Linear Algebra: Transpose of a Matrix Product

Temos várias matrizes aqui - a matriz A,
que é uma matriz M por N.

Note que ela tem N colunas
e M linhas.

Na verdade vou adicionar uma entrada,
pode vir a ser útil.

É a...

é a J-ésima coluna, então a
M-ésima linha vai ser

A m j. É a entrada ali.

E então eu tenho a matriz B
definida de modo similar

mas ao invés de ser

M por N, B é uma matriz
N por M.

Então essa entrada aqui --

-- só vou, eu acabei

de ver que pode ser útil --

isso vai ser minha
N-ésima linha,

isso vai ser minha
J-ésima coluna.

E então quando eu escrever
as transpostas,

se você ver, a transposta de B

era uma matriz N por M.

Agora a transposta é uma matriz
M por N.

E cada linha vira coluna

igual ao que fiz para A,

a transposta ali,

A era M por N,
a transposta N por M,

e cada linha vira coluna.

Justamente.

Vamos definir duas matrizes novas agora.

Vamos definir a matriz C.

A matriz C.

Vou fazê-la aqui onde --

vou fazê-la aqui --

Eu acho...
que deve ficar bem visível

neste vídeo.

Vamos definir a matriz C como

sendo igual ao produto de A e B.

Então... quais serão
as dimensões de C?

Bom, uma matriz M por N
vezes uma matriz N por M,

as duas tem que ser iguais

até mesmo para o produto
poder ser definido.

Teremos uma matriz M por N.

Então uma matriz M por M.

Agora vamos definir outra matriz,

vamos chamá-la de D.

E é igual a transposta de B,

a transposta de B vezes a transposta de A.

E as dimensões vão ser iguais

porque essa é uma matriz M por N
vezes uma matriz N por M.

Então são iguais.

Que é um requisito para
o produto ser definido

e então as dimensões de B

vão ser M por M.

Vamos explorar mais
sobre como as entradas

de C vão se parecer.

Então vou escrever

a matriz C aqui.

Ela vai ter um monte de entradas.

C um um, C dois dois, C um dois...

tudo até o C um M.

Dado que é uma matriz
M por N,

você imagina que vai ter
um C M M aqui,

você sabe como isso continua.

Mas o que eu estou curioso

é como descobrimos o C geral,
o C I J.

Como descobrimos uma entrada
em particular?

Sabemos que C

é o produto de A e B.

Então para uma entrada
em particular de C...

e já vimos isso antes,

então vamos...

uma entrada em particular de C,

C I J

vai ser,

você pode vê-la como

o produto escalar da I-ésima linha em A

a I-ésima linha em A

com a J-ésima coluna em B

a J-ésima coluna em B.

Simples assim.

E vai ser igual a que?

Vai ser igual a

A I 1,

A I 1 vezes B 1 J,

B 1 J

mais A I 2

A I 2

vezes B 2 J...

e você continua

até obter o último termo,

A I N.

A I N

vezes o último termo aqui, B N J.

B N J.

Justamente.

Agora, a nossa matriz D...

Como vão ser as entradas dela?

D, similarmente, vai se parecer

sabe, vamos ter

D 1 1, D 1 2,

perdão... D 1 2, tudo até

D 1 M, vamos ter D M N...

eu poderia continuar pondo entradas,

mas estou curioso sobre

o termo geral.

Digamos que quero achar

D sub J I

D sub J I

É isso que quero achar.

Então quero achar um jeito geral

para qualquer entrada em particular
de D.

A J-ésima linha e a I-ésima coluna,

que é um pouco diferente

da convenção que normalmente

usamos para essas
letras... mas tudo bem.

A primeira é a linha de D

a segunda é a...
coluna da entrada de D.

Então como descobrimos?

Então D sub J I

vai ser igual a...

D é o produto desses dois.

Então para obter a J-ésima linha

e a I-ésima coluna da entrada

nós tomamos o
produto escalar

da J-ésima linha.

Vamos tomar o produto escalar
da J-ésima linha.

Que é esse aqui.

Com a I-ésima coluna de A,

a I-ésima coluna de A

que é essa aqui.

Então tomamos
o produto escalar disso.

E você talvez note
algo interessante aqui.

Isso é equivalente a

isso aqui.

E isso aqui

é equivalente a isso,

porque usamos a transposta.

Mas vamos de fato

escrever.

Então quanto que vai valer

o produto escalar?

Vai ser igual a

B I J,

vou escrever desse jeito,

vai ser B I J vezes

A

I

um.

Ou poderíamos escrever como

A I um vezes B um J.

E vai ser mais B dois J vezes

A I dois, que é

a mesma coisa que A I dois vezes B dois J.

A I dois vezes B dois J.

E você continua

até obter B N J vezes A I N.

Ou poderíamos escrever como

A I N vezes B N J.

B N J.

Agora, veja isso.

Esses dois são equivalentes.

Eles são completamente
equivalentes.

O D sub J I é equivalente a C sub I J.

Vou escrever isso.

Então D... ou eu poderia
escrever C sub I J

é equivalente a

D sub J I.

Ou outro jeito de falar isso é

qualquer coisa numa linha...

todas as entradas
de uma linha I

coluna J

em C, são linhas J e colunas I
em D.

E isso é válido para
todas as entradas.

Todas as entradas.

Foi o mais geral possível.

O que significa?

Essa é a definição de uma transposta.

Agora vamos pra C.

C transposta é igual a D.

Ou você poderia dizer que
C é igual a

D transposta.

Isso é bem interessante,

porque como definimos essas duas?

Dissemos que a nossa matriz C

é igual a nossa matriz...

nossa matriz... produto de A e B.

E dissemos que D

é igual a nossa matriz produto

B transposta vezes A transposta.

Eu escrevi... aqueles definições.

Aqui estão as definições.

Agora que descobrimos que

D é igual à transposta de C.

Poderíamos escrever que C transposta

que é a mesma coisa que A vezes B

transposta, é igual a D.

Então é igual a D, que é

B transposta, A transposta.

E é uma resposta bem clara.

Uma resposta bem clara.

Se eu tomar o produto de duas matrizes,

e então fazer a transposta,
é equivalente a

mudar a ordem, ou fazer a transposta delas

e então fazer o produto
da ordem invertida.

B transposta, A transposta.

Que é uma resposta bem clara.

E você pode até expandir
a um número

arbitrário de matrizes
em questão do

produto. Se você tomar...

não vou provar isso, mas de fato

é uma extensão bem simples.

Se você tomar as matrizes,
digamos.

A... vou usar... letras diferentes.

X Y Z. Se você tomar o produto delas,
e fazer a transposta,

é igual a Z transposta, Y transposta,

X transposta.

Eu não provei para um caso geral,

e você pode continuar para
quatro ou cinco

ou N matrizes multiplicadas entre si.

Geralmente funciona.

E você poderia... provar isso

usando o que provamos nesse vídeo.

Se você pegar o produto
de duas matrizes,

pegue as transpostas iguais ao

produto em ordem invertida.

[Legendado por: Luís Eduardo]
[Revisado por Raiza de Souza]