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Normal vector from plane equation

  • 0:00 - 0:03
    本节课我们的任务是
  • 0:03 - 0:04
    在给出平面方程的情况下
  • 0:04 - 0:07
    如何求出这个平面的
  • 0:07 - 0:09
    法向量
  • 0:09 - 0:13
    我们先给出一个平面
  • 0:13 - 0:15
    我们从这里开始――
  • 0:15 - 0:17
    我大致画出一个平面
  • 0:17 - 0:18
    显然它是向四周延伸的
  • 0:18 - 0:20
    假设已知这个平面
  • 0:21 - 0:23
    假设已知该平面的一个法向量
  • 0:23 - 0:26
    这就是平面的法向量
  • 0:26 - 0:32
    它等于ai+bj+ck
  • 0:32 - 0:35
    这就是平面的法向量
  • 0:35 - 0:38
    假设我们已知―― 这个法向量
  • 0:38 - 0:42
    垂直于平面上的任何向量
  • 0:42 - 0:44
    假设已知平面上一点
  • 0:44 - 0:45
    我们已知某个点
  • 0:46 - 0:48
    坐标是xp
  • 0:48 - 0:50
    这里的下标p代表平面(plane)
  • 0:50 - 0:54
    所以这是平面上一点(xp,yp,zp)
  • 0:54 - 0:56
    我们选取一个原点
  • 0:56 - 0:58
    假设这是坐标轴
  • 0:58 - 1:02
    我来画出中轴线
  • 1:02 - 1:04
    假设这个中轴线就像这样
  • 1:04 - 1:08
    这是z轴 这是y轴
  • 1:08 - 1:11
    这是y轴
  • 1:11 - 1:15
    x轴是这样出来的
  • 1:15 - 1:16
    这是x轴
  • 1:16 - 1:18
    你可以把它化简成位置向量
  • 1:18 - 1:21
    这是位置向量 我把它化成这样
  • 1:21 - 1:24
    我画成这样
  • 1:24 - 1:26
    它的一部分在平面后面
  • 1:26 - 1:28
    已知一个位置向量
  • 1:28 - 1:37
    这个位置向量就是xpi+ypi+zpk
  • 1:37 - 1:39
    它指定了这个坐标
  • 1:40 - 1:41
    这个在平面上的坐标
  • 1:42 - 1:43
    我给它命个名
  • 1:43 - 1:45
    就称之为位置向量
  • 1:45 - 1:50
    称它为p1
  • 1:50 - 1:52
    它是平面上一点
  • 1:52 - 1:55
    这是p1
  • 1:55 - 1:57
    它等于这项
  • 1:57 - 2:00
    我们可以在平面上另取一点
  • 2:00 - 2:03
    这是特别为……
  • 2:03 - 2:06
    我们刚提到平面上的任何其他的点(x,y,z)
  • 2:06 - 2:08
    我们知道(x,y,z)在平面上
  • 2:08 - 2:12
    所以我们取这点为(x,y,z)
  • 2:12 - 2:14
    这表明它可以由
  • 2:14 - 2:16
    另一个位置向量表示
  • 2:16 - 2:19
    这个位置向量就像这样
  • 2:19 - 2:20
    我们用虚线
  • 2:20 - 2:23
    来表示在平面下方的部分
  • 2:23 - 2:24
    对于这个位置向量
  • 2:24 - 2:26
    我给它命个名
  • 2:26 - 2:30
    称之为点p 而不是那个特定的点p1
  • 2:30 - 2:36
    它就等于xi+yj+zk
  • 2:36 - 2:38
    我建立这个向量的原因是
  • 2:38 - 2:42
    在给定平面上某个特定点
  • 2:42 - 2:44
    以及给定平面上其他任一点(x,y,z)的
  • 2:44 - 2:46
    情况下
  • 2:46 - 2:48
    我要建立一个
  • 2:48 - 2:49
    在这个平面上的向量
  • 2:49 - 2:51
    我们之前学过
  • 2:51 - 2:53
    我们试着求出平面的方程
  • 2:53 - 2:56
    在这个平面上的向量
  • 2:56 - 2:57
    就等于这两个向量之差
  • 2:57 - 2:59
    我用蓝色的来写
  • 2:59 - 3:02
    如果用黄色的向量减去绿色的向量
  • 3:02 - 3:03
    我们取这个向量
  • 3:03 - 3:05
    就会得到一个向量
  • 3:05 - 3:07
    如果这样来看
  • 3:07 - 3:08
    这个向量连接这两个点
  • 3:08 - 3:10
    虽然你平移了这个向量
  • 3:10 - 3:11
    但是依然能得到
  • 3:11 - 3:12
    在这个平面上的一个向量
  • 3:12 - 3:14
    甚至――
  • 3:14 - 3:16
    如果从这些点中的一个出发
  • 3:16 - 3:17
    它一定在这个平面上
  • 3:17 - 3:19
    从而这个向量就像这样
  • 3:19 - 3:22
    它就在这个平面上
  • 3:22 - 3:25
    这个向量在这个平面上
  • 3:25 - 3:29
    这个向量是p-p1
  • 3:29 - 3:32
    这就是向量p-p1
  • 3:32 - 3:34
    它就是这个位置向量
  • 3:34 - 3:35
    减去这个位置向量
  • 3:35 - 3:38
    或者说这个绿色的位置向量
  • 3:38 - 3:39
    加上这个平面上的
  • 3:39 - 3:40
    蓝色的位置向量
  • 3:40 - 3:43
    就等于这个黄色的向量
  • 3:43 - 3:46
    它们首尾相接 得到这个向量
  • 3:46 - 3:47
    我做这些的原因就是
  • 3:47 - 3:48
    现在我们可以取
  • 3:48 - 3:51
    蓝色向量与紫红色向量的内积
  • 3:51 - 3:52
    我们之前也做过
  • 3:52 - 3:54
    结果一定等于0
  • 3:54 - 3:55
    因为这个向量在这个平面上
  • 3:55 - 3:59
    而这个向量垂直于平面上的任何向量
  • 3:59 - 4:00
    所以结果等于0
  • 4:00 - 4:03
    从而就得到了平面的方程
  • 4:03 - 4:04
    在我向下进行之前
  • 4:04 - 4:05
    我要确定一下
  • 4:05 - 4:07
    我们是否已知蓝色向量的分量
  • 4:07 - 4:11
    p-p1就是这个蓝色的向量
  • 4:11 - 4:13
    我们只需将对应分量相减
  • 4:13 - 4:14
    结果就是
  • 4:14 - 4:30
    即等于(x-xp)i+(y-yp)j+(z-zp)k
  • 4:30 - 4:32
    我们讲过它在平面上
  • 4:32 - 4:35
    这个法向量
  • 4:35 - 4:36
    垂直于这个平面
  • 4:36 - 4:37
    取二者的内积
  • 4:37 - 4:38
    结果就等于0
  • 4:38 - 4:45
    也就是n点乘这个向量
  • 4:45 - 4:48
    结果等于0
  • 4:48 - 4:52
    它也等于 这个a乘以这个表达式
  • 4:52 - 4:54
    我在这里做
  • 4:54 - 4:56
    我换一种好点的颜色
  • 4:56 - 4:58
    a乘以这项
  • 4:58 - 5:06
    就等于ax-axp 加上b乘以这项
  • 5:06 - 5:11
    就是加上by-byp
  • 5:11 - 5:14
    我要确定有足够多的颜色
  • 5:14 - 5:18
    然后加上这项乘以这项
  • 5:18 - 5:24
    就是加上cz-czp
  • 5:24 - 5:26
    所有这些等于0
  • 5:26 - 5:31
    现在我要做的是 我要将这个式子改写一下
  • 5:31 - 5:34
    对于所有这些项
  • 5:34 - 5:35
    我要选对颜色
  • 5:35 - 5:37
    对于所有含ax的项
  • 5:37 - 5:40
    注意这是平面上满足这个式子的
  • 5:40 - 5:41
    任何x
  • 5:41 - 5:44
    所以对于ax by和cz
  • 5:44 - 5:46
    把它们保留在等式右边
  • 5:46 - 5:53
    从而有ax+by+cz等于――
  • 5:53 - 5:54
    我要做的是
  • 5:54 - 5:56
    在等式两边同时减去这些项
  • 5:56 - 5:57
    另一种方式是
  • 5:57 - 6:00
    我们它们移动到…… 我来做一下
  • 6:00 - 6:01
    不是很麻烦
  • 6:01 - 6:02
    我把它们移动到
  • 6:02 - 6:03
    等式的左边
  • 6:03 - 6:06
    我在等式两边加上axp
  • 6:06 - 6:08
    也就等价于减去-axp
  • 6:08 - 6:14
    所以这等于正的axp
  • 6:14 - 6:17
    然后是byp加上
  • 6:17 - 6:19
    我们同样用绿色来做
  • 6:19 - 6:23
    加上byp 最后加上czp
  • 6:23 - 6:28
    从而就等于右边的式子
  • 6:28 - 6:29
    我这么做的原因是――
  • 6:29 - 6:30
    我在之前的课上已经做过
  • 6:30 - 6:33
    我们试图求出平面的表达式
  • 6:33 - 6:34
    或者说是平面的方程
  • 6:34 - 6:35
    现在你会说
  • 6:35 - 6:36
    如果已知一个法向量
  • 6:36 - 6:39
    并且知道平面上的一个点
  • 6:39 - 6:42
    假设为(xp,yp,zp)
  • 6:42 - 6:45
    那我们就能快速求出平面的方程
  • 6:45 - 6:46
    但我要用另一种方式
  • 6:46 - 6:48
    我希望你能够――
  • 6:48 - 6:49
    如果我给出
  • 6:49 - 6:51
    如果我给出
  • 6:51 - 6:55
    如果我给出平面的方程
  • 6:55 - 7:03
    假设是Ax+By+Cz=D
  • 7:03 - 7:05
    这是平面的一般方程
  • 7:05 - 7:06
    如果给出它
  • 7:06 - 7:08
    我希望你能够
  • 7:08 - 7:09
    快速指出法向量
  • 7:09 - 7:10
    怎么做呢？
  • 7:10 - 7:14
    这个ax+by+cz
  • 7:14 - 7:16
    与这一项完全是相似的
  • 7:16 - 7:18
    我把它重新写一下
  • 7:18 - 7:19
    把这一项写清楚
  • 7:19 - 7:24
    这项就是ax+by+cz
  • 7:24 - 7:26
    等于右边所有的项
  • 7:26 - 7:27
    抱歉 是左边的
  • 7:27 - 7:30
    我来复制粘贴一下
  • 7:30 - 7:32
    复制粘贴
  • 7:32 - 7:35
    我只是将方程左右调换了顺序
  • 7:35 - 7:37
    但是你能看到所有这些项
  • 7:37 - 7:42
    这个a就是这个A 这个b就是这个B
  • 7:42 - 7:44
    这个c就是它
  • 7:44 - 7:45
    而D就相当于所有这些项
  • 7:46 - 7:47
    这项是一个数值
  • 7:47 - 7:49
    它就是一个数值
  • 7:49 - 7:50
    我们假设已知
  • 7:50 - 7:51
    法向量是多少
  • 7:51 - 7:52
    即已知a b和c
  • 7:52 - 7:53
    已知其具体的值
  • 7:53 - 7:56
    那么这是什么 这项就是D
  • 7:56 - 7:58
    这就是得到平面方程的方法
  • 7:58 - 7:59
    现在如果我给出平面的方程
  • 7:59 - 8:01
    那么其法向量是多少？
  • 8:01 - 8:02
    我们刚才见过
  • 8:02 - 8:04
    对于法向量 这个a相当于这个A
  • 8:04 - 8:05
    这个b相当于这个B
  • 8:05 - 8:07
    这个c相当于这个C
  • 8:07 - 8:10
    开始给出的这个平面的法向量
  • 8:10 - 8:12
    它的分量是a b和c
  • 8:12 - 8:16
    所以如果已知平面的方程
  • 8:16 - 8:17
    则对于法向量
  • 8:17 - 8:21
    这个平面的法向量
  • 8:21 - 8:28
    就是Ai+Bj+Ck
  • 8:28 - 8:30
    如果给出了平面的方程
  • 8:30 - 8:32
    则法向量是很容易求的
  • 8:32 - 8:34
    我给大家举个例子
  • 8:34 - 8:35
    如果已知
  • 8:35 - 8:38
    三维空间中的某个平面
  • 8:38 - 8:41
    假设这是-3
  • 8:41 - 8:42
    尽管这也适用于更高维的情形
  • 8:42 - 8:44
    假设有-3x
  • 8:44 - 8:51
    加上√(2y) 减去
  • 8:51 - 8:56
    或者说加上7z 等于π
    or let's say, plus 7z is equal to π.
  • 8:56 - 8:58
    这看上去很夸张 也不是很夸张吧
  • 8:58 - 9:00
    这是三维空间中的平面
  • 9:00 - 9:03
    那么它的法向量是多少呢？
  • 9:03 - 9:04
    你可以逐个地
  • 9:04 - 9:06
    逐个地取这些系数
  • 9:06 - 9:08
    从而得到平面的法向量
  • 9:09 - 9:18
    就是-3i+√2j+7k
  • 9:18 - 9:20
    可以忽略D的部分
  • 9:20 - 9:22
    可以忽略它的原因是
  • 9:22 - 9:23
    D只对平面有平移的作用
  • 9:23 - 9:26
    但是不会使得平面产生倾斜
  • 9:26 - 9:30
    所以如果这是个常数e或是100
  • 9:30 - 9:35
    对法向量都没有影响
  • 9:35 - 9:36
    它垂直于所有这样的平面
  • 9:36 - 9:38
    因为这些平面相互可以通过平移得到
  • 9:38 - 9:41
    它们的倾斜程度是一样的
  • 9:41 - 9:43
    所以它们的法向量的方向相同
  • 9:43 - 9:45
    它们的法向量指向
  • 9:45 - 9:46
    同一个方向
  • 9:46 - 9:48
    希望你觉得这对你有帮助
  • 9:48 - 9:49
    在此基础上
  • 9:49 - 9:52
    可以定义三维空间中
  • 9:52 - 9:54
    或者平面中的任何两点的距离
  • 9:54 - 9:55
    或者到平面上的最短距离
Title:
Normal vector from plane equation
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:58

Chinese (Simplified, China) subtitles

Incomplete

Revisions

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