< Return to Video

Finding horizontal and vertical asymptotes

  • 0:00 - 0:03
    เรามี f ของ x เท่ากับ 3x กำลังสอง
  • 0:03 - 0:10
    ลบ 18x ลบ 81 ส่วน 6x กำลังสองลบ 54
  • 0:10 - 0:12
    ทีนี้ สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้
  • 0:12 - 0:15
    คือหาสมการสำหรับเส้นกำกับ
  • 0:15 - 0:17
    แนวนอนและแนวตั้ง
  • 0:17 - 0:20
    และผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอตอนนี้
  • 0:20 - 0:21
    แล้วพยายามหาคำตอบเอง
  • 0:21 - 0:24
    ก่อนที่ผมจะลองทำ
  • 0:24 - 0:27
    ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ
  • 0:27 - 0:28
    ลองคิดถึงแต่ละอย่างกัน
  • 0:28 - 0:35
    อย่างแรก ลองคิดถึงเส้นกำกับแนวนอน
  • 0:35 - 0:37
    ถ้ามันมีสักเส้นหนึ่ง
  • 0:37 - 0:42
    เส้นกำกับแนวนอนจริงๆ แล้วก็คือเส้นตรง
  • 0:42 - 0:45
    เส้นตรงแนวนอนที่ f ของ x เข้าหา
  • 0:45 - 0:49
    เมื่อค่าสัมบูรณ์ของ x เข้าใกล้
  • 0:49 - 0:53
    เมื่อค่าสัมบูรณ์ของ x เข้าใกล้อนันต์
  • 0:53 - 0:56
    หรือคุณถามได้ว่า f ของ x เข้าใกล้อะไร
  • 0:56 - 0:58
    เมื่อ x เข้าใกล้อนันต์
  • 0:58 - 1:00
    และ f ของ x เข้าใกล้อะไร
  • 1:00 - 1:04
    เมื่อ x เข้าใกล้ลบอนันต์
  • 1:04 - 1:06
    มันมีวิธีคิดสองวิธี
  • 1:06 - 1:09
    ขอผมเขียนนิยามของ f ของ x ใหม่
  • 1:09 - 1:10
    ตรงนี้
  • 1:10 - 1:16
    มันคือ 3x กำลังสองลบ 18x ลบ 81
  • 1:16 - 1:21
    ทั้งหมดนั้นส่วน 6x กำลังสองลบ 54
  • 1:21 - 1:24
    มันมีวิธีคิดอยู่สองวิธี
  • 1:24 - 1:25
    หนึ่ง คุณบอกได้ว่า โอเค
  • 1:25 - 1:28
    เมื่อ x เมื่อค่าสัมบูรณ์ของ x
  • 1:28 - 1:30
    มากขึ้น มากขึ้น และมากขึ้น
  • 1:30 - 1:33
    เทอมดีกรีสูงสุดในตัวเศษ
  • 1:33 - 1:39
    และตัวส่วนจะมีค่านำ
  • 1:39 - 1:41
    เทอมดีกรีสูงสุดมีอะไรบ้าง?
  • 1:41 - 1:44
    ตัวเศษ คุณมี 3x กำลังสอง
  • 1:44 - 1:47
    ในตัวส่วน คุณมี 6x กำลังสอง
  • 1:47 - 1:53
    เมื่อ x เข้าใกล้ เมื่อค่าสัมบูรณ์ของ x
  • 1:53 - 1:55
    เข้าใกล้อนันต์
  • 1:55 - 1:57
    สองเทอมนี้จะนำ
  • 1:57 - 2:03
    f ของ x จะมีค่าประมาณ 3x กำลังสอง
  • 2:03 - 2:05
    ส่วน 6x กำลังสอง
  • 2:05 - 2:07
    เทอมอื่นๆ จะสำคัญน้อยกว่า
  • 2:07 - 2:09
    แน่นอนว่าลบ 54 จะไม่โตเลย
  • 2:09 - 2:12
    และลบ 18x จะโตช้ามาก
  • 2:12 - 2:14
    เทียบกับ 3x กำลังสอง
  • 2:14 - 2:17
    เทอมดีกรีสูงสุดจะมีค่านำ
  • 2:17 - 2:19
    ถ้าเราดูเทอมเหล่านั้น
  • 2:19 - 2:22
    แล้วคุณคิดให้มันมีรูปง่ายลงแบบนี้
  • 2:22 - 2:25
    f ของ x จะใกล้ขึ้น ใกล้ขึ้น
  • 2:25 - 2:28
    หา 3/6 หรือ 1/2
  • 2:28 - 2:30
    คุณบอกได้ว่า มันมีเส้นกำกับแนวนอน
  • 2:30 - 2:36
    ที่ y เท่ากับ 1/2
  • 2:36 - 2:37
    วิธีที่เราคิดได้อีกอย่าง
  • 2:37 - 2:40
    ถ้าคุณไม่ชอบการให้เหตุผล
  • 2:40 - 2:43
    แบบไม่รัดกุม ที่บอกแค่ว่าสองเทอมนี้มีค่านำ
  • 2:43 - 2:46
    เราก็สามารถหารตัวเศษและตัวส่วน
  • 2:46 - 2:50
    ด้วยดีกรีสูงสุด คือ x ยกกำลังดีกรีสูงสุด
  • 2:50 - 2:51
    ในตัวเศษและตัวส่วน
  • 2:51 - 2:54
    เทอมดีกรีสูงสุดคือ x กำลังสองในตัวเศษ
  • 2:54 - 2:58
    ลองหารทั้งเศษและส่วน
  • 2:58 - 3:00
    หรือผมควรบอกว่าเทอมดีกรีสูงสุดกัน
  • 3:00 - 3:02
    ในตัวเศษและตัวส่วนคือ x กำลังสอง
  • 3:02 - 3:04
    ลองหารทั้งตัวเศษ
  • 3:04 - 3:05
    และตัวส่วนด้วยเทอมนั้นกัน
  • 3:05 - 3:10
    ถ้าคุณคูณตัวเศษด้วย 1 ส่วน x กำลังสอง
  • 3:10 - 3:14
    และตัวส่วนคูณด้วย 1 ส่วน x กำลังสอง
  • 3:14 - 3:16
    สังเกตว่าเราจะไม่เปลี่ยนค่า
  • 3:16 - 3:20
    ของพจน์ทั้งพจน์ เราแค่คูณมันด้วย
  • 3:20 - 3:22
    1 ถ้าเราถือว่า x ไม่เท่ากับ 0
  • 3:23 - 3:25
    เราได้ 2
  • 3:25 - 3:28
    ในตัวเศษ ลองดู 3x กำลังสอง
  • 3:28 - 3:29
    หารด้วย x กำลังสองจะเท่ากับ 3
  • 3:29 - 3:36
    ลบ 18 ส่วน x ลบ 81 ส่วน x กำลังสอง
  • 3:36 - 3:39
    แล้วทั้งหมดนั้นส่วน 6x กำลังสอง
  • 3:39 - 3:41
    คูณ 1 ส่วน x กำลังสอง นี่จะเท่ากับ 6
  • 3:41 - 3:46
    แล้วลบ 54 ส่วน x กำลังสอง
  • 3:46 - 3:48
    มันจะเกิดอะไรขึ้น?
  • 3:48 - 3:51
    ถ้าคุณคิดถึงเทอม
  • 3:51 - 3:53
    ถ้าคุณคิดถึงลิมิต
  • 3:53 - 3:54
    เมื่อค่าเข้าหาอนันต์
  • 3:54 - 3:57
    ถ้าคุณอยากบอกว่าลิมิตเมื่อ x
  • 3:57 - 3:58
    เข้าใกล้อนันต์ตรงนี้
  • 3:58 - 3:59
    มันจะเกิดอะไรขึ้น?
  • 3:59 - 4:03
    อันนี้ อันนี้ และอันนั้นจะเข้าใกล้ 0
  • 4:03 - 4:09
    คุณจะเข้าใกล้ 3/6 หรือ 1/2
  • 4:09 - 4:11
    ทีนี้ ถ้าคุณบอกว่า x นี้เข้าใกล้ลบอนันต์
  • 4:11 - 4:12
    มันก็จะเหมือนกัน
  • 4:12 - 4:14
    อันนี้ อันนี้ และอันนี้เข้าใกล้ 0
  • 4:14 - 4:17
    และเหมือนเดิม คุณเข้าใกล้ 1/2
  • 4:17 - 4:19
    นั่นก็คือเส้นกำกับตามแนวนอน
  • 4:19 - 4:22
    y เท่ากับ 1/2
  • 4:22 - 4:25
    ลองคิดถึงเส้นกำกับแนวตั้งกัน
  • 4:25 - 4:28
    ขอผมเขียนข้างล่างตรงนี้นะ
  • 4:28 - 4:29
    ขอผมเลื่อนไปหน่อย
  • 4:29 - 4:37
    เส้นกำกับแนวตั้งหรือเส้นกำกับที่เป็นไปได้
  • 4:37 - 4:41
    แนวตั้ง มันอาจมีหลายเส้น
  • 4:41 - 4:43
    ทีนี้คุณอาจอยากบอกว่า
  • 4:43 - 4:45
    "โอเค คุณเจอเส้นกำกับแนวตั้ง
  • 4:45 - 4:47
    เมื่อตัวส่วนเท่ากับ 0
  • 4:47 - 4:50
    ซึ่งทำให้พจน์ตรรกยะนี้ไม่นิยาม
  • 4:50 - 4:52
    และเราจะเห็นสำหรับกรณีนี้
  • 4:52 - 4:55
    มันไม่ถูกต้องเสียทีเดียว
  • 4:55 - 4:58
    การทำตัวส่วนเป็น 0 อย่างเดียว
  • 4:58 - 5:01
    ไม่เพียงพอจะเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง
  • 5:01 - 5:02
    มันจะเป็นตำแหน่ง
  • 5:02 - 5:03
    ที่ฟังก์ชันไม่นิยามจริง
  • 5:03 - 5:06
    แต่แค่นั้นไม่ทำให้มันเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง
  • 5:06 - 5:09
    ลองคิดถึงตัวส่วนนี่ตรงนี้
  • 5:09 - 5:10
    เราแยกตัวประกอบมันได้
  • 5:10 - 5:11
    ลองแยกตัวประกอบตัวเศษ
  • 5:11 - 5:12
    และตัวส่วนกัน
  • 5:12 - 5:17
    เราเขียนมันใหม่เป็น f ของ x เท่ากับตัวเศษ
  • 5:17 - 5:19
    ชัดเจนว่าทุกเทอมหารด้วย 3 ลงตัว
  • 5:19 - 5:20
    ลองหารด้วย 3 กัน
  • 5:20 - 5:23
    มันจะเท่ากับ 3 คูณ x กำลังสอง
  • 5:23 - 5:26
    ลบ 6x ลบ 27
  • 5:26 - 5:30
    ทั้งหมดนั้นส่วนตัวส่วน
  • 5:30 - 5:32
    แต่ละเทอมหารด้วย 6 ด้วย
  • 5:32 - 5:35
    6 คูณ x กำลังสองลบ 9
  • 5:35 - 5:39
    แล้วลองดูว่าเราแยกตัวประกอบตัวเศษ
  • 5:39 - 5:41
    กับตัวส่วนต่อได้ไหม
  • 5:41 - 5:46
    นี่ก็คือ f ของ x เท่ากับ 3 คูณ
  • 5:46 - 5:50
    ลองดู เลขสองตัว ผลคูณเป็นลบ 27
  • 5:50 - 5:52
    ผลบวกเป็นลบ 6
  • 5:52 - 5:54
    ลบ 9 กับ 3 ดูจะใช้ได้
  • 5:54 - 5:59
    คุณมี x ลบ 9 คูณ x บวก 3 ได้
  • 5:59 - 6:02
    แค่แยกตัวประกอบตัวเศษ ส่วนตัวส่วน
  • 6:02 - 6:04
    นี่คือผลต่างของกำลังสองตรงนี้
  • 6:04 - 6:09
    นี่ก็คือ x ลบ 3 คูณ x บวก 3
  • 6:09 - 6:13
    ตัวส่วนเท่ากัน 0 เมื่อไหร่?
  • 6:13 - 6:18
    ตัวส่วนเท่ากับ 0
  • 6:18 - 6:22
    เมื่อ x เท่ากับบวก 3
  • 6:22 - 6:26
    หรือ x เท่ากับลบ 3
  • 6:26 - 6:28
    ตอนนี้ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้สักครู่
  • 6:28 - 6:32
    คิดว่าทั้งคู่เป็นเส้นกำกับแนวตั้งไหม?
  • 6:32 - 6:35
    คุณอาจสังเกตว่าตัวเศษ
  • 6:35 - 6:40
    เท่ากับ 0 เช่นกันเมื่อ x เท่ากับลบ 3
  • 6:40 - 6:43
    สิ่งที่เราทำได้ คือจัดรูปมันอีกหน่อย
  • 6:43 - 6:45
    แล้วมันจะเห็นได้ชัดขึ้น
  • 6:45 - 6:47
    ว่าเส้นกำกับแนวตั้งของเราคืออะไร
  • 6:47 - 6:48
    เราบอกได้ว่า f ของ x
  • 6:48 - 6:51
    เราก็หารตัวเศษ
  • 6:51 - 6:54
    กับตัวส่วนด้วย x บวก 3 ได้
  • 6:54 - 6:55
    และเราก็แค่ใส่
  • 6:55 - 6:56
    ถ้าเราอยากให้ฟังก์ชันเหมือนเดิม
  • 6:56 - 6:59
    เราต้องเก็บข้อมูลไว้ว่าฟังก์ชันเอง
  • 6:59 - 7:02
    ไม่นิยามสำหรับ x เท่ากับลบ 3 --
  • 7:02 - 7:05
    ค่านั้นทำให้เราหารด้วย 0
  • 7:05 - 7:06
    เราต้องนึกดูว่า
  • 7:06 - 7:08
    มันจะทำให้พจน์ง่ายลง
  • 7:08 - 7:11
    ฟังก์ชันเดียวกันนี้จะ
  • 7:11 - 7:13
    ถ้าเราหารตัวเศษและตัวส่วน
  • 7:13 - 7:14
    ด้วย x บวก 3
  • 7:14 - 7:18
    มันจะเท่ากับ 3 คูณ x ลบ 9
  • 7:18 - 7:22
    ส่วน 6 คูณ x ลบ 3
  • 7:22 - 7:29
    สำหรับ x ไม่เท่ากับลบ 3
  • 7:29 - 7:32
    สังเกตว่า นี่คือนิยามเดียวกัน
  • 7:32 - 7:33
    กับฟังก์ชันเดิมนี้
  • 7:33 - 7:37
    และต้องใส่ตัวกำกับนี่ตรงนี้
  • 7:37 - 7:39
    ว่าสำหรับ x ไม่เท่ากับลบ 3
  • 7:39 - 7:42
    เพราะฟังก์ชันเดิมไม่นิยาม
  • 7:42 - 7:44
    ที่ x เท่ากับลบ 3
  • 7:44 - 7:47
    x เท่ากับลบ 3 ไม่ใช่ส่วนหนึ่งของโดเมน
  • 7:47 - 7:48
    ของฟังก์ชันเดิมของเรา
  • 7:48 - 7:53
    ถ้าเราหัก x บวก 3 ออกจากตัวเศษ
  • 7:53 - 7:54
    และตัวส่วน
  • 7:54 - 7:55
    เราต้องจำมันไว้
  • 7:55 - 7:57
    ถ้าเราใส่ค่านี่ตรงนี้
  • 7:57 - 7:58
    อันนี้จะไม่ใช่ฟังก์ชันเดิม
  • 7:58 - 8:00
    เพราะอันนี้ถ้าไม่กำหนดตัวกำกับไว้
  • 8:00 - 8:03
    สำหรับ x เท่ากับลบ 3
  • 8:03 - 8:04
    แต่เราอยากได้ฟังก์ชันเดียวกัน
  • 8:04 - 8:07
    คุณจะได้จุดที่ไม่ต่อนื่อง
  • 8:07 - 8:08
    ตรงนี้
  • 8:08 - 8:11
    และตอนนี้ เราก็คิดถึงเส้นกำกับแนวตั้งได้
  • 8:11 - 8:13
    ตอนนี้เส้นกำกับแนวตั้งจะเป็นจุด
  • 8:13 - 8:15
    ที่ทำให้ตัวส่วนเท่ากับ 0
  • 8:15 - 8:17
    แต่ไม่ทำให้ตัวเศษเท่ากับ 0
  • 8:17 - 8:20
    x เท่ากับลบ 3 ทำให้ทั้งคู่เท่ากับ 0
  • 8:20 - 8:23
    เส้นกำกับแนวตั้งของเรา ผมจะใช้สีเขียว
  • 8:23 - 8:25
    เปลี่ยนเป็นสีฟ้า
  • 8:25 - 8:33
    เส้นกำกับแนวตั้งจะเท่ากับ
  • 8:33 - 8:37
    ที่ x เท่ากับบวก 3
  • 8:37 - 8:39
    นั่นคือสิ่งที่ทำให้ตัวส่วนเท่ากับ 0
  • 8:39 - 8:42
    แต่ไม่ใช่ตัวเศษ ขอผมเขียนนะ
  • 8:42 - 8:46
    เส้นกำกับแนวตั้งคือ x เท่ากับ 3
  • 8:46 - 8:50
    เมื่อใช้ข้อมูลสองอย่างนี้
  • 8:50 - 8:51
    หรือสิ่งที่เราเพิ่งหาไป
  • 8:51 - 8:55
    คุณเริ่มพยายามวาดภาพกราฟคร่าวๆ
  • 8:55 - 8:57
    อันนี้แค่ตัวมันเองยังไม่พอ
  • 8:57 - 8:59
    คุณอาจต้องพลอตจุดอีกสองสามจุด
  • 8:59 - 9:02
    แล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้นแถวๆ เส้นกำกับ
  • 9:02 - 9:06
    เมื่อเราเข้าใกล้เส้นกำกับต่างกันสองเส้น
  • 9:06 - 9:08
    แต่ถ้าเราดูที่กราฟ
  • 9:08 - 9:13
    ที่จริง ลองทำเพื่อความสนุก
  • 9:13 - 9:16
    เพื่อให้ภาพสมบูรณ์กัน
  • 9:16 - 9:21
    ฟังก์ชันจะดูเป็นแบบนี้
  • 9:21 - 9:22
    และผมจะไม่วาดตามสัดส่วนนะ
  • 9:22 - 9:25
    นั่นคือ 1 และอันนี้คือ 1/2 ตรงนี้
  • 9:25 - 9:33
    y เท่ากับ 1/2 คือเส้นกำกับแนวนอน
  • 9:33 - 9:35
    y เท่ากับ 1/2
  • 9:35 - 9:36
    และเรามีเส้นกำกับแนวตั้ง
  • 9:36 - 9:38
    x เท่ากับบวก 3
  • 9:39 - 9:42
    เรามี 1, 2 --
  • 9:42 - 9:43
    ผมจะใช้สีฟ้านะ
  • 9:43 - 9:48
    1, 2, 3 เหมือนเดิม ผมไม่ได้วาดตามสัดส่วน
  • 9:48 - 9:50
    หรือ x กับ y ไม่ได้มีสัดส่วนเดียวกัน
  • 9:50 - 9:53
    แต่เรามีเส้นกำกับแนวตั้งอย่างนั้น
  • 9:53 - 9:55
    เมื่อดูแค่นี้ เราไม่รู้ว่า
  • 9:55 - 9:57
    ฟังก์ชันจะมีหน้าตาเป๊ะๆ อย่างไร
  • 9:57 - 9:58
    มันอาจเป็นแบบนี้
  • 9:58 - 10:02
    และบางทีอาจเป็นแบบนี้
  • 10:02 - 10:05
    หรือมันอาจเป็นแบบนี้ก็ได้
  • 10:05 - 10:10
    หรือมันเป็นแบบนั้นกับแบบนั้น
  • 10:10 - 10:14
    หรืออย่างนั้นกับอย่างนั้นก็ได้
  • 10:14 - 10:15
    หวังว่าคุณคงเข้าใจแนวคิดตรงนี้
  • 10:15 - 10:17
    และเวลาหาว่ามันทำอะไร
  • 10:17 - 10:19
    คุณอาจต้องลองหาจุดบางจุด
  • 10:19 - 10:21
    วิธีหนึ่งที่เราอยากบอกให้ชัดเจนคือว่า
  • 10:21 - 10:22
    ฟังก์ชันไม่นิยาม
  • 10:22 - 10:26
    ที่ x เท่ากับลบ 3 ด้วย
  • 10:28 - 10:34
    ขอผมให้ x เท่ากับลบ 3 ตรงนี้
  • 10:34 - 10:38
    1, 2, 3 ฟังก์ชันจึงอาจเป็น --
  • 10:38 - 10:39
    ย้ำอีกครั้ง ผมยังไม่ได้ลองหาจุด
  • 10:39 - 10:41
    มันอาจเป็นแบบนี้
  • 10:41 - 10:45
    มันอาจเป็นกราฟสักอันที่เราไม่ได้นิยาม
  • 10:45 - 10:48
    ที่ลบ 3
  • 10:48 - 10:50
    แล้วมันไปแบบนี้
  • 10:50 - 10:52
    และบางทีมันอาจทำอะไรแบบนั้น
  • 10:52 - 10:59
    บางทีมันอาจทำอะไรแบบนั้น
  • 10:59 - 11:01
    มันไม่นิยามที่ลบ 3
  • 11:01 - 11:03
    และนี่ก็คือเส้นกำกับตรงนี้
  • 11:03 - 11:04
    เราจึงใกล้ขึ้นเรื่อยๆ
  • 11:04 - 11:06
    และมันไปยังค่าหนึ่งอย่างนั้น
  • 11:06 - 11:07
    หรือมันไปแบบนั้น
  • 11:07 - 11:09
    ย้ำอีกครั้ง เวลาตัดสินว่าอันไหนเป็นอันไหน
  • 11:09 - 11:12
    คุณต้องพยายามหาค่าหลายๆ ค่า
  • 11:12 - 11:14
    ผมแนะนำให้คุณลองหาค่าด้วยตัวเอง
  • 11:14 - 11:15
    หลังจากวิดีโอนี้
  • 11:15 - 11:17
    แล้วลองหาว่ากราฟจริงๆ
  • 11:17 - 11:19
    ของฟังก์ชันนี้เป็นอย่างไร
Title:
Finding horizontal and vertical asymptotes
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
11:22

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.