Equations of Parallel and Perpendicular Lines

이 동영상에서 몇 가지 예시들을 볼 건데요

평행선들과 수직선들에 대한 것입니다

평행선들이 있고, 수직선들이 있고

당연히 평행하지도, 직교하지도 않은 선들이 있습니다

처음 들어보는 분들을 위해 약간의 설명을 하자면

평행선들은 절대 만나지 않습니다

일단 축을 몇 개 그려볼게요

이 것들을 좌표축이라 한다면

여기가 x축, 여기가 y축이 되죠

자주색으로 선을 하나 긋게 되면

이 선과 평행한 선은 이 노란색 선과
같은 형태를 띄고 있습니다

두 직선이 똑같은 직선은 아니지만

두 직선의 기울기는 같습니다

만약 이 점이 어떤 값만큼 움직인다면

즉,이점이 x값만큼 이동하면 y값만큼도 이동하는데,

이 점 또한 x값만큼 이동하면 y값만큼 이동하게 됩니다

따라서 이 두 직선은 절대 만나지 않게되고

같은 기울기를 가지게 됩니다

평행한 선들은 기울기가 같습니다

수직선은 그 반대라고 볼 수 있습니다

여기에 직선이 하나 있다고 합시다

이 직선과 이 직선의 수직선은 서로 교차할 뿐 아니라

직각, 즉 90도로 교차하게 됩니다

증명은 이 동영상에서 해드리지는 않을 것입니다

사실 선형 대수 카테고리에서 증명을 했었습니다

이 노란 직선의 기울기를 m이라고 합시다

그러면 노란색 선의 수직선인 이 주황색 선은

-1/m이 기울기가 되죠

이 두 직선의 기울기는

서로의 음의 역수가 되는 것이지요

이 정보들을 바탕으로 다른 직선들을 보고

두 직선이 서로 평행선인지, 수직선인지

아니면 둘 다 아닌지 판단해 보도록 합시다

그러기 위해서는 그저 기울기만 구하면 됩니다

어떤 직선이 점(4,-3)과 점(-8,0)을 지나고

또 다른 직선은 점(-1,-1)과 점(-2,6)을 지난다고 합시다

이제 이 두 직선의 기울기를 구해 봅시다

일단 이 직선을 분홍색으로 그릴게요

지금 그린 직선을 '직선1'이라고 하고

그 기울기를 '기울기1'이라고 하겠습니다

여기 있는 이 점을

뒤쪽에 있는 점이라고 생각하고 계산하죠

따라서 y 변화량/x 변화량은 (-3 - 0) / (4 - -8)이고

이걸 계산해보면 -3/12입니다

분모와 분자를 각각3으로 나누면

즉 -1/4이 됩니다

이때 분모와 분자 모두 3으로 나누었습니다

그것이 바로 이 선

즉 직선1인 것입니다

그럼 이번에는 직선2를 구해봅시다

직선2의 기울기는

(-1 - 6)/ (-1 -( -2)) 이고

분자는 -1 - 6, 즉 -7이 되고

분모는 -1 - (-2)인데,

그 값은 -1 + 2와 같으므로

1과 같은 것이지요

따라서 이 선(직선2)의 기울기는 -7입니다

여기 있는 두 직선(직선1, 직선2)의 기울기는 달라서

평행하지도 않고

서로의 음의 역수도 아니니까

두 직선은 서로 수직선도 아니에요

그러므로 이 두 선들은 평행하지도 않고
서로 수직인 관계도 아닙니다

따라서 이 두 직선은 교차하기는 하지만

90도로 교차(수직)하지는 않습니다

그럼 몇 개 더 해 봅시다

한 직선은 이 점들을 지나고

다른 직선은 이 점들을 지납니다

그럼 이제 그 기울기들을 구해봅시다

초록색으로 된 이 직선의 기울기는 무엇일까요?

초록색 직선을 첫번째 직선1(m1) 이라고 부릅시다

y 변화량은

-2 - 14이고 분모는...

분자를 풀 때 -2를 먼저 썼으니
분모를 풀 때도 1을 먼저 써서

1 - (-3)을 하면 됩니다

-2 - 14는 -16이고

1 - (-3)은 1 + 3과 같으니

4가 됩니다

따라서 기울기는 -4인 것이지요

그럼 두번째 직선(m2)의 기울기는 무엇일까요?

기울기를 구하면

y 변화량은 5 - (-3)이고

분모는 (- 2 )- 0이 됩니다

5 - (-3)은

5 + 3과 같으므로

8이 됩니다

(-2) - 0은 -2이므로

이 직선(m2) 또한 기울기가 -4이군요

따라서 이 두 직선은 서로 평행합니다

두 직선의 기울기는 같습니다

그리고 저는 이 두 직선의 식(방정식)을 구하고

그래프를 그려서

두 직선이 과연 평행한지 한번 확인해 보세요

이 문제를 풀어 봅시다

이것도 기울기를 구하는 문제인데요

첫번째 직선은 저 점들을 지납니다

그럼 그 기울기를 구해봅시다

저 점들을 지나는

첫번째 직선(m1)의 기울기는

3 - (-3)이 y 변화량이고

분모는 3 - (-6)입니다

이는 3 + 3, 즉 6이 분자고

3 + 6, 즉 9가 분모가 됩니다

따라서 첫번째 직선(m1)의 기울기는 2/3입니다

두번째 선의 기울기는 무엇일까요?

여기 이 부분이 바로 두번째 직선인데요

이 점들을 지나는 다른 직선입니다

이 직선의 기울기는

((-8) -4) / (2- (-6)) 인데요

이 값은 무엇일까요?

(-8) - 4는 -12이고

2 - (-6)은 2 + 6과 같게 됩니다

마이너스들이 상충되서 없어지기 때문이지요

따라서 -12/8 인데

분모와 분자를 각각 4씩 나누면

-3/2 가 됩니다

여기서 이 둘은

서로의 음의 역수라는 점을 주목해야 합니다

(-1)을 2/3 으로 나누는것은 (-1) x 3/2 와 같아지는데

이는 -3/2과 같습니다

이 둘은 서로의 음의 역수입니다

분모와 분자를 바꾸고 음수로 만들면

두 직선의 기울기는 같아집니다

따라서 이 두 직선은 수직선입니다

여기서 기울기를 찾은

두 직선의 방정식을 구하고

그래프를 그려서 두 선이 직교한다는 것을

직접 확인해 보세요

한 문제 더 해 봅시다

점(2,8)을 지나는 선과

직교하는 직선의 방정식을 찾아봅시다

서로 수직으로 만난다는

첫번째 단서는

우리에게 무엇을 알려줄까요?

이 선과 직교한다면 그 기울기는

(-2)/5의 음의 역수겠네요

(-2)/5의 음의 역수인 기울기를 구해보면

잠시만요 다른 색깔로 해보겠습니다

그러니까 이 선의 기울기가 -2/5 이면

우리가 찾아야할 직선은 이 직선과 직교하므로

그 기울기는 그 역수가 될 것입니다

그러므로 2/5 대신 5/2이고,

음수가 아니라 양수가 될 것입니다

이게 -2/5의 음의 역수인 것이지요

그렇죠?

음수가 양수가 되고

5와 2를 바꾸면 5/2가 나옵니다

그러므로 5/2가 이 직선의 기울기에요

여기서 점과 기울기를 이용해 직선의 식을 쓸 수 있어요

여기 이 점을 지나니까

식을 써봅시다

y - (이 점의)y값은

우리가 찾은 기울기 (5/2) X (x - (이 점의)x값)입니다

이때 x값은 y가 8일 때의 x값입니다

이 식이 직선의 점과 기울기를 이용한 형태입니다

이것을 표준형으로 바꾸고 싶으면

약간의 계산만 하면 됩니다

5/2 곱하기 (x - 2)를 분배해서 풀어봅시다

(5/2)x - 5/2 곱하기 2를 하면 5가 나오고요

그리고 양쪽에 모두 8을 더합니다

y= 5/2x 이고 여기다가

8을 -5에 더하니까 +3이 되네요

이제 끝났습니다.