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从平面等式求取法线向量

  • 0:01 - 0:03
    本视频中，我想做的是，
  • 0:03 - 0:04
    确保如果给出一个平面的等式，
  • 0:04 - 0:07
    我们能够找到
  • 0:07 - 0:10
    平面的法线向量
  • 0:10 - 0:13
    为了了解这一点，我们从
  • 0:13 - 0:14
    这里的一些平面开始
  • 0:14 - 0:16
    我们从这里开始--这是一个平面
  • 0:16 - 0:17
    我把其中部分画出来，显然
  • 0:17 - 0:19
    它向各个方向延伸
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    我们假设说，这是我们的平面
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    我们再假设这是该平面的法线向量
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    所以，这个是我们平面的法线向量
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    它定义是ai加bj加ck
  • 0:33 - 0:37
    所以，这是我们平面的法线向量
  • 0:37 - 0:39
    所以它是垂直的
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    它垂直于平面上的
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    每个其他向量
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    我们说，平面上有一些点
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    我们有一些点
  • 0:46 - 0:48
    点x下标p
  • 0:48 - 0:49
    p代表平面
  • 0:49 - 0:51
    所以它是平面上的点
  • 0:51 - 0:54
    xp yp zp
  • 0:54 - 0:56
    我们选原点
  • 0:56 - 0:59
    我们说，我们的坐标轴在这里
  • 0:59 - 1:02
    我们画出坐标轴
  • 1:02 - 1:05
    我们假设说，坐标轴是这样的
  • 1:05 - 1:06
    这是z轴
  • 1:06 - 1:09
    这是y轴
  • 1:09 - 1:12
    这是x轴
  • 1:12 - 1:15
    我们说，x轴像这样延伸
  • 1:15 - 1:16
    这是我们的x轴
  • 1:16 - 1:18
    你可以指定这是一个位置向量
  • 1:18 - 1:20
    这是个位置向量
  • 1:20 - 1:21
    我们画成这样
  • 1:24 - 1:26
    它会是在平面后面，在这里
  • 1:26 - 1:28
    你有一个位置向量
  • 1:28 - 1:37
    这个位置向量是xpi，加ypi，加zpk
  • 1:37 - 1:39
    它指明了这个坐标，这里
  • 1:39 - 1:41
    它位于平面上
  • 1:41 - 1:42
    让我给它起个名字
  • 1:42 - 1:44
    让我称之为位置向量
  • 1:44 - 1:50
    我不知道-让我称之为p1
  • 1:50 - 1:52
    所以，这是平面上的一个点
  • 1:52 - 1:57
    所以，它是p--p1，它等于这个
  • 1:57 - 2:01
    现在，我们可以在平面上取另外一个点
  • 2:01 - 2:03
    它是平面上很特别的一个点
  • 2:03 - 2:06
    我们说，任何平面上的其他点，xyz
  • 2:06 - 2:08
    xyz它位于平面上
  • 2:08 - 2:12
    我们取这里这个点，xyz
  • 2:12 - 2:15
    它很明显地，同样的逻辑，可以
  • 2:15 - 2:16
    被其他的位置向量来专门地确定出来
  • 2:16 - 2:19
    我们可以有一个像这样的位置向量
  • 2:19 - 2:21
    和虚线
  • 2:21 - 2:23
    它会位于平面下面，在这里
  • 2:23 - 2:25
    这个位置向量，我不知道
  • 2:25 - 2:30
    我们暂时叫它p，而不是那个特殊的p1
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    它是xi加yj加zk
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    现在，这些设定的原因是
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    给出一些我知道在平面上的特殊的点，
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    和其他一些在平面上的点
  • 2:45 - 2:49
    我可以找到--我可以构建 --一个向量，
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    它确定在平面上
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    我以前当在试着去找到平面的等式时，
  • 2:51 - 2:54
    做过这些
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    一个位于这个平面上的向量，
  • 2:55 - 2:57
    它是这两个向量的差
  • 2:57 - 2:58
    我用蓝色表示
  • 2:58 - 3:02
    所以，如果取黄色向量，减去绿色向量
  • 3:02 - 3:05
    我们取这个位置，你会得到，
  • 3:05 - 3:07
    如果从这个角度看，
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    一个向量链接这个点到这个点
  • 3:08 - 3:10
    尽管你可以移动向量
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    但是，你会得到一个一定在平面上的向量
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    如果你从这些点中的一个开始
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    它绝对会位于平面之上
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    所以，向量看上去像这样
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    它位于平面上
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    这个向量处于平面之上
  • 3:25 - 3:29
    这个向量是p减去p1
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    这个是向量p减去p1
  • 3:32 - 3:35
    它是这个位置向量减去这个位置向量
  • 3:35 - 3:35
    得到这个向量
  • 3:35 - 3:37
    或者另外一种看待它的方式是，
  • 3:37 - 3:40
    它是绿色的这个位置向量加上平面上的这个蓝色的向量
  • 3:40 - 3:43
    明显地等于这个黄色向量，对吗？
  • 3:43 - 3:44
    从头到尾
  • 3:44 - 3:45
    它就是等于这个
  • 3:45 - 3:47
    做这些的原因是
  • 3:47 - 3:50
    我们现在可以对这些蓝色的部分和红色部分
  • 3:50 - 3:51
    进行点乘运算
  • 3:51 - 3:53
    我们此前做过
  • 3:53 - 3:56
    它们必须等于0，因为这个在平面上
  • 3:56 - 3:58
    这个垂直于所有
  • 3:58 - 4:00
    位于平面上的，而它等于0
  • 4:00 - 4:03
    这样我们得到平面的等式
  • 4:03 - 4:04
    但是在我这么做之前，
  • 4:04 - 4:08
    让确保，我们知道这个蓝色向量的组成部分
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    所以p减去p1，这是蓝色向量
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    你把每个部分相减
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    得到的是x减去xp
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    得到x减去xp，加上，y减去ypj，加上
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    z减去zpk
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    我们刚刚说，这个在平面上
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    这个，右边这个法线向量
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    是垂直于平面的
  • 4:35 - 4:39
    取它们的点乘--它应该得到0
  • 4:39 - 4:49
    所以，n点这个向量，它会等于0
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    它也同时等于a乘以这个表达式
  • 4:52 - 4:54
    我在这里做
  • 4:54 - 4:56
    所以这些--换些颜色
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    所以a乘以这些，也就是ax减去axp，加上b乘以这个
  • 5:06 - 5:11
    得到是加上 负的byp
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    然后，让我确定一下有足够的颜色
  • 5:14 - 5:18
    然后它会是加上这个乘以这个
  • 5:18 - 5:24
    也就是加上cz减去czp
  • 5:24 - 5:27
    所有这些等于0
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    现在我要做的是，重写这个
  • 5:31 - 5:34
    所以我们有了所需要的所有项了，对吗？
  • 5:34 - 5:35
    颜色
  • 5:35 - 5:37
    我们有所有的x项-- ax
  • 5:37 - 5:39
    记住，这是任何的在平面上的x
  • 5:39 - 5:41
    它们都满足这个条件
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    所以，ax，by和cz
  • 5:44 - 5:46
    我把这个放到右边
  • 5:46 - 5:53
    所以我们有ax加by加cz，等于
  • 5:53 - 5:54
    我想做的是，
  • 5:54 - 5:56
    我将把每个从两边同时减掉
  • 5:56 - 5:59
    另外一种方式是，我将它挪过来
  • 5:59 - 6:01
    我们来做，让我不要同时做太多事情
  • 6:01 - 6:03
    我把这个部分挪到左边，
  • 6:03 - 6:06
    我将两边同时加上正的axp
  • 6:06 - 6:09
    它等于减去负的axp
  • 6:09 - 6:13
    所以这个就是正axp
  • 6:13 - 6:17
    然后我们有正的byp加上
  • 6:17 - 6:24
    我用同样的绿色，加上byp，然后最后加上czp
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    加上czp后等于这个
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    我们做这些的原因是在于 --
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    我在此前的视频，我们求公式，
  • 6:32 - 6:34
    或者是求平面的等式的视频中，做过这些
  • 6:34 - 6:36
    我们说，如果有一个法线向量
  • 6:36 - 6:39
    如果我们在平面上有个点--
  • 6:39 - 6:42
    在本例中是xp yp zp --
  • 6:42 - 6:45
    我们现在有一个快速方法来求出等式
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    但是我想用另外的方法做
  • 6:46 - 6:48
    我希望你能够，如果
  • 6:48 - 6:58
    我给你一个平面的等式，比如，
  • 6:58 - 7:02
    ax加by加cz，等于d
  • 7:02 - 7:05
    所以这是平面的通用等式
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    如果我告诉你这个，我想
  • 7:06 - 7:09
    能够快速求出它的法线向量
  • 7:09 - 7:10
    你要如何做？
  • 7:10 - 7:13
    这个ax加上by加上cz，是这里这个
  • 7:13 - 7:16
    部分的类比
  • 7:16 - 7:18
    让我把这里的所有这些重新写下来，让它清晰些
  • 7:18 - 7:24
    这个部分是ax加by加cz
  • 7:24 - 7:28
    是等于左边所有这些部分
  • 7:28 - 7:32
    让我挪到这里
  • 7:32 - 7:35
    我只是翻转了一下这个表达式
  • 7:35 - 7:41
    但是现在你看这些，所有这些，这个a必须是这个a
  • 7:41 - 7:43
    这个b一定是这个b
  • 7:43 - 7:44
    这个c一定是这个部分
  • 7:44 - 7:45
    然后d是所有这些
  • 7:45 - 7:47
    这个部分会是一个数字
  • 7:47 - 7:49
    这个部分会是一个数字
  • 7:49 - 7:50
    加上假设你知道，法线向量是什么
  • 7:50 - 7:52
    你的a，b，c是多少
  • 7:52 - 7:53
    你知道一个特定值
  • 7:53 - 7:55
    所以这就是d
  • 7:55 - 7:58
    所以，这就是你如何得到平面等式的方法
  • 7:58 - 7:59
    如果我给你等式或者一个平面
  • 7:59 - 8:01
    法线向量是多少？
  • 8:01 - 8:01
    我们刚刚看到了
  • 8:01 - 8:04
    法线向量，这个a对应这那个a
  • 8:04 - 8:07
    这个b对应这个b，这个c对应这个d
  • 8:07 - 8:09
    我们最初的这个平面的法线向量
  • 8:09 - 8:12
    它有a，b，c部分
  • 8:12 - 8:16
    所以如果你有这个平面的等式
  • 8:16 - 8:21
    这个平面的法线向量在这里
  • 8:21 - 8:28
    会是ai加bj加ck
  • 8:28 - 8:30
    所以这是很容易做的事
  • 8:30 - 8:32
    如果我给你一个平面的等式--
  • 8:32 - 8:34
    让我给你一个特殊的例子
  • 8:34 - 8:38
    如果我告诉你我有一些三维的平面
  • 8:38 - 8:41
    --让我说它是-3，尽管
  • 8:41 - 8:42
    这对更多维都成立
  • 8:42 - 8:48
    让我说，我有-3x加上2的平方根y-
  • 8:48 - 8:52
    让我这么写--减去，或者说
  • 8:52 - 8:56
    加上7z是等于pi
  • 8:56 - 8:58
    所以，你有这个
  • 8:58 - 9:00
    它只是一个三维的平面
  • 9:00 - 9:03
    我的问题是这个平面的法线向量是多少？
  • 9:03 - 9:06
    你实际上可以找出这些相关系数
  • 9:06 - 9:08
    这个平面的法线向量是
  • 9:08 - 9:14
    -3i，加上2的平方根
  • 9:14 - 9:18
    加上2的平方根j，加上7k
  • 9:18 - 9:20
    你可以在这里忽略d部分
  • 9:20 - 9:21
    你可以忽略的原因是
  • 9:21 - 9:23
    它会转移平面
  • 9:23 - 9:26
    但是它不会改变平面的倾斜方向
  • 9:26 - 9:32
    所以，a这个法线向量，在这是e
  • 9:32 - 9:36
    甚至是100的时候，都是法线，它对所有这些平面都是法线
  • 9:36 - 9:38
    因为所有这些平面都是平移而已
  • 9:38 - 9:40
    但是它们有同样的倾斜度
  • 9:40 - 9:43
    所以，它们都是指向同样的方向
  • 9:43 - 9:46
    所以法线向量也指向同样方向
  • 9:46 - 9:48
    所以，希望你能够发现这是有用的
  • 9:48 - 9:50
    在此基础上，我们来求取
  • 9:50 - 9:54
    任何三维中的任何一点和这些平面的距离
  • 9:54 - 9:57
    它们到平面的最短距离
Title:
从平面等式求取法线向量
Description:

从平面的等式来求取法线向量

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:58

Chinese, Simplified subtitles

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