Derivative as a concept

Nejspíš už znáte
směrnici přímky.

a pokud ne, doporučuji vám se na
to podívat na Khan Academy.

Ale směrnice
vlastně jen říká,

jak se změní hodnota svislé neznámé,
když dojde ke změně vodorovné neznámé.

Například v tomto případě mám standardně
y na svislé ose a x na vodorovné ose.

Kdybych chtěl nyní určit
směrnici této přímky,

mohl bych vybrat nějaké dva body,
například tento bod a tenhle bod,

a bude mě zajímat, jaká je změna x,
když jdu z tohoto bodu do druhého.

Změna hodnoty x bude
tato vzdálenost.

Změna x.

Tenhle trojúhelník je řecké písmeno delta
a jde jen o zkratku pro slovo změna,

takže tu máme změnu x.

Také můžeme
spočítat změnu y.

Když jdeme z tohoto bodu
nahoru do druhého bodu,

naše změna y se
bude rovnat tomuto.

Směrnici bychom pak definovali, respektive
tak už jsme si ji definovali předtím,

jako změna y
děleno změna x.

Směrnice je změna hodnoty svislé proměnné
děleno změnou hodnoty vodorovné proměnné,

čemuž se někdy také říká
svislá změna děleno vodorovná změna.

Každá přímka má
jednu určitou směrnici,

protože přímka má
konstantní změnu funkční hodnoty.

Když vezmete libovolné
dva body na této přímce,

ať už jsou jakkoliv vzdálené nebo
blízko sebe, zkrátka kdekoliv na přímce,

tak vám po výpočtu změn
vyjde vždy stejná směrnice.

To je právě
vlastnost přímek.

Na matematické analýze je ale
fascinující to, že si vytvoříme nástroje,

pomocí nichž budeme moci zkoumat
nejen změnu funkční hodnoty přímky,

čemuž jsme doteď říkali směrnice,

ale budeme moci uvažovat i nad okamžitou
změnou funkční hodnoty nějaké křivky.

Něčeho, u čeho se změna
funkční hodnoty neustále mění.

Například zde je křivka, pro kterou se
změna y při změně x neustále mění.

To dokonce i když
použijeme náš tradiční postup.

Řekneme si, že můžeme spočítat
průměrnou změnu funkční hodnoty,

a to mezi třeba tímto
bodem a tímto bodem.

Čemu se to bude rovnat?

Průměrná změna funkční hodnoty mezi tímto
bodem a tímto bodem je směrnice přímky,

která body spojuje.

Tedy směrnice této
přímky, této sečny.

Ale kdybychom vybrali jiné
dva body, třeba tento a tento,

průměrná změna funkční hodnoty
mezi těmito body vypadá o dost jinak.

Vypadá to, že
směrnice bude větší.

Takže když vezmeme dva body a uvážíme
směrnici přímky, směrnici této sečny,

tak vidíme, že
směrnice se mění.

Co kdybychom si ale
položili ještě zajímavější otázku?

Jaká je okamžitá změna
funkční hodnoty v bodě?

Například jak rychle se y mění vzhledem
ke změně x přesně v tomto bodě?

Právě když je x rovno této hodnotě,
kterou si označme jako x_1.

Můžete se na to dívat třeba takto:

Co kdybychom nakreslili tečnu
grafu procházející tímto bodem?

Přímku, která se dotýká
grafu přesně tady.

Směrnici takové
přímky umíme spočítat,

a to by také měla být změna
funkční hodnoty v tomto bodě.

Okamžitá změna
funkční hodnoty.

Tečna by mohla
vypadat nějak takto.

Když budeme znát
směrnici této přímky,

tak můžeme říci, že to je okamžitá
změna funkční hodnoty v tomto bodě.

Proč říkám okamžitá
změna funkční hodnoty?

Vzpomeňte si na video o běžcích,
například s Usainem Boltem,

Kdybychom chtěli určit rychlost
Usaina Bolta v danou chvíli,

tak by toto mohlo popisovat
jeho polohu v průběhu času.

y by odpovídalo
jeho poloze a x času.

Čas se obvykle značí písmenem ‚t‘,
ale teď ho označme jako x.

Přesně v tomto čase tak
mluvíme o okamžité změně.

Tato myšlenka tvoří základ diferenciálního
počtu a říká se jí derivace.

Směrnice tečny, na což lze také nahlížet
jako na okamžitou změnu funkční hodnoty.

Napíšu zde vykřičník, protože
je to velice důležitá myšlenka.

Jak derivaci zapisujeme?

Jednou z možností
je Leibnizovo značení.

Leibniz je jedním z otců matematické
analýzy spolu s Isaacem Newtonem.

V jeho značení se směrnice
tečny rovná dy lomeno dx.

Proč mám toto značení rád?

Protože vychází z myšlenky směrnice,
kde je změna y dělená změnou x.

V dalších videích uvidíte, že na směrnici
tečny lze také nahlížet tak, že…

Spočítejme si směrnici sečny
procházející tímto a tímto bodem.

Pak vezmeme bližší
body, třeba tyto dva.

Pak ještě bližší
body, tyto dva,

Poté vezměme ještě
bližší body a podívejme se,

co se děje, když
se změna x blíží k 0.

Takže když místo delt
používáme tato písmena d,

tak tím Leibniz říkal: „Co se stane,
když bude změna x blízko k 0?“

Toto je Leibnizův zápis
a značí myšlenku,

že místo změny y dělené změnou x uvažujeme
velmi malé změny y při velmi malé změně x,

zejména pro
změnu x blížící se k 0.

Jak dále uvidíte, takto
také budeme derivaci počítat.

Existují však i další
způsoby zápisu.

Pokud lze tuto křivku popsat
jako y rovná se f(x),

tak směrnici tečny v tomto bodě
můžeme zapsat jako f s čarou v bodě x_1.

Na toto značení si
chvíli musíte zvykat.

Jedná se o
Lagrangeovo značení.

f s čarou
představuje derivaci,

jde o směrnici
tečny v daném bodě.

Když dosadíte x do
této funkce, do funkce f,

dostanete
příslušnou hodnotu y.

Když dosadíte x do funkce f s čarou,
dostanete směrnici přímky v tomto bodě.

Je ještě jedno značení, které nejspíš moc
neuvidíte na hodinách matematické analýzy,

ale můžete ho potkat na hodinách
fyziky, a to ‚y‘ s tečkou nahoře.

Tedy y s tečkou nahoře
také značí derivaci.

Na hodinách matematiky můžete
také častěji vidět y s čarou.

Jak budeme pokračovat v našem
putování matematickou analýzou,

postupně si vytvoříme metody,
kterými tyto věci budeme počítat.

Pokud už znáte limity,
tak budou velmi užitečné,

protože budeme počítat limitu ze
změny y dělené změnou x,

když se změna
x blíží k 0.

A nebudeme to počítat jen pro jeden bod,
budeme schopni sestavit rovnosti,

které udávají derivaci
v libovolném bodě.

Takže se máte
opravdu na co těšit.