Kružnice: Poloměr, průměr a obvod

Vysvětlení vztahů mezi průměrem, poloměrem a obvodem kruhu/kružnice. Číslo pí.

Kruh je asi nejzákladnějším útvarem
našeho vesmíru,

když se podíváme na oběžné dráhy planet,

kola

anebo věci v molekulární úrovni.

Kruh se jednoduše stále a stále

všude objevuje.

Takže se nám určitě hodí
rozumět některým jeho

základním vlastnostem.

Lidi přirozeně zajímaly vlastnosti kruhu,

stačí, abyste se podívali na Měsíc,
abyste uviděli kruh,

a určitě někdy nastal moment,
kdy si poprvé někdo řekl:

Jaké jsou vlastnosti kružnice?

První věc, které si mohli všimnout,
je, že v kružnici jsou vlastně

všechny body stejně daleko

od jednoho bodu.

Všechny tyto body tady
jsou stejně vzdálené

od tohoto středu.

První věc, na kterou se
můžete zeptat, je,

co je to ta stejná vzdálenost

od středu?

Ta přesně tady?

Nazývá se poloměr.

Je to vzdálenost od středu po okraj.

Když je tento poloměr 3 centimetry,
tak i tento poloměr

bude 3 centimetry.

I tento poloměr bude 3 centimetry.

Nikde nebude jiný.

Kružnice je podle definice
množina bodů, které mají stejnou

vzdálenost od středu.

A ta vzdálenost je právě poloměr.

Druhá zajímavá věc,
kterou mohli lidé chtít vědět, je,

jak je kruh "tlustý"?

Kde je nejširší?

Anebo kdybychom ho
přestřihli na nejširším místě,

jaká by to byla délka?

A dokonce to nemusí být jen tady.

Můžeme kruh přestřihnout
stejně v nejširším místě i tady.

Jen ho nesmíme přestřihnout
někde jako například zde,

neboť to by nebylo
přes nejširší místo.

Je mnoho možností,
jak kruh přestřihnout skrz jeho

nejširší místo.

Už jsme viděli poloměr a teď
vidíme, že nejširší část kruhu

prochází přes střed kruhu.

Tudíž jsou to vlastně dva poloměry.

Jeden poloměr máme tady a druhý poloměr

máme tady.

Tuto vzdálenost nazýváme

průměr kruhu.

Takže toto je průměr kruhu.

A má jednoduchý vztah s poloměrem.

Průměr se rovná 2 krát poloměr.

Další nejzajímavější věc,
která vás může zajímat, je,

jak je to daleko okolo celého kruhu.

Kdybyste si vzali metr

a odměřili byste okraj kruhu,
jaká by to byla délka?

Nazývá se obvod.

Už víme, jaký je vztah
mezi poloměrem a průměrem,

ale jaký je vztah mezi
obvodem a například průměrem?

A jestliže se vám nelíbí průměr,

vždy se dá najít vztah s poloměrem.

Tisíce let zpět lidé vytáhli své metry

a měřili obvody
a poloměry kružnic.

A řekněme, že jejich metry
nebyly zrovna nejpřesnější.

Řekněme, že když změřili obvod,

vycházel jim přibližně na 3.

Potom změřili poloměr kružnice,
vlastně průměr,

a řekli si, že průměr je

přibližně 1.

Potom řekli...
Napíšu si to.

Zajímá nás poměr...

Napíšu to jinak.

Poměr obvodu kružnice
ku průměru kružnice.

Takže řekněme, že někdo měl
takovoutu kružnice.

Přesně takovou stejnou jako ta naše.

Změřili obvod kružnice

a řekli si, že je to přibližně

3 metry.

A když změřili průměr kružnice,

bylo to přibližně 1.

Dobře, to je zajímavé.

Možná je poměr obvodu

ku průměru opravdu 3.

Možná je obvod kružnice
vždy přesně 3 krát tolik

jako její průměr.

To platilo jen pro tuto kružnici,
ale pojďme říci,

že to zkusili pro jinou.

Trošku jinou,
nakreslil jsem ji menší.

Řekněme, že když
změřili obvod kružnice,

naměřili přibližně 6 centimetrů,

nepřesně, měli nepřesné pravítko.

Potom změřili průměr a vyšlo jim

2 centimetry.

A zase se jim potvrdilo,
že poměr obvodu ku průměru

je přibližně 3.

To je celkem pěkná vlastnost.

Možná je poměr obvodu ku
průměru ve všech kružnicích

vždy stejný,
v jakékoli kružnici.

Ale pokračovali ve výzkumu.

Našli si přesnější měřící nástroje.

A když je měli,
měřili ještě jednou a zjistili,

že průměr je určitě 1.

Řekli si, že průměr je
určitě přesně 1,

ale když změřili obvod,

přiblížil se skoro ke 3,1.

A stejně to bylo i s poměrem.

Zjistili, že poměr je blíže k 3,1.

Ale stále to měřili dále, lépe a lépe.

A jak postupně měřili,

vycházelo jim stále
přesnější a přesnější číslo.

Číslo 3,14159

a stále jim jen rostl počet číslic,

které se nikdy neopakovaly.

Bylo to zvláštní a fascinující číslo,

které se potom vyskytovalo i jinde.

Toto číslo je jedno
z nejzákladnějších čísel našeho vesmíru,

protože kružnice je nejzákladnějším
útvarem našeho vesmíru,

a objevovalo se pro každou kružnici.

Poměrem obvodu ku průměru
je toto magické číslo,

které lidé i pojmenovali.

Pojmenovali ho pí,
můžete takhle v latince

anebo řeckým písmenem pí,
takto.

Reprezentuje to číslo,
které je, hádám,

nejfascinujícím číslem ve vesmíru.

Nejdříve se vidíme jako poměr
obvodu kružnice ku jejímu poloměru,

no jak se nadále naučíte
v matematice,

se ještě mnohokrát ukáže.

Právě takové číslo ukazuje,

že je ve vesmíru nějaký pořádek.

Ale jak ho můžeme použít

v základní matematice?

Víme, anebo vám to vlastně říkám,
že poměr

obvodu ku průměru...
Když říkám poměr,

doslova myslím,
že když vydělíte obvod průměrem,

dostanete číslo pí.

Pi je jednoduše toto číslo.

Mohl bych napsat 3,14159
a jít dále a dále,

ale to by byla ztráta času
a bylo by těžké

s ním pracovat,
proto se jednoduše píše jako

řecké písmeno pí.

A jak to použijeme?

Můžeme obě strany rovnice
vynásobit průměrem

a vidíme, že obvod se rovná

pí krát průměr.

A když víme, že průměr
je dvakrát poloměr,

můžeme říci, že obvod se rovná

pí krát 2 krát poloměr.

Forma, v jaké to budete často vidět, je

2 pí r.

Tak se pojďme podívat,
jak to bude fungovat.

Řekněme, že máme kružnici,

a já vám řeknu,
že má poloměr 3.

Nejdříve to napíšu.
Poloměr rovná se 3.

Může to být například 3 metry,
abych napsal nějaké jednotky.

Jaký je obvod naší kružnice?

Obvod je 2 krát pí krát poloměr.

Takže to bude 2 krát pí krát poloměr,

krát 3 metry,
což se rovná

6 metrů krát pí

nebo 6 pí metrů.

A i to mohu stále násobit.

Je třeba si pamatovat,
že pí je jen číslo.

Pí je 3,14159 a mnoho dalších cifer.

A když s ním vynásobím 6,
dostanu 18 celých

něco něco něco.

Jestli máte kalkulačku,
můžete to vynásobit,

ale aby to bylo jednoduché,
lidé to raději

nechají ve formě pí.

Nevím přesně, kolik to bude,
když vynásobíte 6 krát 3,14159,

nevím, jestli to bude blízko 19

nebo 18, asi je to přibližně
18 celých něco něco něco.

Nemám u sebe kalkulačku.

Namísto takového čísla píšeme raději

pouze 6 pí.

Nezdá se mi, že by to bylo

více než 19.

Teď se zeptám na jednu věc.

Co je průměr naší kružnice?

No, když je poloměr 3,
tak průměr bude dvakrát tolik.

Takže to bude 3 krát 2
nebo 3 plus 3,

tedy 6 metrů.

Takže obvod je 6 pí metrů,
průměr je 6 metrů

a poloměr jsou 3 metry.

Zkusme to teď opačně.

Řekněme, že máme jinou kružnici.

Takovouto kružnici.

A řekněme, že jeho obvod je 10 metrů.

Tady je náš obvod.

Takže když známe obvod,

jak zjistíme průměr?

Víme, že průměr krát pí,
pí krát průměr,

se rovná obvodu.

Se rovná 10 metrů.

Takže stačí podělit obě strany rovnice

číslem pí.

Tedy vidíme, že průměr je

10 metrů děleno pí
nebo 10 děleno pí metrů.

A to je také pouze číslo.

Pokud máte kalkulačku,
můžete vydělit 10 děleno 3,14159,

Dostanete 3 celých něco něco něco metrů.

Z hlavy se to nedá,

ale je to jen číslo,

které pro jednoduchost necháváme tak.

A co je náš poloměr?

Poloměr je polovina průměru.

Vlastně celá tato vzdálenost
je 10 děleno pí metrů.

Když chceme pouze polovinu toho,

je třeba to vynásobit 1/2.

Máme 1/2 krát 10/pí,
což je to samé jako 1/2 krát 10,

Můžeme vydělit jmenovatele
a čitatele dvojkou.

Zůstane nám 5/pí.

Takže poloměr je 5/pí.

Nic extra speciálního.

Je jen třeba si uvědomit,

že pí je pouze číslo.

Je to jen 3,14159
s hromadou desetinných míst.

Existují tisíce knih o čísle pí.

Dobře, možná trochu přeháním,

ale knih by se ale dalo psát mnoho.

Je to jen číslo.

A pokud ho chcete psát
způsobem, na který jste zvyklí,

vždy se to dá vynásobit.

Většina lidí ale upřednostňuje
psát výsledky se symbolem pí.

Tady to už asi necháme takhle.

V následujícím videu budeme
počítat plochu kruhu.