Кола: радіус, діаметр та довжина кола

Коло - це, мабуть, найбільш
базова фігура в усьому світі,

яку можна знайти і у формі орбіт

планет, і у колесі,

і на молекулярному рівні.

Коло з'являється знову

і знову.

Тож, мабуть, варто розуміти деякі

властивості кола.

Перше, що люди відкрили у колі,

а його можна, наприклад,
побачити у Місяці,

але вперше вони сказали:
а які властивості

притаманні усім колам?

Перше, що можна сказати, це те, що коло

це множина точок, розміщених на
рівній відстані

від центру кола.

Всі ці точки по краю
однаково віддалені

від центру, що
міститься ось тут.

Тож перше питання, котре
може виникнути -

яка це відстань, на яку
рівновіддалені ці точки

від центру?

Ось тут.

Ми називаємо її радіусом кола.

Це просто відстань від центру до краю.

Якщо цей радіус рівний 3-м сантиметрам,
то цей радіус

теж рівний 3-м сантиметрам.

І цей радіус рівний 3-м сантиметрам.

Він не зміниться.

За означенням, коло - це всі точки,
розміщені на рівній відстані від

центральної точки.

Ця відстань називається радіусом.

Наступна цікава особливість кола,

це питання - наскільки широким є коло?

Наскільки воно широке
між найдальшими точками?

Якщо розділити його по
найвіддаленіших точках,

якою буде відстань?

І не обов'язково саме
ця відстань, можна

розділяти за найвіддаленішими точками
в цьому місці.

Я просто не розділятиму коло
ось так,

бо це не будуть
найвіддаленіші точки.

А найвіддаленіших точок є

досить багато.

Ми щойно розглядали радіус,
і бачимо, що найвіддаленіші точки

сполучені лінією, що
проходить через центр кола.

По суті, це два радіуси.

Один радіус ось тут,

а тут - другий.

Ми називаємо цю відстань
між найвіддаленішими точками кола

діаметром.

Тож це - діаметр кола.

Він має легкий зв'язок з радіусом.

Діаметр дорівнює двом радіусам.

Тепер, найцікавіша річ, яка може

зацікавити у колі - це те,
наскільки довгим є коло?

Якщо взяти лінійку, і виміряти коло

приблизно так, якою буде відстань?

Ми називаємо це довжиною кола.

Тож ми знаємо, як зв'язані
діаметр та радіус, але як,

наприклад, довжина зв'язана з діаметром.

Якщо незручно зв'язувати з діаметром,

можна зв'язати з радіусом.

Знаєте, тисячі років тому
люди знімали мірки

і вимірювали довжину кола

та радіус.

Їхні прилади були, скажімо,
не надто точні,

і при вимірюванні довжини кола

отримували результат, близький до 3.

А при вимірюванні радіусу такого кола

чи діаметру цього кола, вони казали, що

діаметр близький до 1.

Вони казали, що - запишемо це.

Нас цікавить зв'язок, відношення між -

запишу це так.

Відношення між довжиною кола та діаметром.

Тож, наприклад, ми мали коло - ось таке

і при першому не досить якісному

вимірюванні цього кола, отримували

результат, близький до 3 метрів,

якщо міряти навколо.

А коли виміряти діаметр кола,

він рівний приблизно 1.

Гаразд, це цікаво.

Може, відношення між довжиною

і діаметром рівне 3.

Тож може довжина завжди становить

три діаметри.

Це справджується для цього кола,

але виміряємо інші кола.

Наприклад, намалюю менше.

Наприклад, для цього кола вимірювання

показало, що довжина становить
6 сантиметрів,

приблизно - тоді була не дуже
точна лінійка.

А діаметр можна виміряти

приблизно у 2 сантиметри.

Тож знову, відношення довжини до діаметра

становить близько 3.

Що ж, це акуратна властивість кола.

Може, відношення довжини до діаметра

є фіксованим для будь-якого кола.

Тож, вирішили досліджувати і далі.

Взяли кращу лінійку.

І з точнішою лінійкою, вони виміряли, що

діаметр точно рівний 1.

Тож тепер вони точно знали діаметр.

Але вимірявши довжину, стало зрозуміло, що

її величина ближча до 3,1

І тут так само.

Відношення ближче до 3,1.

Міряли все краще і краще,

і стало зрозуміло, що отримуємо
певне число,

і чим краще вимірювали, тим більше

наближались до 3,14159.

Тож продовжували додавати цифри, і

вони не повторювались.

Дивне і захоплююче метафізичне число

поступово з'являлось.

Тож, це число є настільки
фундаментальним для нашого

світу, бо ж коло є фундаментальним
для нашого світу,

а це число є у кожному колі.

Відношення довжини кола до діаметру було

цим магічним числом, якому дали ім'я.

Його назвали Пі, або можна просто
писати латиною чи

грецьку літеру пі - ось так.

Вона представляє це число, яке, ймовірно,

є найчарівнішим у цілому світі.

Воно, передусім, вказує на відношення
довжини кола до

діаметру, але ви дізнаєтесь,
на шляху нашої

математичної подорожі, що воно
з'являється всюди.

Це одна із фундаментальних
основ нашого світу,

яка змушує повірити у
його впорядкованість.

Але як же це використати для

базової математики?

Ми знаємо, ну або я повідомлю, що
відношення довжини

до діаметру - і коли я кажу відношення,
насправді я маю на увазі,

що якщо поділити довжину кола на

діаметр, отримаємо Пі.

Пі - це ось це число.

Можна записати 3,14159 і продовжувати
далі й далі,

але це буде марнуванням зусиль,
і далі з ним

буде складно працювати, тож люди
вирішили записувати

грецьку літеру Пі.

Тож, як можна це використати?

Можна помножити обидві сторони на діаметр

і тоді можна сказати, що довжина рівна

добутку Пі на діаметр.

Або, оскільки діаметр
дорівнює двом радіусам,

можна сказати, що довжина кола рівна
Пі помножити

на 2 радіуси.

Або, у тому вигляді, в якому ви
найімовірніше побачите запис,

дорівнює 2 Пі r.

Подивимось, чи можна це застосувати
до розв'язування наших задач.

Наприклад, є коло, ось таке, і ми знаємо

його радіус - радіус дорівнює 3.

Тож 3, запишемо, що радіус дорівнює 3.

Нехай 3 метри -
додамо одиниці вимірювання.

Яка довжина цього кола?

Довжина дорівнює 2 Пі помножити на радіус.

Тож вона дорівнює 2 на Пі на радіус,

що дорівнює 3-м метрам,
що дає 6 метрів на Пі

або 6 Пі метрів.

6 Пі метрів.

А тепер можна помножити.

Пам'ятайте, Пі - це просто число.

Пі дорівнює 3,14159 і так далі і далі.

Тож якщо я помножу 6 на це число,
може, я отримаю 18

і щось там після коми.

Якщо маєте калькулятор,
він зараз стане у нагоді

але для простоти можна залишати число

разом із Пі.

Не знаю точно, скільки це буде, якщо

помножити 6 на 3,14159, я не знаю
скільки ми отримаємо - ближче до 19, чи

до 18, мабуть приблизно 18 з чимось

після коми.

У мене немає калькулятора під рукою.

Замість того, щоб писати це число,

можна записати тут 6 Пі.

Власне, думаю, що
навряд-чи ми перевищимо

межу 19.

Але задамо ще одне питання.

Який діаметр цього кола?

Ну, якщо радіус 3, діаметр
удвічі більший.

Тож 3 множимо на 2, або 3 додати 3, що

дорівнює 6 метрів.

Отже, довжина 6 Пі метрів,
діаметр 6 метрів,

радіус 3 метри.

Спробуємо ще дещо.

Наприклад, маємо інше коло.

Намалюємо його ось тут.

Відомо, що довжина цього кола дорівнює

10 метрів - це довжина цього кола.

Якщо виміряти його навколо лінійкою.

Якщо потрібно з'ясувати,
який діаметр кола?

Ми знаємо, що діаметр на Пі, тобто
Пі, помножене на

діаметр дорівнює довжині кола,

котра становить 10 метрів.

Для розв'язання потрібно
поділити обидві частини

рівності на Пі.

Діаметр тоді рівний 10 метрів
поділити на Пі

або 10 на Пі метрів.

І це просто число.

Якщо маєте калькулятор,
можете поділити 10

на 3,14159, і отримаєте щось
близьке до 3 з чимось

після коми метрів.

В голові я такого не порахую.

Але це просто число.

Тож для простоти ми можемо його
так і залишити.

Тепер, який тут радіус?

Що ж, радіус - це половина діаметру.

Вся ця відстань ось тут -
це 10 на Пі метрів.

Якщо взяти 1/2, адже нам потрібен
радіус, ми просто

помножимо це число на 1/2.

Тож маємо 1/2 на 10 на Пі,
що дорівнює 1/2 на 10

або просто поділимо чисельник

та знаменник на 2.

Отримуємо тут 5,
тож 5 поділити на Пі.

Тож радіус ось тут
становить 5 поділити на Пі.

Нічого особливого тут немає.

Я думаю, що більшість людей
заплутує те, що вони не розуміють, що

Пі - це число.

Пі - це просто 3,14159 і далі
йдуть наступні цифри.

Про Пі написані тисячі книг,

хоча я не знаю чи є тисячі,

я трохи перебільшую, але можна
писати книги про це число.

Це всього-лиш число.

Це особливе число, і якщо записувати його

так, як ми пишемо числа, можна

просто помножити.

Але здебільшого зручніше залишити

запис із Пі.

На цьому завершимо.

У наступному відео дізнаємось,
як знайти площу кола.

Переклад на українську: Оксана Пасічник, рев'ювер: Оксана Кузьменко, благодійний фонд "Magneticone.org"