Circles: Radius, Diameter and Circumference

આપણી દુનિયામાં વર્તુળ તે દાવા સાથે સૌથી મૂળભૂત આકાર છે

તમે ગ્રહોના ઉપગ્રહોનો આકાર જુઓ,

કે તમે પૈડા તરફ જુઓ, કે તમે જુઓ

પરમાણું જેટલી વસ્તુઓ.

આ વર્તુળ તમને બધેજ વારંવાર

દેખાયા જ કરશે.

તેથી જ કદાચ અપણા માટે એ યોગ્ય રહેશે કે આપણે સમજીએ કેટલાંક

વર્તુળના ગુણધર્મો .

તો સૌથી પહેલા જયારે લોકોએ વર્તુળની શોધ કરી,

અને તમે વર્તુળ જોવા માંગતા હો તો ચંદ્ર તરફ જોઈ શકો છો,પણ

પહેલી સારી બાબત શોધી, કોઈ પણ વર્તુળના

ગુણધર્મો શું છે?

તો સૌથી પહેલા તેઓ એમ કહેવા માંગી શકે કે,વર્તુળ તે

એ બધાજ બિંદુઓ છે જે સમાન અંતરે

તેના કેન્દ્રથી છે.

આ ધાર પરના બધા જ બિંદુઓ સમાન અંતરે

બરાબર ત્યાં પેલા કેન્દ્રથી છે.

તેથી કોઈ સૌથી પહેલા એવું જાણવા માંગશે કે

તે અંતર કેટલું છે,તે સમાન અંતર જેનાથી બધુજ

કેન્દ્રથી છે?

બરાબર અહી.

આપણે તેને વર્તુળની ત્રિજ્યા કહીએ છીએ.

તે માત્ર કેન્દ્રથી ધાર સુધીનું અંતર છે.

જો તે ત્રિજ્યા ૩ સેન્ટીમીટર હોય,તો આ ત્રિજ્યા

૩ સેન્ટીમીટર થશે.

અને આ ત્રિજ્યા પણ ૩ સેન્ટીમીટર થશે.

તે ક્યારે અલગ નહિ હોય.

વ્યાખ્યા પ્રમાણે,વર્તુળ તે બધાજ બિંદુઓ છે જે કેન્દ્ર થી

સમાન અંતરે છે.

અને તે અંતરને ત્રિજ્યા કહેવાય.

અને હવે સૌથી રસપ્રદ વાત, જે લોકો

કદાચ કહે, વર્તુળ કેટલું જાડું છે?

તે તેના સૌથી દુરના બિંદુ સાથે કેટલું પહોળું છે?

અથવા તો તમે જો તેને તેના સૌથી દુરના બિંદુથી કાપવા માંગતા હોવ,તો

ત્યાં તે અંતર કેટલું થશે?

અને તે માત્ર ત્યાંજ નહિ,હું તેને

તેટલું જ સરળતાથી તેના સૌથી દુરના બિંદુ પાસેથી બરાબર ત્યાંથી પણ કાપી શકું.

હું માત્ર તેને આના જેવી કોઈ જગ્યાએથી ના પણ કાપું

કારણ કે તે તેના સૌથી દુરના બિંદુ સાથે ન પણ હોય.

ઘણી બધી જગ્યાઓ થી હું તેને કાપી શકું

તેના સૌથી દુરના બિંદુ સાથે.

સારું, આપણે અત્યારે જ ત્રિજ્યા વિષે જાણ્યું અને તે સૌથી દુરના બિંદુ વિષે પણ જાણ્યું

જે કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને આગળ વધે છે.

તેથી તે અંતે તો બે ત્રીજ્યાઓ જ છે.

તમે ત્યાં એક ત્રિજ્યા જોઈ અને બીજી

તમારી પાસે ત્રિજ્યા ત્યાં છે.

આપણે આ સૌથી દુરના બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરને ઓળખીએ છીએ,

વર્તુળ નો વ્યાસ.

એટલે કે તે વર્તુળનો વ્યાસ છે.

તેને વર્તુળને ત્રિજ્યા સાથે સરળ સંબંધ છે.

વ્યાસ એટલે કે બે વખત ત્રિજ્યા બરાબર થાય.

હવે પછીની સૌથી રસપ્રદ વાત જે તમે

વર્તુળ વિષે વિચારતા હશો કે તે વર્તુળની આસપાસ કેટલું માપ ધરવતો હશે?

મતલબ કે જો તમારી પાસે તમારી માપ પટ્ટી હોય અને તમે

વર્તુળની આસપાસ તે રીતે માપવાના હો તો તે અંતર કેટલું થાય?

આપણે તેને વર્તુળના પરિઘ તરીકે ઓળખીએ છીએ.

હવે, આપણે જાણીએ છીએ કે વ્યાસ અને ત્રિજ્યા વચ્ચે શું સંબંધ છે, પણ

પરિઘ અને વ્યાસ કઈ રીતે સંકળાયેલા છે.

અને જો તમને વ્યાસ સાથે બરાબર ફાવતું ન હોય તો આપણે

તે ત્રિજ્યા સાથે કઈ રીતે સંકળાયેલ છે તે શોધવું પણ બહુ સરળ છે.

સારું, ઘણા હજારો વર્ષો પહેલા લોકો તેમની પટ્ટી લેતા

અને પરિઘ અને વ્યાસ શોધવા તેનો

ઉપયોગ કરતા.

અને આપણે વિચારીએ કે તેમની પટ્ટી નું માપ સારું ન હતું,

ધારો કે તેઓ આ વર્તુળનો પરિઘ માપ્યું હોત,

અને તેમને સાચો પણ મળત, તે લગભગ ૩ જેટલો દેખાય છે.

અને પછી તેઓ વર્તુળની ત્રિજ્યા આ રીતે અહિયાંથી માપતા.

અથવા તો તે વર્તુળનો વ્યાસ,અને પછી તેઓ એમ કહેત અરે, વ્યાસ

તે લગભગ ૧ જેટલું છે.

તે તેઓ એવું એમ કહેત-- પહેલા મને લખી લેવા દો.

તો આપણે અહીં ગુણોત્તર વિષે વિચારીએ--હું

તેને આ રીતે લખી લઉં.

પરિઘ અને વ્યાસ નો ગુણોત્તર.

ધારો કે કોઈ પાસે અહીં એક વર્તુળ છે--

ધારો કે તેમની પાસે આ વર્તુળ હોત,અને પહેલી વાર

તે અયોગ્ય માપપટ્ટી દ્વારા,તેમણે વર્તુળ ની આસપાસ માપ્યું અને

તેમણે કહ્યું અરે, તે લગભગ ૩મીટર જેટલું છે

જયારે હું તેની આસપાસ જોઉં ત્યારે.

અને જયારે હું વર્તુળનો વ્યાસ માપું તો ,

તે લગભગ ૧ જેટલું છે.

હા તે રસપ્રદ છે.

શક્ય છે કે પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર

૩ હોય.

તેથી કદાચ એવું પણ બની શકે કે પરિઘ હંમેશા વ્યાસથી

૩ ગણો હોય.

તે માત્ર આ વર્તુળ માટે હતું, પણ ધારો કે

તેમણે કોઈ બીજું વર્તુળ અહીં માપ્યું.

તે આવું થશે- મેં તે વધારે નાનું દોર્યું.

ધારો કે આ વર્તુળની આસપાસ તેમણે માપ્યું અને

તેમણે થયું કે પરિઘ ૬ સેન્ટીમીટર છે,

અંદાજે તો પછી આપણી પાસે માપપટ્ટી ખોટી છે

પછી તેમણે શોધ્યું કે વ્યાસ

અંદાજે ૨ સેન્ટીમીટર છે.

અને ફરીથી પરિઘ અને વ્યાસ નો ગુણોત્તર

અંદાજે ૩ થયો.

સારું, આ વર્તુળનો એક પ્રમાણસરનો ગુણધર્મ છે.

શક્ય છે કે પરિઘ અને વ્યાસ નો ગુણોત્તર

બધા જ વર્તુળ માટે સ્થિત હોય.

તેથી તેમણે વિચાર્યું કે ચાલો અનુ વધારે અધ્યયન કરીએ.

તેથી તેમણે સારી માપપટ્ટી લીધી.

જયારે તેમણે સારી માપપટ્ટી લીધી તો તેમણે શોધ્યું કે,અરે

મારો વ્યાસ ચોક્કસ ૧ છે.

તેમણે કહ્યું કે મારો વ્યાસ ચોક્કસ ૧ છે, પણ જયારે મેં

મારો પરિઘ થોડો માપ્યો તો મને સમજાયું કે

તે ૩.૧ થી નજીક છે.

અને અહીં પણ તે જ વસ્તુ થશે.

તેમણે જોયું કે આ ગુણોત્તર ૩.૧ થી નજીક છે.

પછી તેમણે તે વધારે અને વધારે સારી રીતે માપ્યા કર્યું,

અને પછી તેમણે સમજાયું કે તેઓને દર વખતે આ સંખ્યા મળે છે,

તેમણે હજી વધારે અને વધારે સારી રીતે માપ્યા કર્યું,અને તેઓને

૩.૧૪૧૫૯ સંખ્યા મળી.

અને જો અંક ઉમેરતા જઈએ તો તે

ક્યારેય પુનરાવર્તિત નહિ થાય.

તે એક વિચિત્ર વાસ્તવિક સંખ્યા હતી.

તે આગળ વધ્ય કરતી હતી.

તેથી આ સંખ્યા આપણી દુનિયામાં આટલી મૂળભૂત છે,

કારણ કે વર્તુળ આપણી દુનિયામાં ઘણું મૂળભૂત છે,

અને તે બધા વર્તુળ માટે લાગુ પડે છે.

પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર આ હતો,

એક પ્રકારની જાદુઈ સંખ્યા, તેમણે તેને નામ આપ્યું.

તેમણે તેને પાઇ કહી,અથવા તો તમે માત્ર તેને લેટીન અથવા

ગ્રીક અક્ષર pi વડે ---આ રીતે દર્શાવી શકો.

જે તે સંખ્યાને દર્શાવે છે જે દલીલપૂર્વક

દુનિયાની ખુબ જ વિચિત્ર સંખ્યા છે.

તે પહેલા તો પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર દર્શાવે છે,

પણ તમે જેમ તમારી ગણિત શીખવાની મુસાફરીમાં આગળ વધશો તેમ

શીખશો કે તે બધે જ આવે છે.

તે દુનિયાની મૂળભૂત વસ્તુઓ માંથી એક મૂળભૂત છે જે

તમને વિચારતા કરી દેશે કે તેનું ખુબ મહત્વ છે.

પણ વાંધો નહિ, આપણે વિચારીએ કે આપણે તેને અપના ગણિતમાં

કઈ રીતે ઉપયોગ કરી શકીએ?

તેથી આપણે જાણીએ છીએ કે હું તમને કહું,કે

પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર--જયારે હું ગુણોત્તર કહું,

તેનો મતલબ એમ થાય કે તમે પરીઘને

વ્યાસ વડે ભાગો તો તમને પાઇ મળશે.

પાઇ તે માત્ર આ જ સંખ્યા છે.

હું ૩.૧૪૧૫૯ લખી શકું અને આગળ ને આગળ વધ્યા પણ કરી શકું,

પણ તે જગ્યાનો બગાડ થશે અને તે અઘરું

પણ થશે, તેથી લોકો આ ગ્રીક શબ્દ ને માત્ર

pi લખે છે.

હવે આપણે તેને કઈ રીતે સાંકળી શકીએ?

આપણે તેની બંને બાજુને વ્યાસ વડે ગુણી શકીએ અને આપણે

કહી શકીએ કે પરિઘ તે પાઇ

વખત વ્યાસ બરાબર છે.

અથવા તો વ્યાસ તે ૨ વખત ત્રિજ્યા બરાબર હોવાથી, આપણે

કહી શકીએ કે પરિઘ તે ૨ વખત ત્રિજ્યા વખત

પાઇ બરાબર થાય.

અથવા તો તમે તેને આ રીતે પણ જોઈ શકો કે

તે ૨ પાઇ r બરાબર છે.

તો ચાલો આપણે તેને કેટલાંક પ્રશ્નોમેં ઉપયોગ કરવાનો પ્રયત્ન કરીએ.

તો ધારો કે મારી પાસે બરાબર તેના જેવું એક વર્તુળ છે,

અને હું તમને કહીશ કે તેને ત્રિજ્યા છે--અને બરાબર અહીએ તેની ત્રિજ્યા ૩ છે.

તેથી ૩ --હું અહી તેને લખી લઉં--તેથી ત્રિજ્યા તે ૩ છે.

તે ૩ મીટર હોઈ શકે--અહી કોઈ એકમ વડે દર્શાવું તો.

વર્તુળ નો પરિઘ શું થશે?

પરિઘ તે ૨ વખત પાઇ વખત ત્રિજ્યા બરાબર થાય.

તેથી તે ૨ વખત પાઇ વખત ત્રિજ્યા થશે,

૨ વખત ૩ મીટર જે ૬ મીટર થશે.હવે ૬ મીટર વખત પાઇ

અથવા ૬ પાઇ મીટર્સ.

૬ પાઇ મીટર્સ.

હવે હું તેનો ગુણાકાર કરી શકું.

યાદ રાખો કે પાઇ તે માત્ર એક સંખ્યા છે.

પાઇ તે ૩.૧૪૧૫૯ અને આગળ ને આગળ અંકો.

તેથી હું તેને ૬ વડે ગુણીશ, કદાચ મને ૧૮ પોઈન્ટ

કઈક કઈક કઈક મળશે.

જો તમારી પાસે તમારું કેલ્ક્યુલેટર હોય તો તમે કરી શકો, પણ

સરળતા માટે લોકો તે સંખ્યાને પાઇ તરીકે

જ રહેવા દે છે.

હવે મને નથી ખબર કે તે સંખ્યાને ૬ વડે ગુણવાથી શું મળશે,

મને નથી ખબર તમને કદાચ ૧૮ કે ૧૯ ની નજીક કઈક મળે,

તે અંદાજે ૧૮ પોઈન્ટ કઈક

કઈક કઈક થાય.

મારી પાસે અત્યારે મારું કેલ્ક્યુલેટર નથી.

પણ તે સંખ્યા લખવાને બદલે, તમે માત્ર

૬ પાઇ લખી શકો છો.

હું માનું છું કે તે તદ્દન

૧૯ ની સીમારેખાને પાર નહિ કરે.

ચાલો હવે બીજો પ્રશ્ન જોઈએ.

વર્તુળ નો વ્યાસ શું છે?

સારું, જો ત્રિજ્યા ૩ હોય તો વ્યાસ તે તેનાથી બમણો થાય.

તેથી તે ૩ વાર ૨ અથવા ૩ વત્તા ૩ થાય, જે

૬ મીટર થશે.

તેથી પરિઘ ૬ પાઇ મીટર છે, અને વ્યાસ ૬ મીટર છે,

ત્રિજ્યા ૩ મીટર છે.

ચાલો હવે બીજી વસ્તુ જોઈએ.

ધારો કે મારી પાસે બીજું વર્તુળ છે.

ધારો કે મારી પાસે બીજું વર્તુળ અહીં છે.

અને હું તમને કહેત કે પરિઘ

૧૦ મીટર છે-- તે વર્તુળ નો પરિઘ છે.

જો તમે તેની આસપાસ માપપટ્ટી મુકવાના હોત અને

કોઈ તમને પૂછે કે વર્તુળનો વ્યાસ શું છે?

સારું, આપણે જાણીએ છીએ કે વ્યાસ વખત પાઇ,આપણે જાણીએ છીએ કે પાઇ વખત

વ્યાસ તે પરિઘ જેટલો છે;

જે ૧૦ મીટર છે.

તેથી અને ઉકેલવા માટે આપણે માત્ર બંને બાજુને

પાઇ વડે ભાગીશું.

વ્યાસ પાઇ ના અંશમાં ૧૦ બરાબર થશે અથવા

પાઇ અંશમાં ૧૦ મીટર્સ થશે.

અને તેજ જવાબ છે.

જો તમારી પાસે તમારી પાસે તમારું કેલ્ક્યુલેટર હોય તો તમે ૧૦ ને

૩.૧૪૧૫૯ વડે ભાગી શકો અને તમને ૩ પોઈન્ટ

કઈક કઈક કઈક મીટર્સ મળે.

હું તે જાતે ગણી ના શકું.

પણ આ જ ઉકેલ છે.

પણ સરળતા માટે આપણે તેમ નું તેમ જ રહેવા દઈએ છીએ.

હવે ત્રિજ્યા શું થશે?

સારું,ત્રિજ્યા તે ૧/૨ વ્યાસ બરાબર થાય.

તેથી આ આખું અંતર અહીં ૧૦ ના છેદ માં પાઇ બરાબર થાય.

જો આપણે તેના ૧/૨ લઈએ, આપણે તેની ત્રિજ્યા શોધીએ,

તો આપણે તેને ૧/૨ વડે ગુણીશું.

તો તમારી પાસે ૧/૨ વખત ૧૦ ના છેદ માં પાઇ છે, જે ૧/૨ વખત

૧૦ થાય, અથવા તમે અંશ અને છેદ ને

૨ વડે ભાગી પણ શકો.

તમને ૫ ત્યાં મળશે,

તેથી તમારી પાસે ૫ના છેદ માં પાઇ છે.

આમાં કઈ ધારવા જેવું નથી.

હું માનું છું કે લોકો જેનાથી વધારે મૂંઝાઈ છે તે એ છે

કે તેઓ પાઇને સંખ્યા તરીકે નથી સમજતા.

પાઇ તે માત્ર ૩.૧૪૧૫૯ છે અને તે આગળ અને આગળ વધ્યા જ કરે છે.

પાઇ વિષે તો હજારો પુસ્તકો લખાયા છે, તેથી

મતલબ કે ---હું જાણતો નથી કે હજારો પુસ્તકો છે,હું

વધારી ને કહું છે.પણ તમે આ સંખ્યા પર પુસ્તક લખી શકો છો.

પણ તે માત્ર એક સંખ્યા છે.

તે એક ખાસ સંખ્યા છે અને તમે જો તેને તમારી રીતે

જેમ બીજી સંખ્યા લખો છો તેમ લખવા માંગતા હો તો,

તેના વડે ગુણી શકો છો.

પણ ઘણી વખત લોકો સમજે છે કે તેને પાઇની

જેમ જ રાખવું સારું છે.

વાંધો નહિ, હવે આપણે અહી પૂરું કરીશું.

હવે પછીના વિડીઓ માં આપણે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધીશું.