cade al difuori.
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E ovviamente man mano che giro, questi cadono
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fuori dall'intervallo valido per θ che ti stavo dando.
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E poi giusto per tipo assicurarci di averlo fatto bene.
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La risposta era π/4.
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Vediamo se otteniamo questo quando usiamo la calcolatrice.
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Quindi l'inverso della tangente di -1 e' uguale a questo.
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Vediamo se e' la stessa cosa di -π/4.
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-π/4 e' uguale a questo.
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Quindi e' -π/4.
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Ma abbiamo fatto bene a risolverlo senza calcolatrice perche'
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e' difficile riconoscere che questo e' -π/4.
