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Vamos fazer mais alguns exemplos sobre encontrar
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o limite de funções enquanto "x" tende
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ao infinito ou ao infinito negativo
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Então eu tenho aqui essa função maluca,
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[lendo a função]
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Então o que vai acontecer quando "x"
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tender ao infinito?
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E a chave aqui, como nós vimos
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em outros exemplos, é identificar
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quais termos vão dominar.
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Por exemplo, no numerador,
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destes três termos,
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O nove elevado a sétima potência vai crescer muito mais rápido
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do que qualquer destes outros termos,
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então este é o termo dominante
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no numerador, e no denominador,
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três elevado à sétima potência vai crescer muito mais rapido do que um termo elevado à quinta potência,
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e definitivamente muito mais rápido
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do que um termo logarítmico de base dois.
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Então no infinito, conforme chegamos mais perto do infinito,
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está função será aproximadamente igual a
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nove "x" elevado a sétima potência sobre três "x" elevado à sétima potência, então podemos dizer,
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especialmente quando ficamos maiores e maiores,
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enquanto nós chegamos perto e mais perto do infinito,
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essas duas coisas vão ficar
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cada vez mais perto uma da outra,
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nós podemos dizer que esse limite será
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a mesma coisa que este limite,
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que será igual a
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o limite enquanto "x" tende ao infinito
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bom, nós podemos apenas cancelar os "x" elevados à sétima potência,
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então vai ser nove terços, ou apenas três,
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que será apenas três.
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Então aquele é o nosso limite enquanto "x" tende ao infinito
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de toda essa maluquice.
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Agora vamos fazer o mesmo com essa função
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aqui. Mais uma vez uma função maluca,
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nós estamos para infinito negativo,
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mas os mesmos princípios se aplicam.
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Qual termo dominar como valor absoluto
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de "x" fica maior, maior e maior,
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enquanto "x" fica maior em magnitude
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Bom no numerador, é o termo três "x" elevado à terceira potência
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e no denominador é o termo seis "x" elevado à quarta potência,
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então isso será a mesma coisa que
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o limite de três elevado à terceira potência sobre seis elevado à quarta potência
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enquanto "x" tende ao infinito negativo.
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E se nós simplificarmos isso, isso será igual ao
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limite enquanto "x" tende ao infinito negativo
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de um sobre dois "x".
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E o que isso vai ser?
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Bem, se o denominador, apesar de
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estar se tornando um número negativo maior e maior
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isso se torna um sobre
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um número negativo muito, muito grande.
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o que vai nos levar até muito perto
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de zero, assim como um sobre "x" enquanto
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"x" tende infinito negativo nos leva para perto do zero.
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Então isso bem aqui,
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a assíntota horizontal nesse caso
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é "y" e é igual a zero.
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e eu te encorajo a desenhar o gráfico disso,
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ou tentar com números para verificar por você mesmo.
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A chave para a solução aqui é
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simplificar o problema apenas pensando
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sobre quais termos vão
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dominar o resto.
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Agora vamos pensar sobre este.
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Qual é o limite dessa função maluca,
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quando "x" tende ao infinito?
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Bem, mais uma vez, quais serão os termos dominantes?
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No numerador é quatro "x" elevado à quarta potência,
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no denominador é 250 "x" elevado à terceira potência,
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esses são os termos de grau mais alto
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Então isso vai ser a mesma coisa
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que o limite quando "x" tende a zero
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de quatro "x" à quarta potência sobre 250 "x" à terceira potência
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que será a mesma coisa que
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o limite - vamos ver -
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quatro - bom eu poderia apenas - isso vai
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ser a mesma coisa que -
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bem nós podemos dividir 250 - bem
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Eu vou deixar assim.
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Será o limite de quatro sobre 250
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"x" à quarta dividido por "x" ao cubo é apenas "x" -
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vezes "x", quando "x" tende ao infinito
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Ou nós poderíamos dizer que será quatro sobre 250
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vezes o limite de "x" quando "x" tende ao infinito
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Agora o que é isso?
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Qual é o limite de "x" quando "x" tende ao infinito?
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Bom isso vai apenas continuar crescendo para sempre,
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então isso vai ser -
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isso bem aqui vai ser
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infinito, e infinito vezes um número
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bem aqui vai ser infinito.
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Então o limite quando "x" tende ao infinito
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de tudo isso é na verdade ilimitada
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É infinito.
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E um jeito meio óbvio
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de ver aquilo bem do princípio
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é perceber que o numerador
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tem um termo de quarto grau,
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enquanto o termo de maior grau no denominador
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é apenas um termo de terceiro grau.
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Então o numerador vai crescer
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bem mais rápido do que o denominador.
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Então se o numerador está crescendo bem mais rápido
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do que o denominador,
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você vai tender ao infinito nesse caso.
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Se o numerador está crescendo bem mais devagar
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do que o denominador,
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se o denominador estiver crescendo bem mais rápido
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que o numerador, como nesse caso,
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você está, então, tendendo a zero.
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Espero que isso seja um pouco útil para você.
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