Domain and Range of a Function Given a Formula

다음의 함수 f(x) 의 정의역과 치역을 구하라

f(x) = 3x^2 + 6x - 2 입니다

함수의 정의역을 구하라는 말은

함수가 정의될 수 있는 x 의 범위를 의미합니다

임의의 실수를 제곱하고 3을 곱한 후에

그 실수의 6배 한 값을 더하고 2를 빼도 실수입니다

모든 실수에 관해서는 이 함수가 정의가 됩니다

그래서 함수의 정의역,
이 함수가 정의되는 구간은

모든 실수라고 할 수 있습니다

따라서 정의역은 모든 실수입니다

그럼 누군가가 물을 수도 있습니다
모든 수가 실수 아닌가요?

여러분이 알 수 도 있고 모를 수도 있는데
실수가 아닌 수들에는

처음 접하면 약간 희한한 수들인

허수와 복소수가 있습니다

지금은 그 수들을 다루지 않겠습니다

여러분들이 알고 있는 대부분의 수들은

실수의 어떤 부분집합일 것입니다

이 수는 복소수를 제외한 모든 수입니다

그래서 아무런 실수를
이 함수에 대입합시다

그 실수를 제곱해서 3을 곱한 후에
6배한 수를 더하고 2를 뺍시다

그럼 치역은 우리가

지금껏 해왔던 것을 토대로 생각해보면

치역이란 함숫값이 될 수 있는 값들이므로

y = f(x) 그래프에서 모든 x 에 대해

나오는 y 값들이 치역이 됩니다

조금 더 알아보기 쉽게

이 함수에 대한 그래프를 그려보겠습니다

만약 당신이 이차 함수에 대해 잘 알고 있다면

이 함수는 이차 함수이고요

이차 함수가 포물선이라는 것을 알고 있을 것입니다

그래서 모양이 이렇게 나오겠죠

이 함수의 경우에는 아래로 볼록인 형태인데

위로 볼록인 형태일 수도 있습니다

만약 포물선이 아래로 볼록인 모양으로 나온다면

이 꼭짓점의 값보다 작은 값을 가질 수 없습니다

위로 볼록인 포물선에는
극값보다 큰 값을 가질 수 없습니다

이 함수를 꼭짓점도 포함시켜 그려봅시다

함수의 꼭짓점을 구하는 데에는 많은 방법이 있습니다

꼭짓점을 어떻게 구하는지 알아봅시다

꼭짓점의 x-y 좌표를 구해볼게요

꼭짓점을 구하는 다른 방법도 많지만

- b / 2a 로 구할 것입니다

이차식을 통해 바로 증명됩니다

제곱식을 만들어 증명할 수 있습니다

일단 x 에 임의의 값을 대입해봅시다

저번 시간에 했던 활동과 동일합니다

x = -2 를 대입하면 무슨 값이 나올까요?

f(-2) = 3 * (-2)^2 + 6 * (-2) - 2

f(-2) = 12 - 12 - 2

f(-2) = - 2 가 됩니다

그럼 x = -1 일 때에는 무슨 값이 나올까요?

f(-1) = 3 * (-1)^2 + 6 * (-1) - 2

f(-1) = 3 - 6 - 2

f(-1) = - 5

사실 이 값이 함수의 최솟값이 됩니다

꼭짓점을 구하는 공식이 - b / 2a 이니까

여기에서 보면

- 6 / (2 * 3) = -1 입니다

그래서 x = -1 에서 꼭짓점이긴 한데
계속 구해봅시다

x = 0 일 때는 어떤 값이 나올까요?

앞에 두 항이 0 이 되므로
f(0) = - 2

x = 1 일 때에는 어떤 값이 나올까요?

이렇게 구한 값들을 통해 f(-1) 이 바로

꼭짓점의 함숫값이라는 것을 알 수 있습니다

꼭짓점보다 x 좌표가 1 커져도 함숫값은 - 2

꼭짓점보다 x 좌표가 1 작아져도 함숫값은 - 2

같은 함숫값이 나오는 것을 볼 수 있습니다

계속 해봅시다

한 점만 더 해봅시다

x = 1 일 때

f(1) = 3 * 1^2 + 6 * 1 - 2

f(1) = 3 + 6 - 2

f(1) = 7 이 나옵니다

이제 충분히

그래프의 개형을 그릴 수 있습니다

이 함수의 그래프를 말입니다

이런 모양으로 나오겠죠

최선을 다해 그릴게요

이 점은 x = -2 인 점입니다

축 전체를 그려보겠습니다

각각 x = -1 이고

x = 0, x = 1 일 때의 점들입니다

그래프에 그려야 할 y 값들은

-5에서 7이니까

이 점들을 각각 -1, -2, -3, -4, -5 이라 합시다

이 점을 -5 라고 합시다

양의 y 좌표는 7 까지 표시합시다

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

y 축에서 계속 갈 수 있습니다

7 보다 큰 값도 계속 그릴 수 있겠지요?

y = f(x) 의 그래프에서 말입니다

오른쪽 그림처럼 말이죠

이 값들을 그려 넣어 봅시다

(-2, -2) 인 점과

x = -2 일 때 y = -2 입니다

(-2, -2) 는 다음과 같습니다

맞죠?

자, 이제 이 분홍색을 표시해 봅시다

x = -1 일 때 f(x) = -5 입니다

(-1, -5) 입니다

이 점은 꼭짓점 입니다

잠시 후에 그래프의 개형이 대칭인 것을 볼 수 있습니다

이 점이 (-1, -5) 입니다

(0, -2) 는

x = 0 일 때 y = -2 이므로

이 점이 (0, -2) 입니다

마지막으로, x = 1 일 때 f(x) = 7 인 점을 봅시다

이 점은 (1, 7) 입니다

그래프 개형은 아래로 볼록인 포물선입니다

잘 그려보겠습니다

당신은 이렇게 생각할 것입니다

오른쪽으로 계속 갈 것이고

왼쪽으로도 계속 갈 것입니다

꼭짓점 주변의 그래프 개형을 보면

잘 보시면

축을 중심으로

양쪽이 거울 상으로 대칭인 것을
눈치챌 수 있습니다

양옆으로 접으면 포개집니다
이 점이 꼭짓점입니다

아래로 볼록인 포물선에서는 꼭짓점을 구하는 방법은

공식에 대입하는 것 이외에도
이런 식으로도 구할 수 있습니다

아래로 볼록 포물선일 경우

꼭짓점이 최솟값이 됩니다

이 값이 이 포물선의 최솟값이 됩니다

원래 질문으로 돌아와서

y 의 값들의 집합, 이 함수의 치역은

그래프에서 볼 수 있듯이 -5 미만의 함숫값은 없습니다

-5 이 꼭짓점이기 때문이죠

꼭짓점에서 값이 증가하거나 감소하면

함숫값은 최솟값보다 커집니다

그래서 이 함수는 절대로

f(x) 값은 절대로 -5 보다 작아질 수 없습니다

이 함수가 정의되는 정의역에서는

x 가 꼭짓점을 기준으로 무한대로 커진다고 해도

x 가 음의 무한대로 작아진다고 해도 불가능합니다

그래서 이 함수의 정의역은 모든 실수이고

가능한 y 값들의 집합인 치역은

-5 이상의 실수가 됩니다

y 값은 -5 이상의 실수를 가질 수 있습니다

-5 보다 작은 경우는 제외하고 말이죠