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Linear Algebra: Duplicate Row Determinant

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    這有一個n×n的矩陣a
  • 0:05 - 0:07
    它看起來是這樣的
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    你之前也看過 a11 a12
  • 0:11 - 0:14
    一直到a1n
  • 0:14 - 0:17
    當你往下一行看時 你會得到a21
  • 0:17 - 0:19
    一直到a2n
  • 0:19 - 0:22
    一直到這一行 我們把它叫做第i行
  • 0:22 - 0:28
    它對應的就是ai1 一直到ain
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    接著到另外這一行 叫做第j行
  • 0:31 - 0:36
    對應的元素是從aj1一直到ajn
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    最後到第n行
  • 0:40 - 0:45
    其對應的元素從an1一直到ann
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    這只是一個n×n矩陣 你可以看到
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    這樣寫起來就已經有點麻煩了
  • 0:52 - 0:55
    必須把這的第i行和第j行都寫出來
  • 0:55 - 0:58
    我現在想把它稍微簡化一下
  • 0:58 - 1:03
    讓我來用些符號去定義這些東西
  • 1:03 - 1:05
    如果你喜歡的話 你可以把它們看成行向量
  • 1:05 - 1:07
    但是我還沒有正式的去定義行向量
  • 1:07 - 1:09
    因此我們沒必要去那樣做
  • 1:09 - 1:12
    但是我們可以定義向量ri
  • 1:12 - 1:15
    讓ri等於
  • 1:15 - 1:24
    ai1 ai2 一直到ain
  • 1:24 - 1:25
    如果你喜歡的話
  • 1:25 - 1:26
    可以寫成一個行向量
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    實際上我們還沒有那樣處理過行向量
  • 1:29 - 1:31
    但是我想大家應該明白
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    我們可以把這個替換成r1
  • 1:33 - 1:36
    這個替換成r2 一直到rn
  • 1:36 - 1:36
    讓我們這樣來做
  • 1:36 - 1:38
    在以後的影片中 我們都這樣來做
  • 1:38 - 1:40
    因爲這樣做起來很簡單
  • 1:40 - 1:42
    並且我認爲這樣更加方便我們理解
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    因此我來重寫這個矩陣
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    這個n×n矩陣a
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    我可以把它寫成ri這種形式
  • 1:51 - 1:54
    實際上 這樣看起來像一個向量
  • 1:54 - 1:56
    它只是一個行向量
  • 1:56 - 1:59
    讓我們把它寫成這個向量一樣
  • 1:59 - 2:01
    這裡我可以簡寫了
  • 2:01 - 2:04
    因爲所有向量都被定義成行向量
  • 2:04 - 2:05
    但是我認爲大家應該明白
  • 2:05 - 2:09
    因此我們把這個叫做r1 下一行是r2
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    一直這樣做下去
  • 2:12 - 2:14
    你這樣做下去 到了第i行
  • 2:14 - 2:17
    我們把這行就叫做ri
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    繼續做下去 你會得到rj
  • 2:23 - 2:25
    一直到rn
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    並且它們每個都有n個元素
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    因爲你有n列
  • 2:30 - 2:31
    這是另外一種
  • 2:31 - 2:34
    寫這個n×n矩陣的方法
  • 2:34 - 2:36
    現在我要做的就是
  • 2:36 - 2:38
    創造一個新矩陣
  • 2:38 - 2:40
    就叫做交換矩陣\N【譯者注：基本矩陣的一種】
  • 2:40 - 2:44
    把原矩陣的i j行互換後的矩陣
  • 2:44 - 2:47
    因此我要交換第i行和第j行 這兩行
  • 2:47 - 2:49
    那麽交換之後矩陣變成什麽樣了
  • 2:49 - 2:51
    其它行都不變
  • 2:51 - 2:53
    我們有第一行
  • 2:53 - 2:56
    假設i和j都不等於1
  • 2:56 - 2:56
    那接下來就是
  • 2:56 - 3:01
    第2行 一直做下去
  • 3:01 - 3:05
    現在除了第i行和第j行 你做下去
  • 3:05 - 3:09
    除了第j行你在這還有第i行
  • 3:09 - 3:12
    一直這樣 最後你會得到rn
  • 3:12 - 3:13
    我們應該怎麽做呢？
  • 3:13 - 3:15
    我們只是換了那兩行
  • 3:15 - 3:17
    這就是交換後的矩陣
  • 3:17 - 3:18
    我想我們在上一集影片
  • 3:19 - 3:19
    或者是在之前的影片裏
  • 3:19 - 3:23
    就知道如果你交換任意一個n×n矩陣的兩行
  • 3:23 - 3:28
    這個變換後的矩陣的行列式
  • 3:28 - 3:31
    等於負的原矩陣的行列式
  • 3:31 - 3:37
    因此我們得到S的行列式
  • 3:37 - 3:39
    交換第i行和第j行後
  • 3:40 - 3:40
    矩陣的行列式等於
  • 3:40 - 3:43
    負的a的行列式
  • 3:46 - 3:49
    現在 讓我來問大家一個有趣的問題
  • 3:49 - 3:53
    如果那兩行是相同的結果又怎樣呢？
  • 3:53 - 3:58
    倘若ri=rj 結果又怎樣呢
  • 3:58 - 4:02
    如果我們回到這個矩陣上
  • 4:02 - 4:05
    如果那行等於這行
  • 4:05 - 4:07
    那也就是說這個等於那個
  • 4:07 - 4:10
    第二列
  • 4:10 - 4:11
    這一行的第二列一直到第n列上的數
  • 4:11 - 4:14
    都是等於那一行對應的數
  • 4:14 - 4:16
    這就是我說這兩列相等的
  • 4:16 - 4:18
    具體意思
  • 4:18 - 4:21
    好了 如果那兩行彼此相等
  • 4:21 - 4:24
    那麽這個矩陣和這個矩陣就沒有任何區別
  • 4:24 - 4:25
    盡管我們交換了其中兩行
  • 4:25 - 4:27
    如果你交整流等的兩行
  • 4:27 - 4:30
    那麽你得到的將會是相同的兩個矩陣
  • 4:30 - 4:36
    因此 讓我寫在這
  • 4:36 - 4:40
    如果第i行等於第j行 那麽這個S
  • 4:40 - 4:45
    交換兩行後的矩陣 就會等於矩陣A
  • 4:45 - 4:46
    它們是相等的
  • 4:46 - 4:48
    你交換的是相等的兩行
  • 4:48 - 4:55
    這就是說交換後的矩陣的行列式
  • 4:55 - 4:59
    等於原矩陣a的行列式
  • 4:59 - 5:01
    但是我們剛才說過 如果這個交換矩陣
  • 5:01 - 5:02
    如果交換矩陣的兩行
  • 5:02 - 5:04
    交換後的矩陣的行列式等於負的a的行列式
  • 5:04 - 5:07
    因此這個就告訴大家這個它也等於
  • 5:07 - 5:10
    負的a的行列式
  • 5:10 - 5:11
    那麽這個究竟是什麽意思呢？
  • 5:11 - 5:12
    這告訴我們
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    如果矩陣a有相等的兩行
  • 5:18 - 5:19
    交換這兩行
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    我們知道新矩陣行列式等於-|A|
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    但是如果這兩行是相等的
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    我們又知道交換後的矩陣和原矩陣是相同的
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    因此a如果有相等的兩行
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    假設第i行等於第j行
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    那麽a的行列式
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    等於-|a|
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    我們知道因爲|a|
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    或者因爲交整流同兩行後的新矩陣和a相同
  • 5:41 - 5:43
    並且交換後的矩陣的行列式等於-|a|
  • 5:43 - 5:45
    因此這倆個必須相等
  • 5:45 - 5:47
    那麽什麽數
  • 5:47 - 5:49
    等於負的這個數呢？
  • 5:49 - 5:52
    如果我告訴你x=-x
  • 5:52 - 5:56
    那麽x等於什麽？
  • 5:56 - 5:57
    這只有一個數
  • 5:57 - 5:59
    滿足這個條件
  • 5:59 - 6:03
    X必須等於0
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    因此這個結論就是
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    如果一個矩陣有相同的兩行
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    你也可以擴展到3行或者4行都是相同的
  • 6:13 - 6:17
    你會得到這樣的結果
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    這個矩陣的行列式爲0
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    真的不要驚訝
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    因爲如果一個矩陣有相同的行
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    回憶我們很久前學過的知識
  • 6:28 - 6:36
    我們知道一個矩陣是可逆的
  • 6:36 - 6:43
    若且唯若進行行變換簡化後的矩陣
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    等於單位方陣
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    我們知道這個
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    但是如果一個矩陣有相同的兩行
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    假設這兩個互相相等
  • 6:52 - 6:55
    你可以進行一個行變換
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    就是把這一行減去那一行
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    最後這行的元素就都爲0
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    如果你有一行全爲0
  • 7:01 - 7:03
    那麽這個矩陣就不可能化成單位方陣
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    因此我們就知道一個矩陣有相同的行
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    那麽這個矩陣不可能通過行變換化成單位方陣
  • 7:19 - 7:21
    或者說有相同行的矩陣是不可逆的
  • 7:26 - 7:28
    並且我們也知道如果一個矩陣不可逆
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    若且唯若它的行列式等於0
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    現在用兩種不同的方法得到相同的結果
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    一種 我們用我們學過的一些東西
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    當你交換兩行時
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    行列式變號
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    但是如果你交整流同的兩行
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    並不改變矩陣
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    因此矩陣的行列式
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    也不改變
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    因此如果一個矩陣有相同的行
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    那麽它的行列式爲0
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    另外一種方法不是這樣的
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    不是通過矩陣行之間的互換這種技巧來
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    而從可逆的條件下手
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    去得到結果
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    我想這是5 6個影片前的內容
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    但是我就是想把這個東西再說一下
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    如果一個矩陣有相同的行
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    或者說有相同的列
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    我讓大家思考一下
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    如果一個矩陣有相同的行或者是相同的列
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    或者甚至某些行是
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    其它一些行的線性組合
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    我在這沒有告訴大家結果
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    大家也應該知道這個矩陣的行列式等於0
Title:
Linear Algebra: Duplicate Row Determinant
Description:

Determinant of a matrix with duplicate rows
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Video Language:
English
Duration:
08:19
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

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