< Return to Video

Normal vector from plane equation

  • 0:00 - 0:03
    本節課我們的任務是
  • 0:03 - 0:04
    在給出平面方程的情況下
  • 0:04 - 0:07
    如何求出這個平面的
  • 0:07 - 0:09
    法向量
  • 0:09 - 0:13
    我們先給出一個平面
  • 0:13 - 0:15
    我們從這裡開始――
  • 0:15 - 0:17
    我大致畫出一個平面
  • 0:17 - 0:18
    顯然它是向四周延伸的
  • 0:18 - 0:20
    假設已知這個平面
  • 0:21 - 0:23
    假設已知該平面的一個法向量
  • 0:23 - 0:26
    這就是平面的法向量
  • 0:26 - 0:32
    它等於ai+bj+ck
  • 0:32 - 0:35
    這就是平面的法向量
  • 0:35 - 0:38
    假設我們已知―― 這個法向量
  • 0:38 - 0:42
    垂直於平面上的任何向量
  • 0:42 - 0:44
    假設已知平面上一點
  • 0:44 - 0:45
    我們已知某個點
  • 0:46 - 0:48
    坐標是xp
  • 0:48 - 0:50
    這裡的下標p代表平面(plane)
  • 0:50 - 0:54
    所以這是平面上一點(xp,yp,zp)
  • 0:54 - 0:56
    我們選取一個原點
  • 0:56 - 0:58
    假設這是坐標軸
  • 0:58 - 1:02
    我來畫出中軸線
  • 1:02 - 1:04
    假設這個中軸線就像這樣
  • 1:04 - 1:08
    這是z軸 這是y軸
  • 1:08 - 1:11
    這是y軸
  • 1:11 - 1:15
    x軸是這樣出來的
  • 1:15 - 1:16
    這是x軸
  • 1:16 - 1:18
    你可以把它化簡成位置向量
  • 1:18 - 1:21
    這是位置向量 我把它化成這樣
  • 1:21 - 1:24
    我畫成這樣
  • 1:24 - 1:26
    它的一部分在平面後面
  • 1:26 - 1:28
    已知一個位置向量
  • 1:28 - 1:37
    這個位置向量就是xpi+ypi+zpk
  • 1:37 - 1:39
    它指定了這個坐標
  • 1:40 - 1:41
    這個在平面上的坐標
  • 1:42 - 1:43
    我給它命個名
  • 1:43 - 1:45
    就稱之爲位置向量
  • 1:45 - 1:50
    稱它爲p1
  • 1:50 - 1:52
    它是平面上一點
  • 1:52 - 1:55
    這是p1
  • 1:55 - 1:57
    它等於這項
  • 1:57 - 2:00
    我們可以在平面上另取一點
  • 2:00 - 2:03
    這是特別爲……
  • 2:03 - 2:06
    我們剛提到平面上的任何其他的點(x,y,z)
  • 2:06 - 2:08
    我們知道(x,y,z)在平面上
  • 2:08 - 2:12
    所以我們取這點爲(x,y,z)
  • 2:12 - 2:14
    這表明它可以由
  • 2:14 - 2:16
    另一個位置向量表示
  • 2:16 - 2:19
    這個位置向量就像這樣
  • 2:19 - 2:20
    我們用虛線
  • 2:20 - 2:23
    來表示在平面下方的部分
  • 2:23 - 2:24
    對於這個位置向量
  • 2:24 - 2:26
    我給它命個名
  • 2:26 - 2:30
    稱之爲點p 而不是那個特定的點p1
  • 2:30 - 2:36
    它就等於xi+yj+zk
  • 2:36 - 2:38
    我建立這個向量的原因是
  • 2:38 - 2:42
    在給定平面上某個特定點
  • 2:42 - 2:44
    以及給定平面上其他任一點(x,y,z)的
  • 2:44 - 2:46
    情況下
  • 2:46 - 2:48
    我要建立一個
  • 2:48 - 2:49
    在這個平面上的向量
  • 2:49 - 2:51
    我們之前學過
  • 2:51 - 2:53
    我們試著求出平面的方程
  • 2:53 - 2:56
    在這個平面上的向量
  • 2:56 - 2:57
    就等於這兩個向量之差
  • 2:57 - 2:59
    我用藍色的來寫
  • 2:59 - 3:02
    如果用黃色的向量減去綠色的向量
  • 3:02 - 3:03
    我們取這個向量
  • 3:03 - 3:05
    就會得到一個向量
  • 3:05 - 3:07
    如果這樣來看
  • 3:07 - 3:08
    這個向量連接這兩個點
  • 3:08 - 3:10
    雖然你平移了這個向量
  • 3:10 - 3:11
    但是依然能得到
  • 3:11 - 3:12
    在這個平面上的一個向量
  • 3:12 - 3:14
    甚至――
  • 3:14 - 3:16
    如果從這些點中的一個出發
  • 3:16 - 3:17
    它一定在這個平面上
  • 3:17 - 3:19
    從而這個向量就像這樣
  • 3:19 - 3:22
    它就在這個平面上
  • 3:22 - 3:25
    這個向量在這個平面上
  • 3:25 - 3:29
    這個向量是p-p1
  • 3:29 - 3:32
    這就是向量p-p1
  • 3:32 - 3:34
    它就是這個位置向量
  • 3:34 - 3:35
    減去這個位置向量
  • 3:35 - 3:38
    或者說這個綠色的位置向量
  • 3:38 - 3:39
    加上這個平面上的
  • 3:39 - 3:40
    藍色的位置向量
  • 3:40 - 3:43
    就等於這個黃色的向量
  • 3:43 - 3:46
    它們首尾相接 得到這個向量
  • 3:46 - 3:47
    我做這些的原因就是
  • 3:47 - 3:48
    現在我們可以取
  • 3:48 - 3:51
    藍色向量與紫紅色向量的內積
  • 3:51 - 3:52
    我們之前也做過
  • 3:52 - 3:54
    結果一定等於0
  • 3:54 - 3:55
    因爲這個向量在這個平面上
  • 3:55 - 3:59
    而這個向量垂直於平面上的任何向量
  • 3:59 - 4:00
    所以結果等於0
  • 4:00 - 4:03
    從而就得到了平面的方程
  • 4:03 - 4:04
    在我向下進行之前
  • 4:04 - 4:05
    我要確定一下
  • 4:05 - 4:07
    我們是否已知藍色向量的分量
  • 4:07 - 4:11
    p-p1就是這個藍色的向量
  • 4:11 - 4:13
    我們只需將對應分量相減
  • 4:13 - 4:14
    結果就是
  • 4:14 - 4:30
    即等於(x-xp)i+(y-yp)j+(z-zp)k
  • 4:30 - 4:32
    我們講過它在平面上
  • 4:32 - 4:35
    這個法向量
  • 4:35 - 4:36
    垂直於這個平面
  • 4:36 - 4:37
    取二者的內積
  • 4:37 - 4:38
    結果就等於0
  • 4:38 - 4:45
    也就是n點乘這個向量
  • 4:45 - 4:48
    結果等於0
  • 4:48 - 4:52
    它也等於 這個a乘以這個表達式
  • 4:52 - 4:54
    我在這裡做
  • 4:54 - 4:56
    我換一種好點的顏色
  • 4:56 - 4:58
    a乘以這項
  • 4:58 - 5:06
    就等於ax-axp 加上b乘以這項
  • 5:06 - 5:11
    就是加上by-byp
  • 5:11 - 5:14
    我要確定有足夠多的顏色
  • 5:14 - 5:18
    然後加上這項乘以這項
  • 5:18 - 5:24
    就是加上cz-czp
  • 5:24 - 5:26
    所有這些等於0
  • 5:26 - 5:31
    現在我要做的是 我要將這個式子改寫一下
  • 5:31 - 5:34
    對於所有這些項
  • 5:34 - 5:35
    我要選對顏色
  • 5:35 - 5:37
    對於所有含ax的項
  • 5:37 - 5:40
    注意這是平面上滿足這個式子的
  • 5:40 - 5:41
    任何x
  • 5:41 - 5:44
    所以對於ax by和cz
  • 5:44 - 5:46
    把它們保留在等式右邊
  • 5:46 - 5:53
    從而有ax+by+cz等於――
  • 5:53 - 5:54
    我要做的是
  • 5:54 - 5:56
    在等式兩邊同時減去這些項
  • 5:56 - 5:57
    另一種方式是
  • 5:57 - 6:00
    我們它們移動到…… 我來做一下
  • 6:00 - 6:01
    不是很麻煩
  • 6:01 - 6:02
    我把它們移動到
  • 6:02 - 6:03
    等式的左邊
  • 6:03 - 6:06
    我在等式兩邊加上axp
  • 6:06 - 6:08
    也就等價於減去-axp
  • 6:08 - 6:14
    所以這等於正的axp
  • 6:14 - 6:17
    然後是byp加上
  • 6:17 - 6:19
    我們同樣用綠色來做
  • 6:19 - 6:23
    加上byp 最後加上czp
  • 6:23 - 6:28
    從而就等於右邊的式子
  • 6:28 - 6:29
    我這麽做的原因是――
  • 6:29 - 6:30
    我在之前的課上已經做過
  • 6:30 - 6:33
    我們試圖求出平面的表達式
  • 6:33 - 6:34
    或者說是平面的方程
  • 6:34 - 6:35
    現在你會說
  • 6:35 - 6:36
    如果已知一個法向量
  • 6:36 - 6:39
    並且知道平面上的一個點
  • 6:39 - 6:42
    假設爲(xp,yp,zp)
  • 6:42 - 6:45
    那我們就能快速求出平面的方程
  • 6:45 - 6:46
    但我要用另一種方式
  • 6:46 - 6:48
    我希望你能夠――
  • 6:48 - 6:49
    如果我給出
  • 6:49 - 6:51
    如果我給出
  • 6:51 - 6:55
    如果我給出平面的方程
  • 6:55 - 7:03
    假設是Ax+By+Cz=D
  • 7:03 - 7:05
    這是平面的一般方程
  • 7:05 - 7:06
    如果給出它
  • 7:06 - 7:08
    我希望你能夠
  • 7:08 - 7:09
    快速指出法向量
  • 7:09 - 7:10
    怎麽做呢？
  • 7:10 - 7:14
    這個ax+by+cz
  • 7:14 - 7:16
    與這一項完全是相似的
  • 7:16 - 7:18
    我把它重新寫一下
  • 7:18 - 7:19
    把這一項寫清楚
  • 7:19 - 7:24
    這項就是ax+by+cz
  • 7:24 - 7:26
    等於右邊所有的項
  • 7:26 - 7:27
    抱歉 是左邊的
  • 7:27 - 7:30
    我來複製粘貼一下
  • 7:30 - 7:32
    複製粘貼
  • 7:32 - 7:35
    我只是將方程左右調換了順序
  • 7:35 - 7:37
    但是你能看到所有這些項
  • 7:37 - 7:42
    這個a就是這個A 這個b就是這個B
  • 7:42 - 7:44
    這個c就是它
  • 7:44 - 7:45
    而D就相當於所有這些項
  • 7:46 - 7:47
    這項是一個數值
  • 7:47 - 7:49
    它就是一個數值
  • 7:49 - 7:50
    我們假設已知
  • 7:50 - 7:51
    法向量是多少
  • 7:51 - 7:52
    即已知a b和c
  • 7:52 - 7:53
    已知其具體的值
  • 7:53 - 7:56
    那麽這是什麽 這項就是D
  • 7:56 - 7:58
    這就是得到平面方程的方法
  • 7:58 - 7:59
    現在如果我給出平面的方程
  • 7:59 - 8:01
    那麽其法向量是多少？
  • 8:01 - 8:02
    我們剛才見過
  • 8:02 - 8:04
    對於法向量 這個a相當於這個A
  • 8:04 - 8:05
    這個b相當於這個B
  • 8:05 - 8:07
    這個c相當於這個C
  • 8:07 - 8:10
    開始給出的這個平面的法向量
  • 8:10 - 8:12
    它的分量是a b和c
  • 8:12 - 8:16
    所以如果已知平面的方程
  • 8:16 - 8:17
    則對於法向量
  • 8:17 - 8:21
    這個平面的法向量
  • 8:21 - 8:28
    就是Ai+Bj+Ck
  • 8:28 - 8:30
    如果給出了平面的方程
  • 8:30 - 8:32
    則法向量是很容易求的
  • 8:32 - 8:34
    我給大家舉個例子
  • 8:34 - 8:35
    如果已知
  • 8:35 - 8:38
    三維空間中的某個平面
  • 8:38 - 8:41
    假設這是-3
  • 8:41 - 8:42
    盡管這也適用於更高維的情形
  • 8:42 - 8:44
    假設有-3x
  • 8:44 - 8:51
    加上√(2y) 減去
  • 8:51 - 8:56
    或者說加上7z 等於π
  • 8:56 - 8:58
    這看上去很誇張 也不是很誇張吧
  • 8:58 - 9:00
    這是三維空間中的平面
  • 9:00 - 9:03
    那麽它的法向量是多少呢？
  • 9:03 - 9:04
    你可以逐個地
  • 9:04 - 9:06
    逐個地取這些係數
  • 9:06 - 9:08
    從而得到平面的法向量
  • 9:09 - 9:18
    就是-3i+√2j+7k
  • 9:18 - 9:20
    可以忽略D的部分
  • 9:20 - 9:22
    可以忽略它的原因是
  • 9:22 - 9:23
    D只對平面有平移的作用
  • 9:23 - 9:26
    但是不會使得平面産生傾斜
  • 9:26 - 9:30
    所以如果這是個常數e或是100
  • 9:30 - 9:35
    對法向量都沒有影響
  • 9:35 - 9:36
    它垂直於所有這樣的平面
  • 9:36 - 9:38
    因爲這些平面相互可以通過平移得到
  • 9:38 - 9:41
    它們的傾斜程度是一樣的
  • 9:41 - 9:43
    所以它們的法向量的方向相同
  • 9:43 - 9:45
    它們的法向量指向
  • 9:45 - 9:46
    同一個方向
  • 9:46 - 9:48
    希望你覺得這對你有幫助
  • 9:48 - 9:49
    在此基礎上
  • 9:49 - 9:52
    可以定義三維空間中
  • 9:52 - 9:54
    或者平面中的任何兩點的距離
  • 9:54 - 9:55
    或者到平面上的最短距離
Title:
Normal vector from plane equation
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:58

Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles

Incomplete

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.