Rozpoznawanie liczb pierwszych

U02_L1_T3_we4 Rozpoznawanie liczb pierwszych

Rozpoznawanie liczb pierwszych

Wśród podanych poniżej rozpoznaj czy liczba jest liczbą pierwszą, złożoną czy żadną z nich,

Na początek przypomnienie - liczba pierwsza to liczba naturalna, taka jak

1,2,3,4,5,6......... która ma dokładnie dwa dzielniki.

Te dzielniki to 1 i ona sama. Przykładem liczby pierwszej jest 3

Ma ona tylko dwa dzielniki: 1 i 3. Innymi słowy

jedynym sposobem na otrzymanie 3 przez mnożenie innych dwóch liczb naturalnych to 1 x 3 = 3

Więc ma tylko 1 i samą siebie.

Liczba złożona to taka liczba naturalna, która ma więcej dzielników niż jeden i samą siebie.

i zobaczymy później takie przykłady.

Zobaczymy także interesujący przykład liczby nie będącej ani liczbą pierwszą ani złożoną.

Spójrzmy zatem na liczbę 24

Spróbujmy znaleźć wszystkie liczby naturalne lub całkowite (pamiętając, że zero zawiera się w zbiorze liczb całkowitych)

Spróbujmy zatem znaleźć wszystkie liczby naturalne przez które 24 dzieli się bez reszty

Rozważmy zatem dzielniki.

Jest ona podzielna przez 1 i 24.

Jest także podzielna przez 2.

2 x 12 = 24, więc jest też podzielna przez 12

jest też podzielna przez 3; 3 x 8 = 24

i tak naprawdę nie musimy znajdować jej wszystkich dzielników, by wiedzieć że nie jest liczbą pierwszą

ponieważ ma więcej dzielników niż 1 i samą siebie, więc

oczywiste jest, że jest to liczba złożona.

To będzie liczba złożona

Ale skoro już zaczęliśmy, to znajdźmy wszystkie jej dzielniki:

jest także podzielna przez 4, bo 4 x 6 = 24, więc jest też podzielna przez 6.

Są to wszystkie dzielniki 24, zdecydowanie więcej niż tylko 1 i 24.

Teraz liczba 2.

Znajdźmy liczby naturalne przez które dzieli się 2

1 x 2 = 2 zdecydowanie działa, ale nie ma innych liczb naturalnych, przez które można podzielić 2.

Ma ona więc tylko 2 dzielniki: 1 i siebie samą.

Jest to definicja liczby pierwszej więc

2 jest liczbą pierwszą.

Liczba 2 jest interesująca także dlatego, że jest to jedyna parzysta liczba pierwsza.

Jedyna parzysta liczba pierwsza.

I to by się zgadzało, bo zgodnie z definicją

liczby parzyste są podzielna przez 2.

2 jest podzielne przez 2 co sprawia, że jest liczbą parzystą

Ale jest podzielna tylko przez 2 i 1 więc przez to jest tez liczbą pierwszą.

Każda liczba parzysta będzie podzielna przez 1, samą siebie i 2.

Każda inna liczba parzysta będzie nie tylko podzielna przez 1 i samą siebie, ale także przez 2,

więc z definicji będzie liczbą złożoną.

2 jest liczbą pierwszą; każda inna liczba parzysta będzie liczbą złożoną.

A oto ciekawy przypadek: 1, które jest podzielne tylko przez 1.

1 jest podzielne tylko przez 1.

A więc nie jest liczbą pierwszą ponieważ jedynym jej dzielnikiem jest 1 zatem nie ma 2 dzielników.

Aby liczba była pierwszą musi mieć dokładnie dwa dzielniki, a liczba 1 ma dokładnie jeden dzielnik.

Aby z kolei być złożoną, dana liczba musi mieć więcej niż dwa dzielniki.

A więc nie jest liczbą złożoną.

1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną

.

na koniec dochodzimy do liczby 17. Ta liczba jest podzielna przez 1

17 jest podzielna przez 1 i 17.

Nie jest podzielna przez 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 ani 16.

Ma dokładnie 2 dzielniki, 1 i siebie samą, więc jest liczbą pierwszą.