Luyện tập thêm: giới hạn tại vô cực

Sal phân tích giới hạn tại vô cực của 3 hàm hữu tỷ khác nhau. Anh ta thấy rằng có 3 trường hợp chung cách mà các giới hạn đối xử. Được tạo bởi Sal Khan:

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-continuity/ab-limits-at-infinity/v/limits-with-two-horizontal-asymptotes?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-continuity/ab-limits-at-infinity/v/limits-at-positive-and-negative-infinity?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

AP Giải tích AB trên Khan Academy: Bill Scott sử dụng Khan Academy để dạy môn giải tích AP ở Phillips Academy tại Andover, Massachusetts, và việc giảng dạy đến từ đội ngũ của anh ấy đã hỗ trợ phát triển các bài giảng về giải tích AP của Khan Academy. Phillips Academy là một trong những trường đầu tiên dạy giải tích AP từ gần 60 năm trước.

Về Khan Academy: Khan Academy cung cấp những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập theo từng cá nhân nhằm cho phép người dùng độc lập về thời gian và không gian trong quá trình học tập bên ngoài lớp học. Chúng tôi tự hào mang đến các chương trình dạy về Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Các nhiệm vụ trong phần Toán học hướng dẫn học sinh trình độ Mẫu giáo sử dụng và làm quen với phép toán bằng những công nghệ tiên tiến để tìm ra được những điểm mạnh, và bù vào lỗ hổng kiến thức của các em nhỏ. Chúng tôi cũng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và học viện MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Khan AcademyÕs AP Calculus AB: https://www.youtube.com/channel/UCyoj0ZF4uw8VTFbmlfOVPuw?sub_confirmation=1
Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Hãy làm thêm 1 vài ví dụ về việc tìm giới hạn hàm số

khi x tiệm cận vô cực hay âm vô cực.

Ta có ở đây là 1 hàm số.

9x mũ 7 trừ 17x mũ 6,

cộng 15 căn bậc hai x.

Chia cho 3x mũ 7 cộng 1000x

mũ 5, trừ log 2x.

Điều gì sẽ xảy ra khi x tiệm cận vô cực?

Và bí quyết ở đây, như ta đã làm ở các ví dụ trước,

là nhận ra số hạng nào lớn nhất.

Ví dụ, ở phần tử thức,

trong 3 số hạng này, 9x mũ 7

sẽ tăng nhanh hơn bất kì số hạng nào còn lại.

Vậy cái này sẽ là số hạng lớn nhất ở tử thức.

Và ở phần mẫu số, 3x mũ 7

sẽ tăng nhanh hơn là x mũ 5,

và chắc chắn là nhanh hơn log2x.

Vậy tại vô cực, khi ta tiến gần tới vô cực,

hàm số này sẽ bằng khoảng

9x mũ 7 chia 3x mũ 7.

Và ta có thể nói, đặc biệt là khi,

ta có số ngày càng lớn và càng gần

vô cực, 2 số này sẽ

tiến gần tới nhau hơn.

Ta có thể nói giới hạn này sẽ

tương tự với giới hạn này.

Cái nào sẽ bằng giới hạn

khi x tiệm cận vô cực.

Ta có thể triệt tiêu x mũ 7.

Vậy nó sẽ bằng 9/3, hay là 3.

Nó chỉ bằng 3 mà thôi.

Đó là giới hạn của ta, khi x tiệm cận vô cực,

Bây giờ hãy làm tương tự với hàm số này.

Ta sẽ tới âm vô cực.

Áp dụng quy tắc tương tự.

Số hạng nào lớn nhất khi giá trị tuyệt dối x

trở nên ngày càng lớn hơn?

Khi x ngày càng lớn.

Ở phần tử thức, nó là 3x mũ 3.

Ở phần mẫu số nó là 6x mũ 4.

Vậy cái này sẽ tương tự như giới hạn của

3x mũ 3 chia 6x mũ 4, khi x tiệm cận

âm vô cực.

Và nếu ta rút gọn nó,

nó sẽ bằng giới hạn x tiệm cận

âm vô cực của 1/2x.

Và cái này sẽ bằng gì?

Nếu phần mẫu số, mặc dù giá trị âm

của nó ngày càng lớn,

nó thành 1 chia cho 1 số âm rất lớn.

Mà điều đó sẽ cho ta tiến gần tới 0 hơn.

Khi 1/x, x tiệm cận âm vô cực,

sẽ cho ta tiến gần tới 0.

Vậy đường tiệm cận ngang ở đây,

trong trường hợp này, là y= 0.

Và mình khuyến khích bạn thử vẽ đồ thị, hoặc thử với các con số

để tự kiểm chứng nó.

Bí quyết ở đây là rút gọn bài toán

bằng cách nghĩ về số hạng

mà sẽ lớn hơn các số còn lại.

Bây giờ hãy nghĩ về bài toán này.

Giới hạn của hàm này là gì

khi x tiệm cận vô cực?

Một lần nữa, số hạng nào lớn nhất ở đây?

Ở phần tử thức, nó là 4x mũ 4, và ở mẫu số

là 250x mũ 3.

Đây là những số hạng có số mũ lớn nhất.

Vậy nó sẽ tương tự với giới hạn,

khi x tiệm cận vô cực, của 4x mũ 4

chia 250x mũ 3.

Là điều sẽ tương tự với

Xem nào, cái này

sẽ tương tự với-- ta có thể chia 200

và, thôi mình cứ để nó như vậy thôi.

Nó sẽ là giới hạn của 4 chia 250.

x mũ 4 chia x mũ 3 là x.

Nhân x, khi x tiệm cận vô cực.

Hay ta có thể nói cái này sẽ là 4/250 nhân

giới hạn, khi x tiệm cận vô cực x.

Bây giờ cái này là gì?

Giới hạn của x khi x tiệm cận vô cực là gì?

Nó sẽ chỉ tiếp tục tăng mãi mãi.

Vậy cái ở ngay đây sẽ chỉ là

sẽ chỉ là vô cực.

Vô cực nhân 1 vài con số ở đây

sẽ là vô cực.

Vậy giới hạn x tiệm cận vô cực của tất cả cái này,

Nó không bị giới hạn.

Nó là vô cực.

Và cách nhìn rõ nhất là,

nhận ra từ ban đầu tử thức

có 1 số hạng mũ 4.

Trong khi số hạng mũ cao nhất ở mẫu số

chỉ là số hạng mũ 3.

Vậy tử thức sẽ tăng nhanh hơn

là mẫu số.

Nếu tử thức tăng nhanh hơn

là mẫu số, bạn sẽ

tiệm cận vô cực trong trường hợp này.

Nếu tử thức tăng chậm hơn mẫu số,

Nếu mẫu số tăng nhanh hơn tử thức,

như trường hợp này, thì bạn đang tiệm cận 0.

Hi vọng các bạn thấy bài học này bổ ích.