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寻找水平和垂直渐近线

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    我们有一个函数f(x) = 3 x的平方
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    减去18x - 81, 除以6x的平方-54
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    这个视频里
  • 0:12 - 0:15
    我想要找到这个函数的
  • 0:15 - 0:17
    水平和垂直渐近线
  • 0:17 - 0:20
    我希望您能够暂停视频
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    然后试图自己尝试一下
  • 0:21 - 0:24
    在我向大家介绍之前
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    我现在假设您已经尝试过了
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    我们来一起思考一下这个函数
  • 0:28 - 0:35
    首先我们想想水平渐近线
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    看看是不是至少有一个
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    水平渐近线的意思是
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    函数f(x)会慢慢接近的一条线
  • 0:45 - 0:49
    当x的绝对值
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    接近无限大的时候
  • 0:53 - 0:56
    或者你可以说，函数f(x）的数值
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    在x接近无限大的时候
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    f(x)的数值
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    在x接近负无限大的时候
  • 1:04 - 1:06
    你可以有几种不同的方法来思考
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    让我重新写一下f(x)的定义
  • 1:09 - 1:10
    在这里
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    它是3x的平方-18x-81
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    它全部除以6x的平方-54
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    现在有两种您可以思考的方法
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    第一种方法，您可以说，好
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    在x的绝对值
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    变得越来越大的时候
  • 1:30 - 1:36
    分别在分子和分母里最高指数的项
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    会主导f(x)的值
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    最高指数是那两项呢？
  • 1:41 - 1:44
    在分子里，你有3x平方
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    然后在分母里，你有6x的平方
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    当x的绝对值
  • 1:53 - 1:55
    接近无限大的时候
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    这两项就会主导函数的值
  • 1:57 - 2:03
    所以f(x)约等于3x的平方
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    除以6x的平方
  • 2:05 - 2:07
    其他的项会变得没那么重要
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    因为-54永远是-54
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    然后-18x会比
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    3x的平方变化的速度更慢
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    所以最高指数的两项，能够决定f(x)的数值
  • 2:17 - 2:19
    如果我们只看这两项，
  • 2:19 - 2:22
    那你可以这样想象
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    f(x)越来越接近
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    3/6或者1/2
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    你可以说有一个水平渐近线
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    在y=1/2的时候
  • 2:36 - 2:37
    或者有第二种方法
  • 2:37 - 2:40
    如果你不喜欢这里说
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    最高指数项的说法的话
  • 2:43 - 2:46
    我们可以关注分子和分母
  • 2:46 - 2:50
    将分子和分母里
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    最高指数项的x相除
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    在分子里最高指数的x是x的平方
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    那么我们把分子除以分母
  • 2:58 - 3:00
    或者说最高指数的项
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    在分子和分母里都是x的平方
  • 3:02 - 3:04
    然后我们就把分子和分母
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    都除以x^2
  • 3:05 - 3:10
    也就是分子乘以1/x^2
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    分母也乘以1/x^2
  • 3:14 - 3:16
    注意我们没有变换
  • 3:16 - 3:20
    整个表达式的数值
  • 3:20 - 3:22
    我们只是乘以1
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    假设x不等于0
  • 3:25 - 3:28
    我们的分子里，
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    3x的平方除以x的平方等于3
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    减去18除以x，减去81除以x的平方
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    然后把它除以
  • 3:39 - 3:41
    6x的平方除以x的平方，等于6
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    然后减去54除以x的平方
  • 3:46 - 3:48
    这会发生什么呢？
  • 3:48 - 3:51
    如果您想要思考
  • 3:51 - 3:53
    当x接近无穷大
  • 3:53 - 3:54
    以后的极限的话
  • 3:54 - 3:57
    如果您想说当x接近无穷大
  • 3:57 - 3:58
    以后我们得到的极限
  • 3:58 - 3:59
    那么会发生什么呢？
  • 3:59 - 4:03
    这三项会接近0
  • 4:03 - 4:09
    所以您得到的极限是3/6或者1/2
  • 4:09 - 4:11
    那么，如果您假设x接近负无穷
  • 4:11 - 4:12
    那还是一样的原理
  • 4:12 - 4:14
    这个，这个，和它都接近0
  • 4:14 - 4:17
    然后您会得到接近1/2
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    这就是水平渐近线
  • 4:19 - 4:22
    y等于1/2
  • 4:22 - 4:25
    现在让我们来思考垂直渐近线
  • 4:25 - 4:28
    让我先把函数写下来
  • 4:28 - 4:29
    移动一下屏幕
  • 4:29 - 4:37
    垂直渐近线
  • 4:37 - 4:41
    有可能不止一个
  • 4:41 - 4:43
    所以，您现在似乎很想说
  • 4:43 - 4:45
    “在分母等于0的时候”
  • 4:45 - 4:47
    “我们就会遇到垂直渐近线”
  • 4:47 - 4:50
    “因为这个有理数会变得无定义“
  • 4:50 - 4:52
    我们会在这个例子里看到
  • 4:52 - 4:55
    这并不完全正确
  • 4:55 - 4:58
    仅仅把分母设成0
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    并不会是一个垂直渐近线
  • 5:01 - 5:02
    它确实是一个点
  • 5:02 - 5:03
    在这个点上函数是未定义的
  • 5:03 - 5:06
    但是仅仅如此并不能构成垂直渐近线
  • 5:06 - 5:09
    让我们思考一下这里的分母
  • 5:09 - 5:10
    我们可以因式分解
  • 5:10 - 5:11
    让我先分解分子
  • 5:11 - 5:12
    然后分解分母
  • 5:12 - 5:17
    我们可以把f(x)写作
  • 5:17 - 5:19
    分子明显可以被三整除
  • 5:19 - 5:20
    所以先分解出3
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    然后就变成了3乘以x^2
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    减去6x，减去27
  • 5:26 - 5:30
    然后除以分母
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    每一项都可以被6整除
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    6乘以x^2，减9
  • 5:35 - 5:39
    我们接下来看能不能进一步
  • 5:39 - 5:41
    分解分子和分母
  • 5:41 - 5:46
    那就会是f(x)等于
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    两个数的积是-27
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    他们的和是-6
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    -9和3似乎可以用
  • 5:54 - 5:59
    我们会有(x-9)乘以(x+3)
  • 5:59 - 6:02
    除以分母
  • 6:02 - 6:04
    这是一个平方差
  • 6:04 - 6:09
    那就会是x-3乘以x+3
  • 6:09 - 6:13
    分母在什么时候等于0
  • 6:13 - 6:18
    当分母等于0的时候，
  • 6:18 - 6:22
    x等于+3
  • 6:22 - 6:26
    或者说x等于-3
  • 6:26 - 6:28
    那么我希望您能够暂停视频
  • 6:28 - 6:32
    这两个都是垂直渐近线吗
  • 6:32 - 6:35
    您可能已经发现分子
  • 6:35 - 6:40
    在x=-3的时候也等于0
  • 6:40 - 6:43
    我们可以做的事情是把式子化简一下
  • 6:43 - 6:45
    然后就会更清楚
  • 6:45 - 6:47
    我们的垂直渐近线在哪里
  • 6:47 - 6:48
    我们可以说f(x)
  • 6:48 - 6:51
    等于分子和分母
  • 6:51 - 6:54
    都除以x+3
  • 6:54 - 6:55
    我们还需要注意
  • 6:55 - 6:56
    如果我们想要两个函数一样的话
  • 6:56 - 6:59
    我们需要保留这个函数，比如
  • 6:59 - 7:02
    在x=-3的时候是未定义的
  • 7:02 - 7:05
    因为公式出现了除以0
  • 7:05 - 7:06
    我们需要记住这一点
  • 7:06 - 7:08
    然后可以化简函数
  • 7:08 - 7:11
    除了上面这点，这个函数
  • 7:11 - 7:13
    就等于当我们把分子分母都除以
  • 7:13 - 7:14
    x+3的时候了
  • 7:14 - 7:18
    那就等于3x-9
  • 7:18 - 7:22
    除以6x-3
  • 7:22 - 7:29
    但是x不等于-3
  • 7:29 - 7:32
    注意，这个函数
  • 7:32 - 7:33
    和我们原本的函数是一样的
  • 7:33 - 7:37
    然后我只需要把这个条件放在这里，
  • 7:37 - 7:39
    x不等于-3
  • 7:39 - 7:42
    因为我们原本的函数
  • 7:42 - 7:44
    在x=-3的时候是未定义的
  • 7:44 - 7:47
    x=-3不是原本函数
  • 7:47 - 7:48
    的定义域
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    如果我们把x+3从分子分母
  • 7:53 - 7:54
    中取出来的话
  • 7:54 - 7:55
    我们需要记住
  • 7:55 - 7:57
    我们只用这个的话
  • 7:57 - 7:58
    不是原本的函数
  • 7:58 - 8:00
    因为没有附加条件的话
  • 8:00 - 8:03
    这个新函数在x=-3的时候是被定义的
  • 8:03 - 8:04
    但是我们想要完全一样的函数
  • 8:04 - 8:07
    我们在这一点上
  • 8:07 - 8:08
    会有一个不连续点
  • 8:08 - 8:11
    我们现在可以思考垂直渐近线了
  • 8:11 - 8:13
    现在，垂直渐近线是一个点
  • 8:13 - 8:15
    会把分母变成0的一个点
  • 8:15 - 8:17
    但是同时分子不是0
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    x等于-3会把分子分母都变成0
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    我们的垂直渐近线
  • 8:23 - 8:25
    —让我换个颜色—
  • 8:25 - 8:33
    我们的垂直渐近线就会是
  • 8:33 - 8:37
    当x等于+3的时候
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    因为在这一点，分母等于0
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    但是分子不等于0，所以让我写下来
  • 8:42 - 8:46
    垂直渐近线在x等于3的时候
  • 8:46 - 8:50
    用这两点信息
  • 8:50 - 8:51
    或者我猜您也已经知道了
  • 8:51 - 8:55
    我们可以开始画图了
  • 8:55 - 8:57
    但是仅仅知道这点还是不够
  • 8:57 - 8:59
    我们还需要画几个不同的点
  • 8:59 - 9:02
    来看看在逐渐接近线的时候
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    会发生什么
  • 9:06 - 9:08
    当我们看到图的时候
  • 9:08 - 9:13
    不如我们在这里试一下
  • 9:13 - 9:16
    因为它能让我们知道函数究竟长什么样
  • 9:16 - 9:21
    函数会变成这个样子
  • 9:21 - 9:22
    注意这里的比例不准确
  • 9:22 - 9:25
    这个点是1，这个点是1/2
  • 9:25 - 9:33
    y等于1/2是水平渐近线
  • 9:33 - 9:35
    y=1/2
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    然后我们有一个垂直渐近线
  • 9:36 - 9:38
    在x=+3的时候
  • 9:39 - 9:42
    我们有1,2
  • 9:42 - 9:43
    —让我用蓝色—
  • 9:43 - 9:48
    1, 2, 3, 比例不准确
  • 9:48 - 9:50
    或者说x和y的比例不太准确
  • 9:50 - 9:53
    但是我们有一个这样的垂直渐近线了
  • 9:53 - 9:55
    光看这个的话我们还是不知道
  • 9:55 - 9:57
    函数的长相
  • 9:57 - 9:58
    它可以长得像这样
  • 9:58 - 10:02
    或者那样
  • 10:02 - 10:05
    也可以是这样
  • 10:05 - 10:10
    或者也可以这个样子
  • 10:10 - 10:14
    还可能长这样
  • 10:14 - 10:15
    希望您能够了解
  • 10:15 - 10:17
    我们想要知道函数具体是什么样
  • 10:17 - 10:19
    我们需要尝试几个点
  • 10:19 - 10:21
    我们需要知道的另一点是
  • 10:21 - 10:22
    函数在x=-3的时候
  • 10:22 - 10:26
    是未被定义的
  • 10:28 - 10:34
    让我把x变成-3
  • 10:34 - 10:38
    1, 2, 3, 所以函数
  • 10:38 - 10:39
    但是我还没有尝试每个点
  • 10:39 - 10:41
    它可以长得像这样
  • 10:41 - 10:45
    也可以是这样，在-3的时候
  • 10:45 - 10:48
    未被定义
  • 10:48 - 10:50
    然后可以继续这样走
  • 10:50 - 10:52
    或者像这个样子
  • 10:52 - 10:59
    又或者是这样
  • 10:59 - 11:01
    但是在-3的时候是违背定义的
  • 11:01 - 11:03
    然后这里将是一个渐近线
  • 11:03 - 11:04
    所以我们越来越接近
  • 11:04 - 11:06
    它可以长的是这样
  • 11:06 - 11:07
    或者是那样
  • 11:07 - 11:09
    但是，想要确定具体的样子
  • 11:09 - 11:12
    我们需要尝试几个点
  • 11:12 - 11:14
    我希望您在看完这个视频以后
  • 11:14 - 11:15
    自己尝试
  • 11:15 - 11:17
    然后试图搞清楚
  • 11:17 - 11:19
    这个图画究竟长什么样
Title:
寻找水平和垂直渐近线
Description:

现在开始在可汗学院KhanAcademy.org上自行练习本课程：/nhttps://www.khanacademy.org/math/algebra2/rational-expressions/rational-function-graphing/e/graphs-of-rational-functions?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=AlgebraII

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
11:22

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