WEBVTT 00:00:00.390 --> 00:00:03.490 Nell'ultimo video ti ho mostrato che se qualcuno dovesse venire 00:00:03.490 --> 00:00:10.010 da te e ti chiedesse quant'e' l'arcoseno --- ooops. 00:00:10.010 --> 00:00:13.190 --- arcoseno di x? 00:00:13.190 --> 00:00:16.360 E quindi questo sara' chissa' quanto. 00:00:16.360 --> 00:00:20.100 Questo e' come dire che il seno di 00:00:20.100 --> 00:00:22.470 un qualche angolo e' uguale a x. 00:00:22.470 --> 00:00:25.520 E l'abbiamo risolto in un paio di casi nell'ultimo esempio. 00:00:25.520 --> 00:00:28.230 Quindi usando lo stesso schema --- fammiti mostrare questo. 00:00:28.230 --> 00:00:31.810 L'avrei anche potuto riscrivere come il seno inverso 00:00:31.810 --> 00:00:33.540 di x e' uguale a cosa. 00:00:33.540 --> 00:00:35.140 Queste sono affermazioni equivalenti. 00:00:35.140 --> 00:00:37.480 Due modi di scrivere la funzione inversa del seno. 00:00:37.480 --> 00:00:39.790 Questo e' piu' --- questa e' la funzione inversa del seno. 00:00:39.790 --> 00:00:41.460 Non la stai elevando alla potenza di -1. 00:00:41.460 --> 00:00:45.340 Stai solo dicendo il seno di cosa --- quindi quale punto interrogativo --- 00:00:45.340 --> 00:00:46.920 che angolo e' uguale a x? 00:00:46.920 --> 00:00:48.470 E l'abbiamo fatto nell'ultimo video. 00:00:48.470 --> 00:00:52.020 Quindi per lo stesso schema, se dovessi venire da te 00:00:52.020 --> 00:00:58.770 per la strada e ti dicessi la tangente di --- la tangente 00:00:58.770 --> 00:01:02.010 inversa di x e' uguale a cosa? 00:01:02.010 --> 00:01:05.140 Tu immediatamente dovresti dirti: oh, mi sta solo chiedendo --- 00:01:05.140 --> 00:01:09.080 sta solo dicendo che la tangente di un qualche angolo 00:01:09.080 --> 00:01:10.440 e' uguale a x. 00:01:10.440 --> 00:01:13.380 E devo solo capire che angolo e'. 00:01:13.380 --> 00:01:14.840 Quindi facciamo un esempio. 00:01:14.840 --> 00:01:17.060 Quindi diciamo che ti incontro per strada. 00:01:17.060 --> 00:01:20.150 Si cammina un sacco su un sacco di strade. 00:01:20.150 --> 00:01:23.790 Scriverei --- se ti dicessi quant'e' 00:01:23.790 --> 00:01:27.970 l'arcotangente di -1? 00:01:27.970 --> 00:01:30.190 O ti avrei equivalentemente potuto chiedere, quant'e' 00:01:30.190 --> 00:01:32.510 l'inverso della tangente di -1? 00:01:32.510 --> 00:01:35.190 Queste sono domande equivalenti. 00:01:35.190 --> 00:01:37.430 E quello che dovresti fare e' che dovresti, a mente --- se 00:01:37.430 --> 00:01:40.200 non lo sai a memoria, dovresti disegnare la circonferenza unitaria. 00:01:40.200 --> 00:01:42.640 In realta' fammiti dare una rinfrescata su anche solo 00:01:42.640 --> 00:01:44.330 cosa ci chiede la tangente. 00:01:44.330 --> 00:01:48.890 La tangente di theta --- questa e' proprio funzione tangente non inversa 00:01:48.890 --> 00:01:52.630 originale, diretta --- e' uguale al seno di 00:01:52.630 --> 00:01:56.690 theta fratto il coseno di theta. 00:01:56.690 --> 00:02:00.670 E il seno di theta e' il valore y sulla funzione unitaria --- 00:02:00.670 --> 00:02:03.010 sulla circonferenza unitaria. 00:02:03.010 --> 00:02:06.730 E il coseno di theta e' il valore x. 00:02:06.730 --> 00:02:08.600 E quindi se disegni una retta --- fammi disegnare una piccola 00:02:08.600 --> 00:02:11.110 circonferenza unitaria. 00:02:11.110 --> 00:02:14.770 Percio' se ho una circonferenza unitaria fatta cosi'. 00:02:14.770 --> 00:02:17.980 E diciamo che sto su un certo angolo. 00:02:17.980 --> 00:02:20.940 Diciamo che questo e' il mio angolo theta. 00:02:20.940 --> 00:02:25.640 E questa e' la mia y --- le mie coordinate (x, y). 00:02:25.640 --> 00:02:29.380 Sappiamo gia' che il valore di y, questo e' 00:02:29.380 --> 00:02:30.880 il seno di theta. 00:02:30.880 --> 00:02:32.780 Fammi scorrere qui. 00:02:32.780 --> 00:02:34.210 Seno di theta. 00:02:34.210 --> 00:02:38.730 E sappiamo gia' che questo valore di x e' il coseno di theta. 00:02:38.730 --> 00:02:40.200 Quindi quanto sara' la tangente? 00:02:40.200 --> 00:02:46.670 Sara' questa distanza diviso per questa distanza. 00:02:46.670 --> 00:02:49.970 O da algebra 1, questopotrebbe ricordarti qualcosa, perche' 00:02:49.970 --> 00:02:52.520 cominciamo all'origine dal punto (0, 0). 00:02:52.520 --> 00:02:56.250 Questo e' variazione di y fratto variazione di x. 00:02:56.250 --> 00:02:58.700 E' salita fratto percorso. 00:02:58.700 --> 00:03:01.950 O puoi tipo vederlo come tangente di theta, o e' 00:03:01.950 --> 00:03:04.570 sul serio, come la pendenza della retta. 00:03:04.570 --> 00:03:05.730 La pendenza. 00:03:05.730 --> 00:03:11.660 Quindi puoi scrivere che la pendenza e' uguale alla tangente di theta. 00:03:11.660 --> 00:03:14.350 Teniamolo bene a mente quando andiamo all'esempio. 00:03:14.350 --> 00:03:19.550 Se ti chiedo --- e lo riscrivo qui --- quant'e' 00:03:19.550 --> 00:03:22.600 l'inverso della tangente di -1? 00:03:22.600 --> 00:03:23.880 E continuo a riscriverlo. 00:03:23.880 --> 00:03:26.440 O l'arcotangente di -1? 00:03:26.440 --> 00:03:29.830 Sto dicendo quale angolo mi da una pendenza di -1 00:03:29.830 --> 00:03:31.320 sulla circonferenza unitaria? 00:03:31.320 --> 00:03:34.830 Quindi disegnamo la circonferenza unitaria. 00:03:34.830 --> 00:03:37.960 Disegnamo la circonferenza unitaria cosi'. 00:03:37.960 --> 00:03:42.880 Poi ho gli assi cosi'. 00:03:42.880 --> 00:03:44.440 E voglio una pendanza di -1. 00:03:44.440 --> 00:03:46.450 Una pendanza di -1 e' fatta cosi'. 00:03:49.995 --> 00:03:52.430 Se fosse stata cosi' sarebbe una pendenza di +1. 00:03:52.430 --> 00:03:55.580 Quindi che angolo e'? 00:03:55.580 --> 00:03:58.710 Percio' per poter avere una pendenza di -1, questa distanza 00:03:58.710 --> 00:04:00.580 e' uguale a questa distanza. 00:04:00.580 --> 00:04:03.940 E potresti aver gia' riconosciuto che questo e' un angolo retto. 00:04:03.940 --> 00:04:06.410 Quindi questi angoli devono essere uguali. 00:04:06.410 --> 00:04:09.250 Quindi questo deve essere un triangolo 45-45-90. 00:04:09.250 --> 00:04:10.630 Questo e' un triangolo isoscele. 00:04:10.630 --> 00:04:12.880 La somma di questi deve essere 90 e devono essere uguali. 00:04:12.880 --> 00:04:15.120 Quindi e' un 45-45-90. 00:04:15.120 --> 00:04:18.680 E se conosci il 45-45-90 --- in realta', non devi neanche 00:04:18.680 --> 00:04:20.250 conoscerne i lati. 00:04:20.250 --> 00:04:22.440 Nel video precedente abbiamo visto che questo 00:04:22.440 --> 00:04:23.810 sara' --- qui. 00:04:23.810 --> 00:04:28.040 Questa distanza sara' la radice quadrata di 2 fratto 2. 00:04:28.040 --> 00:04:31.610 Quindi questa coordinata nella direzione y e' 00:04:31.610 --> 00:04:33.380 meno radice quadrata di 2 fratto 2. 00:04:33.380 --> 00:04:36.210 E questa coordinata qui sulla direzione x e' 00:04:36.210 --> 00:04:39.500 radice quadrata di 2 fratto 2 perche' questa lunghezza qui 00:04:39.500 --> 00:04:40.960 e' questa. 00:04:40.960 --> 00:04:43.430 Quindi la radice quadrata di 2 fratto 2 al quadrato piu' la radice quadrata di 00:04:43.430 --> 00:04:46.170 2 fratto 2 al quadrato e' ugual a 1 al quadrato. 00:04:46.170 --> 00:04:47.806 Ma la cosa importante da realizzare e' che questo e' 00:04:47.806 --> 00:04:50.690 un triangolo 45-45-90. 00:04:50.690 --> 00:04:54.700 Quindi quest'angolo qui e' --- beh se guardi solo il 00:04:54.700 --> 00:04:57.670 triangolo stesso, dici che questo e' 00:04:57.670 --> 00:04:59.360 un angolo di 45 gradi. 00:04:59.360 --> 00:05:04.060 Ma visto che stiamo andando in senso orario sotto l'asse x, 00:05:04.060 --> 00:05:05.980 lo chiamiamo angolo di -45 gradi. 00:05:09.220 --> 00:05:13.710 Quindi la tangente di -40 --- fammelo scrivere. 00:05:13.710 --> 00:05:15.250 Quindi se sto in gradi. 00:05:15.250 --> 00:05:16.910 E tende ad essere come penso. 00:05:16.910 --> 00:05:25.160 Quindi scrivo tangente di -45 e' uguale a questo 00:05:25.160 --> 00:05:28.167 valore negativo --- meno la radice quadrata di 2 fratto 2 fratto radice quadrata 00:05:28.167 --> 00:05:31.200 di 2 fratto 2, che e' uguale a -1. 00:05:31.200 --> 00:05:36.670 O potrei scrivere l'arcotangente di -1 e' uguale 00:05:36.670 --> 00:05:39.110 a -45 gradi. 00:05:39.110 --> 00:05:40.920 Adesso se abbiamo a che fare con i radianti, dobbiamo solo 00:05:40.920 --> 00:05:42.350 convertirlo in radianti. 00:05:42.350 --> 00:05:47.530 Quindi moltiplichiamo questo per --- otteniamo π radianti 00:05:47.530 --> 00:05:49.880 ogni 180°. 00:05:49.880 --> 00:05:51.890 I gradi si annullano. 00:05:51.890 --> 00:05:53.960 Quindi hai 45 / 180. 00:05:53.960 --> 00:05:55.160 Questo ci va 4 volte. 00:05:55.160 --> 00:05:57.570 Quindi e' uguale a --- hai il segno meno --- 00:05:57.570 --> 00:06:01.710 -π/4 radianti. 00:06:01.710 --> 00:06:06.450 Quindi l'arcotangente di -`1 e' uguale a -π/4 o 00:06:06.450 --> 00:06:13.850 anche l'inverso della tangente di -1 e' uguale a -π/4. 00:06:13.850 --> 00:06:15.350 Ora potresti dire: guarda. 00:06:15.350 --> 00:06:17.930 Se sto a -π/4, sta qui. 00:06:17.930 --> 00:06:18.540 Va bene. 00:06:18.540 --> 00:06:22.360 Questo mi da un valore di -1 perche' la pendenza 00:06:22.360 --> 00:06:23.320 di questa retta e' -1. 00:06:23.320 --> 00:06:25.120 Ma potrei continuare a girare attorno alla circonferenza unitaria. 00:06:25.120 --> 00:06:26.880 Potrei aggiungerci 2π. 00:06:26.880 --> 00:06:30.890 Magari potrei aggiungerci 2π e anche questo mi darebbe --- 00:06:30.890 --> 00:06:33.090 se prendo la tangente di quell'angolo, anche questo 00:06:33.090 --> 00:06:34.640 mi darebbe -1. 00:06:34.640 --> 00:06:39.170 O potrei aggiungerci altri 2π e anche questo, di nuovo, mi darebbe -1. 00:06:39.170 --> 00:06:42.100 Infatti potrei andare su questo punto qui. 00:06:42.100 --> 00:06:44.420 E anche la tangente mi darebbe -1 perche' 00:06:44.420 --> 00:06:45.790 la pendenza sta qui. 00:06:45.790 --> 00:06:49.460 E come ho detto per il seno --- il video sull'inverso del seno, 00:06:49.460 --> 00:06:51.960 non puoi avere una funzione che ha una relazione uno a molti. 00:06:51.960 --> 00:06:58.190 Non puoi --- l'inverso della tangente di x non puo' mapparsi a un mucchio 00:06:58.190 --> 00:06:59.830 di valori diversi. 00:06:59.830 --> 00:07:03.280 Non si puo' mappare su -π/4. 00:07:03.280 --> 00:07:09.270 Non si puo' mappare su 3 --- quanto sarebbe? -- 3π/4. 00:07:09.270 --> 00:07:09.730 Non lo so. 00:07:09.730 --> 00:07:14.310 Sarebbe --- dico solo 2π/4. 00:07:14.310 --> 00:07:16.200 O 4π - π. 00:07:16.200 --> 00:07:18.550 Non si puo' mappare a tutte queste cose diverse. 00:07:18.550 --> 00:07:20.740 Quindi devo restringere l'intervallo 00:07:20.740 --> 00:07:22.270 dell'inverso della tangente. 00:07:22.270 --> 00:07:25.570 E lo restringiamo molto similarmente al modo in cui 00:07:25.570 --> 00:07:29.100 abbiamo ristretto il seno --- l'intervallo dell'inverso del seno 00:07:29.100 --> 00:07:32.510 Lo restringiamo al primo e quarto quadrante. 00:07:32.510 --> 00:07:36.010 Quindi la risposta dell'inverso della tangente sara' sempre 00:07:36.010 --> 00:07:37.470 qualcosa in questi quadranti. 00:07:37.470 --> 00:07:39.950 Ma non puo' essere questo punto e questo punto. 00:07:39.950 --> 00:07:44.810 Perche' la funzione tangente diventa indefinita su 00:07:44.810 --> 00:07:46.350 π/2 e -π/2. 00:07:46.350 --> 00:07:48.110 Perche' la pendenza diventa verticale. 00:07:48.110 --> 00:07:50.260 Inizi a dividere --- la variazione di x e' 0. 00:07:50.260 --> 00:07:52.890 Dividi --- il coseno di θ diventa 0. 00:07:52.890 --> 00:07:55.560 Quindi quando dividi per quello e' indefinito. 00:07:55.560 --> 00:07:59.730 Quindi l'intervallo --- se io --- fammelo scrivere. 00:07:59.730 --> 00:08:03.430 Quindi se ho l'inverso della tangente di x, faro' --- beh, 00:08:03.430 --> 00:08:06.330 quali sono tutti i valori che la tangente puo' prendere? 00:08:06.330 --> 00:08:11.800 Percio' se ho la tangente di θ = x, qualsi sono 00:08:11.800 --> 00:08:13.810 i diversi valori che x puo' prendere? 00:08:13.810 --> 00:08:16.900 Sono i valorio possibili per la pendenza. 00:08:16.900 --> 00:08:18.810 E la pendenza puo' prendere tutto. 00:08:18.810 --> 00:08:22.700 Quindi x potrebbe essere qualsiasi cosa tra meno infinito 00:08:22.700 --> 00:08:24.870 e' piu' infinito. 00:08:24.870 --> 00:08:27.250 x puo' assumere qualsiasi valore. 00:08:27.250 --> 00:08:29.050 Che mi dici di θ? 00:08:29.050 --> 00:08:29.950 Beh l'ho appena detto. 00:08:29.950 --> 00:08:33.910 θ, puoi solo andare da -π/2 fino ad 00:08:33.910 --> 00:08:35.260 arrivare a π/2. 00:08:35.260 --> 00:08:37.680 E non puoi neanche includere π/2 o -π/2 00:08:37.680 --> 00:08:39.790 perche' andresti in verticale. 00:08:39.790 --> 00:08:41.910 Quindi quando dici --- quindi se ho a ch fare con 00:08:41.910 --> 00:08:43.310 la tangente originale. 00:08:43.310 --> 00:08:44.470 Non l'inversa. 00:08:44.470 --> 00:08:50.940 Il dominio --- beh, il dominio della tangente puo' girare 00:08:50.940 --> 00:08:53.410 piu' volte, quindi non farmi fare quell'affermazione. 00:08:53.410 --> 00:08:55.580 Ma se voglio fare l'inverso della tangente in modo da non avere 00:08:55.580 --> 00:08:56.610 quella relazione 1 a molti. 00:08:56.610 --> 00:08:58.870 Voglio eliminare tutti questi. 00:08:58.870 --> 00:09:04.180 Restringo θ, o il mio intervallo, ad essere maggiore di 00:09:04.180 --> 00:09:10.160 -π/2 e minore di +π/2. 00:09:10.160 --> 00:09:13.710 E quindi se restringo l'intervallo a questo qui e 00:09:13.710 --> 00:09:16.190 escludo questo punto e questo punto. 00:09:16.190 --> 00:09:17.720 Cosi' posso ottenere una sola risposta. 00:09:17.720 --> 00:09:21.670 Quando dico tangente di cosa mi da' una pendenza di -1? 00:09:21.670 --> 00:09:24.360 E questa e' la domanda che sto ponendo qui. 00:09:24.360 --> 00:09:25.320 C'e' solo una risposta. 00:09:25.320 --> 00:09:27.320 Perche' se mantengo --- questo ne cade al difuori. 00:09:27.320 --> 00:09:29.440 E ovviamente man mano che giro, questi cadono 00:09:29.440 --> 00:09:34.680 fuori dall'intervallo valido per θ che ti stavo dando. 00:09:34.680 --> 00:09:38.270 E poi giusto per tipo assicurarci di averlo fatto bene. 00:09:38.270 --> 00:09:39.700 La risposta era π/4. 00:09:39.700 --> 00:09:42.430 Vediamo se otteniamo questo quando usiamo la calcolatrice. 00:09:42.430 --> 00:09:50.340 Quindi l'inverso della tangente di -1 e' uguale a questo. 00:09:50.340 --> 00:09:53.460 Vediamo se e' la stessa cosa di -π/4. 00:09:53.460 --> 00:09:57.760 -π/4 e' uguale a questo. 00:09:57.760 --> 00:09:59.100 Quindi e' -π/4. 00:09:59.100 --> 00:10:02.280 Ma abbiamo fatto bene a risolverlo senza calcolatrice perche' 00:10:02.280 --> 00:10:06.160 e' difficile riconoscere che questo e' -π/4.