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Laplace Transform 2

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    我们接着做点拉普拉斯变换
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    首先 这样有利于你们了解
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    以后会见到的变换表
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    如何推导得来
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    也让大家适应里头的数学
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    其实这有点大家第二学期的
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    微积分的内容 不过这能让大家适应
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    我们做的这整套东西的符号记法
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    首先我重新写一下
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    拉普拉斯变换的定义
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    这是一个《拉芙妮和雪莉》里头的L
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    某个t的函数的拉普拉斯变换
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    等于 从0到无穷的反常积分
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    对e^(-st)乘以原函数 作积分
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    乘上对t的函数 然后是dt
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    我们再算一个拉普拉斯变换
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    比如说我们要作拉普拉斯变换
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    现在函数 f(t)
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    我们说是 e^(at)
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    e^(at)的拉普拉斯变换
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    我们直接代入
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    拉普拉斯变换的定义
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    这是给我们一个很好的
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    积分练习
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    尤其是分部积分
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    几乎每个拉普拉斯变换问题
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    都能转化为分部积分问题
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    正如我们很久以前学的
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    分部积分就是导数乘积公式的倒推
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    总之
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    这个等于积分 从0到无穷
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    e^(-st)e^(at) 对吧？
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    这是我们的f(t) 还有dt
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    这个等于幂指数相加
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    因为底数相等
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    0到无穷 积分e^(a-st) dt
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    这个的原函数是什么？
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    它等于什么？
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    t是被积变量
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    它等于1/（a - s）。。。
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    这是一个常数对吧？
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    所以我们可以把它搁到外头
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    即1/(a-s) e^(a-s)t
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    我们要代入t求值
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    让t等于无穷 或者说趋近于无穷
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    还有t = 0
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    我把这个写到括号里
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    这只是个常数项 是吧？
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    里头都没有t
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    所以我可以把它们提出来
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    所以这个等于 -1/(a-s)...
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    现在我们需要考虑 t为无穷时的极限
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    在无穷处的极限是什么呢？
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    我们要分两种情况 对吧？
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    如果这个指数
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    如果a-s是正数
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    a-s ＞ 0 会发生什么？
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    其实 当我们趋近无穷的时候 e的无穷次幂
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    会越来越大 对吧？
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    因为它是e的正无穷次幂
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    所以这里无解
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    当你求反常积分时
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    如果取极限的时候
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    得不到有限数
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    不趋近任何一个数
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    这时反常积分发散
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    也就是没有极限
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    从某种意义上说 我们可以讲
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    拉普拉斯变换在
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    a-s ＞ 0 (a＞s) 的情形下没有定义
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    那么 a-s < 0的时候 会发生什么呢？
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    这里就是一个
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    负数了 对吧？
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    如果我们取 e的负无穷次幂
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    那的确会逼近一个数
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    逼近0
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    我们在上一次视频里已经见到了
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    我希望大家明白我讲的意思 懂吧？
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    e的负无穷次幂 趋近于0
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    而e的正无穷次幂 是无穷
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    也就是不收敛
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    总之
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    如果我假设 a-s < 0
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    或者 a < s
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    我现在就这样假设
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    那么反常积分收敛
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    如果a-s < 0
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    这是一个负数
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    对于e^(a-s)t
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    t趋于无穷时 它等于 0
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    减去这个原函数在0点的值
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    原函数在0点时 是什么情况？
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    t等于0
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    这整块成为 e^0 = 1
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    我们剩下什么？
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    是-1/(a-s)
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    也就是1/(s-a)
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    现在我们又求出了
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    拉普拉斯变换表中的一条
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    这就是拉普拉斯变换
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    e^(at) 的拉普拉斯变换
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    等于 1/(s-a)
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    只要我们假设
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    s大于a
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    这个变换 当s>a
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    或者说 a
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    两种说法都对
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    这是我们的拉普拉斯变换表中的第二个式子
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    不错吧
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    实际上 让我们和变换表中的第一个
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    联系起来 好吧？
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    我们的变换表里
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    第一个是什么呢？
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    是 L[1] = 1/s 对吧？
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    1不就是e^0吗？
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    所以我们可以说这就是 L[...]
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    我知道我没位置了
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    在这儿用紫色写吧
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    我们可以说 L[1]
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    就是 L[e^0] 对吧
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    那就等于1/s
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    很幸运 我们看到这两个结果是一致的
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    实际上 还记得么
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    我们还设定了条件
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    s>0 对吧？
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    我们在这个例子里假设 s > 0
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    在此又一次地 我们要求 s > 0
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    这两个完全是一致的 对吧？
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    因为如果 a = 0
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    则L[e^0]
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    等于1/(s - 0)
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    也就是 1/s
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    我们必须假设 s> 0
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    其实这只是变换表中的
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    同一个罢了
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    不过在数学里
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    我们对两个略微不同的问题
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    进行求解 发现它们从某种意义上
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    是关联的或者一样的 总是一件愉快的事情
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    总之 我们下个视频见
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    我们继续努力
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    做出我们的拉普拉斯变换表
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    再过三四个视频之后
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    我就会给你展示
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    拉普拉斯变换
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    在解微分方程时的强大之处
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    再会啦
Title:
Laplace Transform 2
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:35

Chinese, Simplified subtitles

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