-
Vi skal bestemme definisjonmengden og verdimengden for funksjonen f av x er lik 3x i andre pluss 6x minus 2.
-
Funksjonens definisjonmengde er den mengden av tall, man må komme inni funksjonen.
-
I den her funksjonen kan vi sette alle reelle tall inn på x's plass i funksjonen,
-
så det står 3 ganger det reelle tallet i andre pluss 6 ganger det reelle tallet minus 2.
-
Definisjonmengden er altså alle de verdiene, man kan sette inn på x's plass i funksjonen.
-
I det her tilfelle er definisjonmengden som sagt alle reelle tall.
-
Definisjonmengden er alle reelle tall.
-
Man kan så spørre seg selv, om ikke alle tall er reelle?
-
Det finnes faktisk takk, som ikke er reelle.
-
Kanskje man har hørt, at det finnes imaginære tall og komplekse tall, men det vil vi ikke komme inn på nå.
-
De fleste tall, vi kjenner, er reelle.
-
Kun de komplekse tallene tilhører ikke gruppen av de reelle tallene.
-
Vi kan altså ta ethvert reelt tall og sette det inn på x's plass i funksjonen.
-
Nå kommer vi til verdimengden.
-
Verdimengden er den mengden av tall, som kommer ut av funksjonen, når man går igjennom alle de lovlige verdien av x.
-
Hvis y er lik f av x på graden,
-
er y det samme som verdimengden.
-
Verdimengden er altså alle de verdiene, y kan være.
-
For å lære begrepene litt bedre, kan vi tegne grafen for funksjonen.
-
Hvis man vet litt om andregradsfunksjoner,
-
så vet man også, at grafen blir en parabel.
-
Grafen vil komme til å se noenlunde ut som dette.
-
Parabelen for den her funksjonen har benene vendt oppover, fordi koeffisienten foran x i andre er positiv.
-
Andre parabler ser ut som den til høyre.
-
Når parabelen ser ut som den til venstre, benene vender oppover, vil den ikke gå lenger ned enn dens toppunkt.
-
Når benene vender nedover vil den ikke gå lenger opp en dens toppunkt.
-
La oss se om vi kan tegne grafen for den her funksjonen og se,
-
om vi kan finne ut av litt mer om grafens toppunkt.
-
Det er metoder til å regne grafens presise toppunkt ut,
-
men la oss prøve å tegne grafen.
-
Vi prøver noen forskjellige x- og y-verdier.
-
Det er andre måter å beregne toppunktet på.
-
Minus b over 2a er formelen for beregninger av toppunktet,
-
hvor tallene fra andregradsfunksjonen innsettes.
-
La oss prøve å ta noen x-verdier og se, hvilke y-verdier vi så får.
-
La oss prøve med minus 2.
-
Når x er minus 2, er f av x 3 ganger minus 2 i andre, hvilket er 4, pluss 6 ganger minus 2, hvilket er minus 12 og minus 2 til slitt.
-
Det er altså 12 minus 12 minus 2, som er minus 2.
-
Hva skjer så, når x er minus 1?
-
I det tilfelle har vi 3 ganger minus 1 i andre, som er 1, pluss 6 ganger minus 1, som er minus 6 og til slutt minus 2.
-
3 minus 6 er minus 3, minus 2 er minus 5.
-
Det er faktisk grafens toppunkt.
-
Det vet vi, fordi formelen for toppunktet er minus b over 2a.
-
Minus v er konstanten her, så det er minus 6.
-
Det skal så divideres med 2 ganger konstanten her borte.
-
2 ganger 3.
-
Det er lik minus 1.
-
Det er faktisk toppunktet, men la oss fortsette med noen flere x-verdier her borte allikevel.
-
Hva skjer, når x er 0?
-
Når x er 0, gir de første ledd i funksjonen 0, så har vi minus 2 igjen.
-
Nå prøver vi så med x-verdien 1.
-
Det er her, vi kan se, at minus 1 er toppunktet.
-
Man begynner å kunne se symmetrien her.
-
Hvis x blir 1 større enn toppunktet, er f av x lik minus 2,
-
og hvis vi går 1 x-verdi ned i forhold til toppunktet, er f av x også minus 2.
-
La oss fortsette.
-
Vi kan gjøre et punkt til her borte.
-
Vi prøver med 1 som x-verdi.
-
Når x er 1, har vi 3 ganger 1 i andre.
-
1 i andre er 1, så vi har 3 pluss 6 ganger 1.
-
6 ganger 1 er 6, og så har vi 3 pluss 6 minus 2, som er 7.
-
Nå har vi nok punkter til å kunne tegne grafen.
-
Vi starter med å tegne y-aksen.
-
Her har vi x-aksen.
-
Her er x lik minus 2.
-
Her er minus 1.
-
Her er 0.
-
Her er x lik 1.
-
På y-aksen går våres verdier fra minus 5 til 7.
-
La oss si at det her er minus 1.
-
Minus 2, minus 3, minus 4 og minus 5.
-
Så skal vi opp til pluss 7.
-
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
-
Vi skriver at y er lik med f av x.
-
y er altså alle de verdiene, som kommer ut av funksjonen.
-
La oss plotte våres punkter.
-
Først har vi minus 2 komma minus 2.
-
Når x er minus 2, er y også minus 2.
-
Det er et sted her.
-
Det er punktet minus 2 komma minus 2.
-
Så har vi punktet i rosa.
-
Det er minus 1 komma minus 5.
-
Når x er minus 1, er y minus 5.
-
Vi har allerede nevnt, at det er grafens toppunkt.
-
Det er punktet minus 1 komma minus 5.
-
Nå har vi punktet 0 komma minus 2.
-
Når x er 0, er y minus 2.
-
f av x er minus 2, eller f av 0 er minus 2.
-
Det er punktet 0 komma minus 2.
-
Til slutt har vi punktet 1 komma 7.
-
Når x er 1, er y 7.
-
f av 1 er altså 7.
-
Det er punktet 1komma 7.
-
Det gir oss en ide om, hvordan parabelen vil se ut.
-
Vi prøver å tegne den.
-
Den vil se noenlunde ut som dette.
-
Parabelen fortsette i den her retningen og fortsetter i den her retningen.
-
På grafen kan man se symmetrien rundt toppunktet.
-
Hvis man tegner en loddrett linje her, kan man se, at de to sidene av parabelen er et speilbilde av hverandre.
-
Vi kan se, at benene vender oppover på den her parabelen.
-
Når benene vender oppover, er toppunktet parabelens minimum.
-
Det vil si den laveste y-verdien.
-
Alt det her gjør vi for å finne ut av, hva verdimengden for den her andregradsfunksjonen er.
-
Vi kan se, at funksjonens laveste y-verdi er minus 5.
-
Når x-verdiene vokser til høyre for toppunktet, og når x-verdien faller til venstre for toppunktet, vokser parabelen oppover.
-
f av x vil altså aldri bli lavere enn minus 5, men kan til gjengjeld vokse i det uendelige, når x blir større eller mindre enn minus 1.
-
Vi har allerede sagt, at definisjonmengden er alle reelle tall.
-
Nå kan vi skrive, hva verdimengden er.
-
De mulige y-verdiene er alle reelle tall større enn eller lik med minus 5.
-
Ethvert reelt tall større enn eller lik med minus 5 kan altså være en y-verdi.
