Derivative as a concept

Най-вероятно ти е позната идеята за

наклон на права.

Ако не е така, препоръчвам ти да прегледаш
урока по темата в Кан Академия.

Като цяло, той описва
скоростта на изменение

на вертикална променлива

по отношение на хоризонтална променлива.

Например тук имам
класическата ордината y,

разположена вертикално, и абсциса x,

разположена хоризонтално.

Ако искам да определя
наклона на тази права,

мога да си избера две точки,

да кажем тази и тази.

Мога да кажа: „Добре, от тази точка
до тази как се изменя x?“

Изменението на x ще е точно
това разстояние ето тук.

Изменение на x,

гръцката буква „делта“,
това триъгълниче тук,

е просто кратък запис за „изменение“,
така че това e „изменение на x“.

Разбира се, мога да пресметна
и изменението на y.

От тази точка нагоре до ето тази,
изменението на y

ще бъде това, точно тук,
това е изменението на y.

След това ще дефинираме наклона,
както в началото,

като изменението на y
върху изменението на x.

Значи наклонът е равен
на скоростта на изменение

на вертикалната променлива

върху скоростта на изменение
на хоризонталната променлива.

Това често се нарича
„издигане върху отместване“

и това се отнася за наклона
на всяка права

заради постоянната ѝ скорост
на изменение.

Ако вземеш кои да е две точки
от тази права,

без значение колко далеч
са една от друга,

стига да лежат на правата,

ако извършиш това изчисление,

ще получиш еднакъв наклон.

Това е характеристика на правата,

но това, което е наистина завладяващо

в математическия анализ, е,
че ще изградим инструментите си,

така че да не мислим за скоростта
на изменение само

по отношение на прави,
където наричаме това наклон.

Можем да разглеждаме
всяка скорост на изменение,

моментната скорост на
изменение на крива,

на нещо, чиято скорост
на изменение се променя постоянно.

Ето например крива, чиято скорост
на изменение на y

по отношение на x се променя постоянно,

дори можем да използваме
вече познатите ни инструменти.

Ако кажем: „Добре, можем
да изчислим средната скорост

на изменение“, например
между тази точка и тази.

Каква ще бъде тя?

Средната скорост на изменение
между тази точка и

тази ще бъде наклонът на правата,
която ги свързва.

Значи ще бъде наклонът
на тази права, на секущата,

но ако изберем други две точки,

например тази и тази,
средната скорост на изменение

между тези точки изведнъж
е съвсем различна.

Изглежда, че има по-голям наклон.

Така че, дори и да намерим наклона
между две точки

от правата, секущата,

може да забележиш,
че наклоните се променят.

Можем да си зададем
един още по-интересен въпрос.

Каква е моментната скорост
на изменение в някоя точка?

Например, колко бързо се изменя y

по отношение на x точно в тази точка,

когато x има точно тази стойност.

Нека това е x1.

Един начин, по който можеш
да си мислиш за това, е

ако можехме да прокараме
допирателна в тази точка,

права, която докосва
графиката точно тук,

и ако можем да изчислим
наклона на тази права.

Е, това трябва да бъде скоростта
на изменение в тази точка,

моментната скорост на изменение.

В този случай,

допирателната може
да изглежда ето така.

Ако знаем наклона на това,

можем да кажем, че

това е моментната скорост
на изменение в тази точка.

Защо казвам моментна скорост
на изменение?

Помисли си за запис
с някой спринтьор,

например Юсейн Болт.

Ако искаме да разберем каква е
скоростта на Юсейн Болт

във всеки един момент,
може би това описва неговата позиция

по отношение на времето,
ако y е позиция, а x – време.

Обикновено ще виждаш t да обозначава времето,
но нека кажем, че в случая x е времето.

Тогава, ако говорим конкретно
за това време,

ще говорим за моментна скорост,

и тази идея е основополагаща
за диференциалното смятане,

и е позната като производна,

наклонът на допирателната,
който също може да разглеждаш,

като моментна скорост на изменение.

Поставям удивителен знак,

защото е концептуално важно.

Как означаваме производна?

Един от начините е познат като
означение на Лайбниц.

Лайбниц е един от бащите на математическия анализ,

редом с Исак Нютон.

С неговото означение ще запишем

наклона на допирателната

като равен на dy върху dx.

Защо ми допада това означение?

Защото действително произлиза
от идеята за наклон,

което беше изменението на y
върху изменението на x.

Както ще видиш в следващите видеа,

един начин да си представиш
този наклон на допирателната е

да изчислим наклона на секущите.

Да кажем между тази точка и тази.

Но сега нека се приближим
още повече и да речем, тази точка и тази,

нека се приближим още повече

и този път вземем между
тази точка и тази,

и пак да се приближим,

и нека видим сега какво
се случва с изменението

на x, когато то клони към нула,

и използвайки тези d-та вместо делтите,

това е бил начинът на Лайбниц да каже:

"Хей, какво ще стане, ако изменението

на x стане близко до нула?"

Тази идея е позната като
диференциално означение,

означение на Лайбниц, където
заменяме просто изменението

на y върху изменението на x със
супер малко изменение на y върху

супер малко изменение на x,

особено когато изменението
клони към нула.

И както можеш да видиш,

така ще пресмятаме производната.

Естествено има и други начин
за записване.

Ако тази крива се описва като y = f(x).

Наклонът на тангентата

в тази точка ще бъде означен
като f'(x) = x1.

Това означение изисква малко време
за свикване с него,

означение на Лагранж.

Според него f прим (f') се представя
като производна.

Тя ни казва какъв е наклонът
на допирателната

в коя да е точка.

Ако въведеш х във функцията f,

ще получиш съответната стойност за y.

Ако въведеш х във f прим (f') за същата точка,

ще получиш наклона на
допирателната в тази точка.

Друго означение, която може да срещнеш,
но с по-малка вероятност,

в час по математически анализ, а може
да ти е позната от часовете по физика,

е означението на y с точка.

Така че можем да изпишем това
като y с точка,

което отново представлява производна.

Може да видите и y прим.

Това тук е по-често срещаният запис
в часовете по математика.

Напредвайки в нашето приключение,
наречено математически анализ,

ние ще изградим инструментариум, с помощта на
който ще можем да пресметнем тези неща,

а ако вече познаваш границите,

те ще са ти много полезни,
както можеш да си представиш,

понеже ще определяме границата

на изменението на y
върху изменението на x,

при x клонящо към нула.

И няма да се ограничаваме
до пресмятането на израза

само за конкретна точка.

Ще успеем да формулираме
общи формули,

описващи производната за всяка точка,

а това трябва много, ама много
да те развълнува.