-
Určete definiční obor
a obor hodnot funkce
-
f(x) se rovná
3 krát 'x na druhou' plus 6x minus 2.
-
Definičním oborem funkce je množina
všech platných vstupních hodnot,
-
neboli všechny povolené
hodnoty 'x' pro tuto funkci.
-
Můžu vzít libovolné reálné číslo,
-
umocnit to číslo, vynásobit 3,
přičíst jeho šestinásobek a odečíst 2.
-
Což je v podstatě libovolné číslo,
pokud jsme v oboru reálných čísel.
-
Definičním oborem,
tedy množinou vstupních hodnot,
-
pro které je tato funkce definována,
-
je celá množina reálných čísel.
-
Definčním oborem jsou
všechna reálná čísla.
-
No a pokud si říkáte:
„Nejsou přece všechna čísla reálná?“
-
Možná víte, nebo nevíte,
že existuje číselný obor,
-
který na první pohled
vypadá trochu divně.
-
Imaginární čísla,
tedy obor komplexních čísel.
-
Do toho se teď nebudu pouštět.
-
Většina běžných čísel, která znáte,
patří do množiny reálných čísel.
-
Jsou to skoro všechna čísla
kromě komplexních.
-
Vezměte libovolné reálné číslo
a použijte ho zde.
-
Můžete ho umocnit, vynásobit 3,
přičíst jeho šestinásobek a odečíst 2.
-
Naproti tomu obor hodnot,
jak o něm uvažujeme v této sérii videí,
-
obor hodnot je množina všech
možných výstupů této funkce.
-
Pokud si představíme graf
předpisu 'y' se rovná f(x),
-
jsou to všechny možné hodnoty 'y'.
-
Pro lepší představu se pokusím
nakreslit graf této funkce.
-
Znáte-li už kvadratické funkce,
přesně tím tato funkce je, je kvadratická,
-
možná už víte, že její tvar je parabola.
-
Takže ten tvar může vypadat
třeba takto,
-
což je případ této funkce,
která je konvexní.
-
Ale jiné paraboly mohou takový tvar.
-
Všimněte si, že když má parabola
tento tvar,
-
nikdy nenabývá hodnot nižších
než její vrchol.
-
Naopak když je konkávní,
nenabývá hodnot nad vrcholem.
-
Zkusme ji tedy načrtnout
a odhadnout polohu jejího vrcholu.
-
Existují postupy
pro přesný výpočet vrcholu,
-
ale zkusme se nad touto
úlohou nejprve zamyslet.
-
Vyzkouším tedy několik hodnot 'x' a 'y'.
-
Jsou i jiné způsoby
jak přímo vypočítat vrchol.
-
Lze to pomocí předpisu
-b lomeno (2 krát a).
-
Ten plyne přímo z kvadratické rovnice,
kterou získámeme doplněním na čtverec.
-
Zkusíme tedy několik hodnot 'x'
a podíváme se na výsledek f(x).
-
Vezmeme stejné hodnoty jako
v předchozích dvou videích.
-
Jaký bude výsledek,
pokud 'x' je rovno -2?
-
f(x) je 3 krát '-2 na druhou', což je 4,
plus 6 krát -2, což je -12, minus 2.
-
Takže to je 12 minus 12 minus 2.
-
To se rovná -2.
-
A jaký bude výsledek,
pokud 'x' je rovno -1?
-
To bude 3 krát '-1 na druhou',
což je 1, minus…
-
vlastně bych měl říct plus 6 krát -1,
-
což je minus 6 a pak minus 2.
-
Takže to je 3 minus 6, což je -3,
minus 2 se rovná -5
-
a to už je ten vrchol.
-
Vzpomeňte si, že předpis pro vrchol
je -b lomeno (2 krát a).
-
Takže -b.
-
To je koeficient tady toho výrazu.
-
To je -6 lomeno 2 krát 3.
-
2 krát 3, to celé se rovná -1.
-
Takže máme vrchol,
ale pojďme dokončit tabulku.
-
Jaký bude výsledek, pokud 'x' je rovno 0?
-
Tyto první dva výrazy se rovnají 0
a zbývá jen -2.
-
Když je 'x' rovno 1.
-
Tady si můžete všimnout, že je to vrchol.
Okolní hodnoty jsou symetrické.
-
Vpravo od vrcholu je f(x) rovno -2.
-
Snížíme-li hodnotu 'x' vrcholu o 1,
čili vlevo od vrcholu,
-
pak f(x) se opět rovná -2.
-
Ale pokračujme dále.
-
Zkusíme přidat ještě jeden bod.
-
Takže můžeme zkusit 'x' se rovná 1.
-
Když je 'x' rovno 1,
máme 3 krát '1 na druhou', což je 1.
-
Takže 3 krát 1 plus 6 krát 1,
což je 6, minus 2.
-
To je 9 minus 2 a to se rovná 7.
-
A to už je dost bodů na to,
-
abychom mohli přibližně
načrtnout graf funkce.
-
Takže graf bude vypadat asi takto.
-
Pokusím se ho
nakreslit co nejlépe.
-
Tady je 'x' rovno -2.
-
Nakreslím celou osu.
-
Tady je 'x' rovno -1, tady je 'x' rovno…
-
'x' je rovno 0 a tady je 'x' rovno 1.
-
A dále, když 'x' jde od -2 do…
-
Vlastně f(x) jde od -5 do +7,
-
…tak tady máme hodnoty
-1, -2, -3, -4, -5.
-
Tady ta hodnota na ose 'y' je -5.
-
A dále pokračujeme
k hodnotě +7.
-
Jedna, dvě, tři, čtyři, pět,
šest, sedm.
-
Mohl bych pokračovat.
Toto je osa 'y'.
-
A určíme, že 'y' se rovná f(x).
-
A tady to je 1.
-
Takže zaneseme body.
-
Máme bod [-2, -2].
-
Toto je osa 'x'.
-
Když je 'x' rovno -2, 'y' je rovno -2.
-
'y' je -2, takže to je asi tady.
-
Takže to je bod [-2, -2].
-
Dobře?
-
Dále máme tento bod
růžové barvy.
-
Když 'x' je -1, f(x) je -5.
-
Když 'x' je -1, f(x) je -5.
-
Už víme, že je to vrchol.
-
Za chvíli uvidíte symetrii kolem vrcholu.
-
Toto je bod [-1, -5].
-
A dále bod [0, -2].
-
Když 'x' je 0, y je -2.
Neboli f(x) je -2.
-
Nebo také f(0) je -2.
Takže toto je bod [0, -2].
-
A konečně když 'x' je rovno 1, f(1) je 7.
-
Takže to je přímo tady,
to je bod [1, 7].
-
A to nám stačí pro hrubý náčrt
křivky paraboly.
-
Pokusím se ji tedy nakreslit
co nejvěrněji.
-
Takže to bude vypadat zhruba takto.
-
Křivka pokračuje dále
tímto směrem.
-
A tady pokračuje tímto směrem.
-
A teď už je vidět
souměrnost kolem vrcholu.
-
Takže kdybyste tudy vedli přímku,
-
obě strany jsou si vzájemně
zrcadlovým obrazem.
-
Můžete je převrátit,
a tak poznáme, že jde o vrchol.
-
A protože jde o parbolu konvexní,
tak také vidíme…
-
Existují vzorce pro výpočet vrcholu
a je několik způsobů jak jej určit.
-
Ale protože jde o konvexní parabolu,
vrchol je bodem minima.
-
Toto je nejmenší hodnota,
kterou tato parabola nabyde.
-
Zpět k původní otázce.
-
Všechno to děláme,
abychom zjistili obor hodnot,
-
množinu hodnot,
kterých může tato funkce nabývat.
-
Vidíte, že funkce se nemůže dostat
pod hodnotu -5.
-
Klesá až k hodnotě -5 ve svém vrcholu.
-
Ale jak pokračuje vpravo,
kde hodnota 'x' roste,
-
nebo směrem vlevo, kde hodnota 'x' klesá,
křivka paraboly stoupá.
-
Tato parabola, jež je grafem funkce f(x),
nikdy nenabude hodnoty menší než -5.
-
Ale může nabývat všech hodnot vyšších.
-
Může růst do nekonečna,
s tím jak 'x' roste nebo klesá od vrcholu.
-
Už jsme si řekli, že definiční obor
je množina reálných čísel.
-
Obor hodnot, tedy možné hodnoty 'y',
-
jsou všechna reálná čísla
větší nebo rovna -5.
-
Funkce může nabývat hodnoty libovolného
reálného čísla většího nebo rovného -5.
-
Žádného čísla menšího než -5.
