素数を見分ける

素数を見分ける

次の数は素数か合成数，あるいはどちらでもないかを見分けなさい．

次の数は素数か合成数，あるいはどちらでもないかを見分けなさい．

ちょっとおさらいですが，素数は自然数の一種です．
ですから数を数えるときの数です．

1, 2, 3, 4, 5, 6, と続きます．
そしてそのうちで2つの因数だけを持つものです．

その因数は 1 とそれ自身です．素数の 1 つの例は 3 です．

3 を割り切る自然数は 2 つしかありません: 1 と 3

言いかえれば，3 を他の自然数の積として示す方法は
1 × 3 だけです．

それは 1 とそれ自身だけです．

合成数は自然数の一種で 1 とそれ自身以外にも
因数を持つものです．

この例はここで見ることになるでしょう．

そしてそれ以外のものというのは，そういうものが
あるのかどうか，何かちょっと興味がありますね．

24 について考えます．

全ての自然数，あるいは整数について考えます．
ただし，0 は整数に含まれます．

全ての自然に数える時の数で，24 を余りなしで
割ることができる数について考えましょう．

これらは因数と言います．

明らかに，1 と 24 は割り切る数です．
実際に 1 × 24 = 24 です．

しかしこの数は 2 でも割り切れます．

2 × 12 = 24，つまりこれは 12 でも割り切れます．

これは 3 でも割り切れます. 3 × 8 = 24 です．

実は素数ではないことを示すためには，
因数を全てみつける必要はありません．

これは 1 とそれ自身以外にも因数を持つことは明らかです．

これは明らかに合成数です．

これは合成数になります．

せっかくはじめたので因数分解を終わらせましょう．

これは 4 でも割り切れます．4 × 6 = 24 です．

これで 24 の全部の因数がでました．
1 と 24 だけではないことは明らかです．

では 2 について考えましょう．

0 でない整数で 2 を割り切る数．

1 × 2 は確実に上手くいきます．1 と 2，
しかしそれ以外に 2 を割り切る数はありません．

2 つの因数だけ，1 とそれ自身，があります．

これは素数の定義でした．ですから 2 は素数です．

ですから 2 は素数です．

2 は興味深いです．なぜなら，
これは唯一の偶数だからです．

唯一の偶数の素数です．

これは考えてみれば常識的です．なぜなら，

偶数の定義によれば，それは 2 で割り切れるものです．

2 は明らかに 2 で割り切れます．
それがこれを偶数とします．

しかしこれはまた 2 と 1 のみで割り切れます．
それがこれを素数にします．

しかしどんなものでも偶数であれば，
それは 1 と それ自身と 2 で割り切れます．

どんな他の偶数でも 1 とそれ自身と 2 で割り切れます．

したがって，定義により，1 とそれ自身と何か他の数で
割り切れるものは，合成数になります.

2 は素数です．2 以外の他の偶数は全て合成数です．

ここに興味深い場合があります: 1です．
1 は 1 でしか割り切れません．

1 は 1 のみでしか割り切れません．

ですからこれは厳密な解釈に従えば素数ではありません．
なぜならそれは 1 のみを因数に持つからです．
それは 2 つの因数を持ちません．

1 はそれ自身です．しかし，素数であるためには，
厳密に 2 つの因数を持たなくてはいけません．
1 は 1 つしか因数を持ちません．

合成数となるためには，2 つよりも多い因数を
持つ必要があります．1，それ自身，そして他の数．

ですからこれは合成数ではありません．

1 は素数でも合成数でもありません．

1 はどちらでもない数です．

最後に 17 があります．

17 は 1 と 17 で割り切れます．

それは2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
または 16 では割り切れません．

これは厳密に 2 つの因数を持ちます．
1 とそれ自身です．ですから 17 は素数です．