1
00:00:00,670 --> 00:00:04,960
這有一個n×n的矩陣a

2
00:00:05,030 --> 00:00:07,390
它看起來是這樣的

3
00:00:07,390 --> 00:00:10,990
你之前也看過 a11 a12

4
00:00:10,990 --> 00:00:13,690
一直到a1n

5
00:00:13,690 --> 00:00:16,890
當你往下一行看時 你會得到a21

6
00:00:16,930 --> 00:00:19,000
一直到a2n

7
00:00:19,000 --> 00:00:21,910
一直到這一行 我們把它叫做第i行

8
00:00:21,950 --> 00:00:28,200
它對應的就是ai1 一直到ain

9
00:00:28,200 --> 00:00:31,340
接著到另外這一行 叫做第j行

10
00:00:31,390 --> 00:00:36,330
對應的元素是從aj1一直到ajn

11
00:00:36,330 --> 00:00:40,290
最後到第n行

12
00:00:40,330 --> 00:00:45,020
其對應的元素從an1一直到ann

13
00:00:45,020 --> 00:00:47,730
這只是一個n×n矩陣 你可以看到

14
00:00:47,820 --> 00:00:52,140
這樣寫起來就已經有點麻煩了

15
00:00:52,200 --> 00:00:55,360
必須把這的第i行和第j行都寫出來

16
00:00:55,360 --> 00:00:58,100
我現在想把它稍微簡化一下

17
00:00:58,150 --> 00:01:02,660
讓我來用些符號去定義這些東西

18
00:01:02,720 --> 00:01:05,040
如果你喜歡的話 你可以把它們看成行向量

19
00:01:05,090 --> 00:01:06,820
但是我還沒有正式的去定義行向量

20
00:01:06,890 --> 00:01:08,890
因此我們沒必要去那樣做

21
00:01:08,890 --> 00:01:12,100
但是我們可以定義向量ri

22
00:01:12,160 --> 00:01:14,640
讓ri等於

23
00:01:14,640 --> 00:01:23,990
ai1 ai2 一直到ain

24
00:01:23,990 --> 00:01:25,350
如果你喜歡的話

25
00:01:25,420 --> 00:01:26,500
可以寫成一個行向量

26
00:01:26,500 --> 00:01:29,130
實際上我們還沒有那樣處理過行向量

27
00:01:29,190 --> 00:01:31,050
但是我想大家應該明白

28
00:01:31,050 --> 00:01:33,310
我們可以把這個替換成r1

29
00:01:33,370 --> 00:01:35,510
這個替換成r2 一直到rn

30
00:01:35,510 --> 00:01:36,110
讓我們這樣來做

31
00:01:36,170 --> 00:01:37,660
在以後的影片中 我們都這樣來做

32
00:01:37,730 --> 00:01:39,830
因爲這樣做起來很簡單

33
00:01:39,830 --> 00:01:41,710
並且我認爲這樣更加方便我們理解

34
00:01:41,710 --> 00:01:43,280
因此我來重寫這個矩陣

35
00:01:43,330 --> 00:01:46,090
這個n×n矩陣a

36
00:01:46,140 --> 00:01:50,700
我可以把它寫成ri這種形式

37
00:01:50,700 --> 00:01:53,540
實際上 這樣看起來像一個向量

38
00:01:53,590 --> 00:01:55,640
它只是一個行向量

39
00:01:55,640 --> 00:01:58,790
讓我們把它寫成這個向量一樣

40
00:01:58,790 --> 00:02:00,930
這裡我可以簡寫了

41
00:02:01,000 --> 00:02:03,670
因爲所有向量都被定義成行向量

42
00:02:03,720 --> 00:02:05,280
但是我認爲大家應該明白

43
00:02:05,280 --> 00:02:09,420
因此我們把這個叫做r1 下一行是r2

44
00:02:09,430 --> 00:02:11,960
一直這樣做下去

45
00:02:11,960 --> 00:02:13,830
你這樣做下去 到了第i行

46
00:02:13,890 --> 00:02:17,190
我們把這行就叫做ri

47
00:02:17,190 --> 00:02:23,050
繼續做下去 你會得到rj

48
00:02:23,100 --> 00:02:25,160
一直到rn

49
00:02:25,160 --> 00:02:27,780
並且它們每個都有n個元素

50
00:02:27,780 --> 00:02:29,540
因爲你有n列

51
00:02:29,540 --> 00:02:31,480
這是另外一種

52
00:02:31,480 --> 00:02:33,870
寫這個n×n矩陣的方法

53
00:02:33,870 --> 00:02:35,880
現在我要做的就是

54
00:02:35,940 --> 00:02:37,910
創造一個新矩陣

55
00:02:37,950 --> 00:02:40,310
就叫做交換矩陣\N【譯者注：基本矩陣的一種】

56
00:02:40,350 --> 00:02:43,700
把原矩陣的i j行互換後的矩陣

57
00:02:43,700 --> 00:02:46,540
因此我要交換第i行和第j行 這兩行

58
00:02:46,540 --> 00:02:48,790
那麽交換之後矩陣變成什麽樣了

59
00:02:48,790 --> 00:02:50,990
其它行都不變

60
00:02:50,990 --> 00:02:53,180
我們有第一行

61
00:02:53,180 --> 00:02:55,500
假設i和j都不等於1

62
00:02:55,560 --> 00:02:56,460
那接下來就是

63
00:02:56,460 --> 00:03:01,010
第2行 一直做下去

64
00:03:01,010 --> 00:03:04,970
現在除了第i行和第j行 你做下去

65
00:03:05,020 --> 00:03:09,040
除了第j行你在這還有第i行

66
00:03:09,040 --> 00:03:12,200
一直這樣 最後你會得到rn

67
00:03:12,200 --> 00:03:12,780
我們應該怎麽做呢？

68
00:03:12,780 --> 00:03:14,900
我們只是換了那兩行

69
00:03:14,900 --> 00:03:16,820
這就是交換後的矩陣

70
00:03:16,820 --> 00:03:18,500
我想我們在上一集影片

71
00:03:18,570 --> 00:03:19,380
或者是在之前的影片裏

72
00:03:19,420 --> 00:03:22,530
就知道如果你交換任意一個n×n矩陣的兩行

73
00:03:22,530 --> 00:03:27,810
這個變換後的矩陣的行列式

74
00:03:27,890 --> 00:03:30,520
等於負的原矩陣的行列式

75
00:03:30,520 --> 00:03:36,610
因此我們得到S的行列式

76
00:03:36,680 --> 00:03:39,490
交換第i行和第j行後

77
00:03:39,550 --> 00:03:40,180
矩陣的行列式等於

78
00:03:40,220 --> 00:03:43,090
負的a的行列式

79
00:03:46,430 --> 00:03:49,360
現在 讓我來問大家一個有趣的問題

80
00:03:49,360 --> 00:03:53,000
如果那兩行是相同的結果又怎樣呢？

81
00:03:53,000 --> 00:03:57,720
倘若ri=rj 結果又怎樣呢

82
00:03:57,720 --> 00:04:01,670
如果我們回到這個矩陣上

83
00:04:01,670 --> 00:04:05,150
如果那行等於這行

84
00:04:05,150 --> 00:04:07,070
那也就是說這個等於那個

85
00:04:07,120 --> 00:04:09,710
第二列

86
00:04:09,760 --> 00:04:11,460
這一行的第二列一直到第n列上的數

87
00:04:11,460 --> 00:04:13,700
都是等於那一行對應的數

88
00:04:13,700 --> 00:04:15,900
這就是我說這兩列相等的

89
00:04:15,960 --> 00:04:18,070
具體意思

90
00:04:18,070 --> 00:04:21,120
好了 如果那兩行彼此相等

91
00:04:21,120 --> 00:04:23,960
那麽這個矩陣和這個矩陣就沒有任何區別

92
00:04:24,000 --> 00:04:25,020
盡管我們交換了其中兩行

93
00:04:25,020 --> 00:04:27,340
如果你交整流等的兩行

94
00:04:27,340 --> 00:04:29,640
那麽你得到的將會是相同的兩個矩陣

95
00:04:29,640 --> 00:04:35,880
因此 讓我寫在這

96
00:04:35,920 --> 00:04:40,310
如果第i行等於第j行 那麽這個S

97
00:04:40,360 --> 00:04:44,760
交換兩行後的矩陣 就會等於矩陣A

98
00:04:44,760 --> 00:04:45,530
它們是相等的

99
00:04:45,530 --> 00:04:48,280
你交換的是相等的兩行

100
00:04:48,280 --> 00:04:54,650
這就是說交換後的矩陣的行列式

101
00:04:54,710 --> 00:04:58,830
等於原矩陣a的行列式

102
00:04:58,830 --> 00:05:00,710
但是我們剛才說過 如果這個交換矩陣

103
00:05:00,750 --> 00:05:01,550
如果交換矩陣的兩行

104
00:05:01,590 --> 00:05:03,800
交換後的矩陣的行列式等於負的a的行列式

105
00:05:03,800 --> 00:05:06,900
因此這個就告訴大家這個它也等於

106
00:05:06,930 --> 00:05:09,910
負的a的行列式

107
00:05:09,910 --> 00:05:11,440
那麽這個究竟是什麽意思呢？

108
00:05:11,440 --> 00:05:12,130
這告訴我們

109
00:05:12,180 --> 00:05:17,640
如果矩陣a有相等的兩行

110
00:05:17,690 --> 00:05:18,830
交換這兩行

111
00:05:18,890 --> 00:05:20,970
我們知道新矩陣行列式等於-|A|

112
00:05:21,470 --> 00:05:21,900
但是如果這兩行是相等的

113
00:05:21,930 --> 00:05:24,730
我們又知道交換後的矩陣和原矩陣是相同的

114
00:05:24,730 --> 00:05:28,370
因此a如果有相等的兩行

115
00:05:28,450 --> 00:05:30,960
假設第i行等於第j行

116
00:05:31,000 --> 00:05:32,770
那麽a的行列式

117
00:05:32,810 --> 00:05:34,770
等於-|a|

118
00:05:34,770 --> 00:05:38,290
我們知道因爲|a|

119
00:05:38,290 --> 00:05:40,710
或者因爲交整流同兩行後的新矩陣和a相同

120
00:05:40,710 --> 00:05:43,280
並且交換後的矩陣的行列式等於-|a|

121
00:05:43,280 --> 00:05:45,200
因此這倆個必須相等

122
00:05:45,200 --> 00:05:46,850
那麽什麽數

123
00:05:46,850 --> 00:05:48,510
等於負的這個數呢？

124
00:05:48,510 --> 00:05:51,670
如果我告訴你x=-x

125
00:05:51,740 --> 00:05:56,010
那麽x等於什麽？

126
00:05:56,010 --> 00:05:56,910
這只有一個數

127
00:05:56,960 --> 00:05:58,950
滿足這個條件

128
00:05:58,990 --> 00:06:02,850
X必須等於0

129
00:06:02,850 --> 00:06:04,620
因此這個結論就是

130
00:06:04,660 --> 00:06:10,260
如果一個矩陣有相同的兩行

131
00:06:10,330 --> 00:06:13,180
你也可以擴展到3行或者4行都是相同的

132
00:06:13,220 --> 00:06:17,310
你會得到這樣的結果

133
00:06:17,380 --> 00:06:21,940
這個矩陣的行列式爲0

134
00:06:21,940 --> 00:06:23,800
真的不要驚訝

135
00:06:23,800 --> 00:06:25,220
因爲如果一個矩陣有相同的行

136
00:06:25,270 --> 00:06:27,500
回憶我們很久前學過的知識

137
00:06:27,500 --> 00:06:36,360
我們知道一個矩陣是可逆的

138
00:06:36,400 --> 00:06:43,260
若且唯若進行行變換簡化後的矩陣

139
00:06:43,260 --> 00:06:45,150
等於單位方陣

140
00:06:45,150 --> 00:06:46,290
我們知道這個

141
00:06:46,290 --> 00:06:50,200
但是如果一個矩陣有相同的兩行

142
00:06:50,250 --> 00:06:52,340
假設這兩個互相相等

143
00:06:52,390 --> 00:06:54,980
你可以進行一個行變換

144
00:06:55,030 --> 00:06:57,250
就是把這一行減去那一行

145
00:06:57,250 --> 00:06:59,080
最後這行的元素就都爲0

146
00:06:59,080 --> 00:07:01,410
如果你有一行全爲0

147
00:07:01,460 --> 00:07:02,770
那麽這個矩陣就不可能化成單位方陣

148
00:07:02,780 --> 00:07:13,820
因此我們就知道一個矩陣有相同的行

149
00:07:13,860 --> 00:07:18,980
那麽這個矩陣不可能通過行變換化成單位方陣

150
00:07:18,980 --> 00:07:20,710
或者說有相同行的矩陣是不可逆的

151
00:07:25,580 --> 00:07:28,010
並且我們也知道如果一個矩陣不可逆

152
00:07:28,060 --> 00:07:30,330
若且唯若它的行列式等於0

153
00:07:34,240 --> 00:07:37,100
現在用兩種不同的方法得到相同的結果

154
00:07:37,100 --> 00:07:38,820
一種 我們用我們學過的一些東西

155
00:07:38,820 --> 00:07:39,670
當你交換兩行時

156
00:07:39,710 --> 00:07:40,660
行列式變號

157
00:07:40,710 --> 00:07:42,000
但是如果你交整流同的兩行

158
00:07:42,030 --> 00:07:43,340
並不改變矩陣

159
00:07:43,340 --> 00:07:44,950
因此矩陣的行列式

160
00:07:44,950 --> 00:07:46,400
也不改變

161
00:07:46,400 --> 00:07:47,410
因此如果一個矩陣有相同的行

162
00:07:47,440 --> 00:07:48,700
那麽它的行列式爲0

163
00:07:48,700 --> 00:07:50,480
另外一種方法不是這樣的

164
00:07:50,520 --> 00:07:52,740
不是通過矩陣行之間的互換這種技巧來

165
00:07:52,810 --> 00:07:53,390
而從可逆的條件下手

166
00:07:53,400 --> 00:07:56,640
去得到結果

167
00:07:56,680 --> 00:07:59,040
我想這是5 6個影片前的內容

168
00:07:59,040 --> 00:08:00,320
但是我就是想把這個東西再說一下

169
00:08:00,320 --> 00:08:01,970
如果一個矩陣有相同的行

170
00:08:01,970 --> 00:08:03,690
或者說有相同的列

171
00:08:03,740 --> 00:08:05,340
我讓大家思考一下

172
00:08:05,390 --> 00:08:07,700
如果一個矩陣有相同的行或者是相同的列

173
00:08:07,740 --> 00:08:10,200
或者甚至某些行是

174
00:08:10,210 --> 00:08:12,240
其它一些行的線性組合

175
00:08:12,270 --> 00:08:14,400
我在這沒有告訴大家結果

176
00:08:14,460 --> 00:08:18,340
大家也應該知道這個矩陣的行列式等於0