Finding horizontal and vertical asymptotes

Имаме f(х), равно на

(3х^2 - 18х - 81) върху (6х^2 - 54).

В това видео искам

да намеря уравненията на хоризонталните

и вертикалните асимптоти

и те окуражавам да спреш видеото

и да опиташ да решиш това самостоятелно,

преди аз да опитам да го реша.

Приемам, че се опита.

Нека помислим за всяко от тях.

Нека първо помислим за хоризонталната асимптота,

да видим дали има поне една.

Хоризонталната асимптота е тази права,

хоризонталната права, която f(х) доближава,

когато абсолютната стойност на х

доближава безкрайност.

Или можеш да кажеш какво доближава f(х),

когато х доближава безкрайност,

и какво доближава f(х),

когато х доближава минус безкрайност.

Има два начина да мислиш за това.

Нека препиша израза за f(х)

ето тук.

Това е 3х^ - 18х - 81,

всичко това върху (6х^2 - 54).

Има два начина да мислиш за това.

Първо, можеш да кажеш,

че когато абсолютната стойност на х

става по-голяма и по-голяма, и по-голяма,

членовете от най-голяма степен в числителя

и знаменателя ще доминират.

Кои са членовете от най-висока степен?

В числителя имаш 3х^2,

а в знаменателя имаш 6х^2.

Когато абсолютната стойност на х

доближава плюс безкрайност,

тези два члена ще доминират.

f(х) ще стане приблизително

3х^2 върху 6х^2.

Тези членове ще имат по-малко значение –

очевидно -54 няма да нарасне изобщо,

а -18х ще нарасне много по-бавно

от 3х^2,

членовете от най-висока степен ще доминират.

Ако разгледаме тези членове,

можем да помислим за опростяване по този начин.

f(х) ще се доближи още и още

до 3/6 или 1/2.

Можеш да кажеш, че има хоризонтална асимптота

при у, равно на 1/2.

Друг начин да мислим за това,

ако не ти харесва това

твърдение, че тези два члена доминират,

е, че можем да разделим числителя и знаменателя

на най-високата степен или х, повдигнато на най-високата степен

в числителя и знаменателя.

Членът от най-висока степен е х^2 в числителя.

Нека разделим числителя и знаменателя –

или трябва да кажа, членът от най-висока степен

в числителя и знаменателя е х^2 –

нека разделим и числителя,

и знаменателя на това.

Ако умножиш числителя по 1/х^2

и знаменателя по 1/х^2.

Забележи, че не променяме стойността

на целия израз, просто го умножаваме

по 1, ако приемем, че х не е равно на 0.

Получаваме 2.

В числителя, да видим, 3х^2

делено на х^2, ще е равно на 3

минус 18/х минус 81/х^2,

а после всичко това върху 6x^2

по 1/х^2 – това ще е 6,

и после минус 54/х^2.

Какво ще се случи?

Ако искаш да размишляваш спрямо,

ако искаш да помислиш за границите,

когато нещо доближава безкрайност...

Ако искаш да кажеш границата, когато х

клони към безкрайност...

Какво ще се случи?

Това, това и това ще клонят към 0,

така че ще клониш към 3/6 или 1/2.

Ако кажеш, че това е х клони към минус безкрайност,

това ще е същото нещо.

Това, това и това клонят към 0

и, отново, изразът клони към 1/2.

Това е хоризонталната асимптота.

у = 1/2.

Нека помислим за вертикалните асимптоти.

Нека запиша това тук долу.

Нека превъртя малко надолу.

Вертикална асимптота или може би асимптоти.

Може да има повече от една.

Може да е изкушаващо да кажем:

"Стигаш до вертикална асимптота,

когато знаменателят е равен на 0,

което ще направи този рационален израз неопределен".

И както ще видим, в този случай,

това не е напълно вярно.

Просто да направим знаменателя равен на 0, само по себе си

няма да направи вертикална асимптота.

Определено ще е място,

където функцията не е дефинирана,

но само по себе си не създава вертикална асимптота.

Нека помислим за този знаменател тук,

можем да го разложим.

Нека разложа числителя

и знаменателя.

Можем да преобразуваме това като f(х) е равно на – в числителя

очевидно всеки член се дели на 3,

така че нека изнесем 3 пред скоби.

Това ще е

3 по (x^2 - 6х - 27).

Всичко това върху знаменателя –

в него всеки член се дели на 6.

6(х^2 - 9)

и да видим дали можем да разложим допълнително

числителя и знаменателя.

Това ще е f(х), равно на

3 по, да видим – 2 числа, тяхното произведение е -27,

сборът им е -6.

-9 и 3 изглежда вършат работа.

Можеш да имаш (х - 9) по (х + 3) –

просто разложих числителя – върху знаменателя.

Това тук е разлика на квадрати.

Това ще е (х - 3)(х + 3).

Кога знаменателят е равен на 0?

Знаменателят е равен на 0,

когато х е равно на 3

или когато х е равно на -3.

Съветвам те да спреш видеото за момент.

Помисли дали и двете от тези са вертикални асимптоти?

Може да осъзнаеш, че числителят

също е равен на 0, когато х е равно на -3.

Можем да опростим малко това,

а после става ясно

къде са вертикалните ни асимптоти.

Можем да кажем, че f(х) –

можем да разделим числителя

и знаменателя на (х + 3)

и просто трябва да...

ако искаме функцията да е идентична,

трябва да направим така, че самата функция

да не е определена, когато х е равно на -3.

Това определено ни накара да делим на 0.

Трябва да помним това,

но така ще опростим израза.

Тази същата функция ще е,

ако разделим числителя и знаменателя на (х + 3),

тя ще е 3(х - 9)

върху 6(х - 3)

за х, различно от -3.

Забележи, че това е идентично задаване

на първоначалната ни функция

и трябва да поставя това ограничени тук –

за х, различно от -3,

понеже първоначалната ни функция не е дефинирана

за х, равно на -3.

х = -3 не е част от дефиниционното множество

за първоначалната ни функция.

Ако съкратим (х + 3) от числителя и знаменателя,

трябва да помним това.

Ако просто поставим това ето тук,

това няма да е същата функция,

понеже тя без ограничението *е* дефинирана за х=-3,

но искаме да имаме точно същата функция.

Ще имаш точка на прекъсване ето тук

и сега можем да помислим за вертикалните асимптоти.

Вертикални асимптоти ще са точка,

която прави знаменателя, равен на 0,

но не и числителя.

х = -3 прави и двете равни на 0.

Вертикалната ни асимптота –
ще направя това в зелено,

просто за промяна, или синьо.

Вертикалната ни асимптота ще е

при х = 3.

Това прави знаменателя равен на 0,

но не и числителя – нека запиша това.

Вертикалната асимптота е при х = 3.

Като използваш тези данни

или това, което току-що открихме...

Можеш да започнеш с опита да скицираш графиката,

на това само по себе си няма да е достатъчно.

Може да искаш и да поставиш няколко точки,

за да видиш какво се случва около асимптотите,

докато доближаваме двете различни асимптоти,

но ако погледнем графиката...

Нека да направим просто за забавление.

За да допълним картинката.

Графиката на функцията ще изглежда подобно на това –

и не го правя в мащаб.

Това е 1, а това тук е 1/2.

у = 1/2 е хоризонталната асимптота.

у е равно на 1/2

и имаме вертикална асимптота

при х = 3.

Имаме 1, 2...

Ще направя това в синьо.

1, 2, 3, отново – не начертах това в мащаб.

Стойностите на х и у не са в един мащаб,

но имаме ето такава вертикална асимптота.

Просто като гледаме това, не знаем точно

как ще изглежда графиката на функцията.

Може да е ето така

и може да прави нещо подобно

или нещо ето такова.

Или може да прави нещо такова.

Или нещо като това.

Надявам се, че схвана идеята

и за да разбереш какво всъщност прави,

трябва да изпробваш някои точки.

Другото, което трябва да е ясно, е че

функцията не е определена и при х = -3.

Нека направя х = -3 тук.

1, 2, 3, тоест графиката на функцията може да изглежда така

и, отново, не съм изпробвал точките.

Може да изглежда ето така,

при което не е определена при -3

и после да изглежда ето така

и, може би, ето така,

или прави нещо подобно.

Не е зададена при -3

и това тук ще е асимптота,

така че се доближаваме все повече и повече

и може да направи нещо подобно

или да направи нещо такова.

Отново, за да решим кое от тези е всъщност,

трябва да изпробваш няколко стойности.

И те съветвам след това видео

да опиташ да направиш това самостоятелно

и да опиташ да разбереш как изглежда

реалната графика на тази функция.