Matrix multiplication (part 1)
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0:01 - 0:04看完上一段影片後，希望大家對矩陣的加法有所了解了
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0:04 - 0:07下面我們學習如何做矩陣的乘法
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0:07 - 0:12要始終牢記，這些矩陣乘法的規則是人爲設定的
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0:12 - 0:15我們本可以搞一套與此完全不同的規則
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0:15 - 0:16來做矩陣的乘法
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0:16 - 0:18但我推薦你們學習這一套方法
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0:18 - 0:20因爲它對你們的數學課有幫助
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0:20 - 0:22而且以後我們還將看到，實際上
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0:22 - 0:25有很多應用都是建立在這一套規則之上的
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0:25 - 0:27那麽我們先寫出兩個矩陣
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0:27 - 0:30兩個2乘2的矩陣，我們試著將它們相乘
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0:31 - 0:41我隨便寫幾個數字：2、負3、7、5
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0:41 - 0:45這個矩陣，或者說這個“數字表格”
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0:47 - 0:53乘上10、負8——
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0:55 - 0:59這裡讓我挑個好數字——12
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1:00 - 1:03最後是負2
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1:04 - 1:07現在，你們心裏也許有股強烈的願望
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1:07 - 1:11你們大概也能猜得到這種願望並不正確
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1:11 - 1:15就是像做矩陣加法一樣做矩陣的乘法
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1:15 - 1:18把對應位置上的數字相乘就行了
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1:19 - 1:21你可能會想：這裡的第一個元素
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1:21 - 1:24也就是第1行第1列的這個(1, 1)元素
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1:24 - 1:25應該等於2乘以10
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1:25 - 1:28而右上角這個元素應該是負3乘以負8，等等
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1:28 - 1:30矩陣的加法就是這麽進行的
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1:30 - 1:33也許可以自然地類推到乘法
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1:33 - 1:36這種想法是合理的
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1:36 - 1:38人類本來也可以這樣來定義矩陣的乘法
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1:38 - 1:40但現實世界裏並非如此
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1:40 - 1:43很不幸，現實世界裏的矩陣乘法要更加複雜
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1:43 - 1:46但只要多看一些例題，相信你們就能掌握
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1:46 - 1:48而且你們會覺得它其實挺直觀易懂的
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1:48 - 1:50那麽究竟該怎麽做呢？
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1:50 - 1:56這個第1行第1列的元素實際上等於
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1:56 - 2:02這兒的第1個行向量
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2:02 - 2:05乘上這一個行向量
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2:05 - 2:07這又是什麽意思呢？
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2:08 - 2:08看到沒有？
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2:08 - 2:12我們從第一個矩陣截取第一個行向量
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2:12 - 2:16從第二個矩陣截取第一個行向量
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2:16 - 2:17接下來呢？
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2:17 - 2:19如果你熟悉點乘的話
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2:19 - 2:21實際上第1個元素就等於這兩個向量的點乘
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2:21 - 2:24或者咱不說這些花哨的術語
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2:24 - 2:28它其實就是——我字寫小點——
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2:28 - 2:322乘以10
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2:32 - 2:39加上負3乘以12
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2:39 - 2:41這兒快要寫不下了
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2:43 - 2:46那麽，這兒的第二個元素是多少呢？
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2:46 - 2:49這個元素仍然屬於乘積矩陣的第一行
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2:49 - 2:51但是位於第二列了
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2:51 - 2:53那麽我們就截取後面這個行向量
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2:53 - 2:55讓我們選個好顏色
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2:56 - 3:00這個和左邊的有點區別，是紫色的
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3:00 - 3:04那麽它就等於——等我把顏色換回來
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3:04 - 3:102乘以負8——我就直接寫結果了
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3:11 - 3:162乘以負8是負16
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3:16 - 3:19加上負3乘以負2
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3:19 - 3:21負3乘以負2得多少？
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3:21 - 3:26正6，對不對？
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3:26 - 3:29這就是第1行第2列的元素
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3:29 - 3:31它等於負16加6
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3:31 - 3:33現在我們計算下面兩個元素
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3:33 - 3:34它們都在第二行
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3:34 - 3:38所以我們從第一個矩陣截取第二個行向量
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3:38 - 3:41我知道這很容易搞糊塗
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3:41 - 3:43但我們會看很多例題
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3:43 - 3:45相信你們最終一定能理解
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3:45 - 3:48所以，左下角的這個元素就等於
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3:48 - 3:51黃色的行向量乘上紅色的行向量
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3:51 - 3:55即是說7乘以10，也就是70
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3:56 - 4:03加上5乘以12，也就是60
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4:06 - 4:08右下角的元素就等於
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4:08 - 4:147乘以負8，也就是負56
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4:16 - 4:22加上5乘以負2，也就是負10
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4:23 - 4:26那麽最終的乘積就是
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4:29 - 4:342乘10等於20，減去36，得到負16
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4:35 - 4:39這裡是負16加上6，結果爲10
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4:41 - 4:46而這個元素是70加上60，等於130
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4:47 - 4:55然後負56減去10，得到負66
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4:55 - 4:59這樣，我們就算出了這個矩陣乘以這個矩陣的結果
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4:59 - 5:01再來一個例題
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5:01 - 5:06這次我左邊寫得緊湊點，好讓右邊的更清楚
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5:07 - 5:18我們拿矩陣 1, 2, 3, 4
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5:18 - 5:27乘以矩陣 5, 6, 7, 8
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5:28 - 5:31這下還剩不少空間，可以把右邊寫得更齊整些
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5:33 - 5:35步驟還是一樣的
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5:35 - 5:42先計算左上角的這個元素，即第1行第1列這個
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5:43 - 5:46從前面這個矩陣截取第一個行向——不好意思
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5:48 - 5:51從前面這個矩陣截取第一個行向量
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5:52 - 5:55從後面這個矩陣截取第一個行向量
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5:55 - 5:57這兩個向量相乘
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5:57 - 6:02結果等於1乘以5，加上2乘以7
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6:02 - 6:071乘以5，再加上2乘以7
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6:08 - 6:09對不對？就是這樣
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6:09 - 6:11而右上角這個元素
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6:11 - 6:14就等於這個綠色行向量乘上後面那個行向量
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6:14 - 6:16我們換種顏色
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6:18 - 6:20也就是1乘以6，加上2乘以8
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6:21 - 6:32讓我寫下來：1乘以6，加上2乘以8
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6:33 - 6:35接下來我們計算第二行
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6:35 - 6:38我們從第一個矩陣截取第二個行向量
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6:38 - 6:40我用這種棕色把它圈出來
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6:42 - 6:46也就是：3乘以5，加上4乘以7
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6:47 - 6:533乘以5，再加上4乘以7
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6:53 - 6:57還剩右下角，即第2行第2列這個元素
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6:57 - 6:59所以我們在這裡截取第二個行向量
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6:59 - 7:01而在這裡截取第二個行向量
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7:01 - 7:04它就等於3乘以6，加上4乘以8
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7:05 - 7:103乘以6，再加上4乘以8
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7:11 - 7:13化簡一下，這裡等於5加上——
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7:13 - 7:17我們還是先回顧下這些數字是從哪兒來的吧
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7:17 - 7:19看到這個綠色圓圈沒有？
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7:19 - 7:25綠圈裏的1和2，就是這裡的1和2
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7:26 - 7:29以及這裡的1和2
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7:29 - 7:32請注意，無論等號左右，它們都位於第一行
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7:32 - 7:37而紅圈裏的5和7，就是這個5和這個7
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7:37 - 7:40以及這個5、這個7
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7:40 - 7:45真有意思，紅圈是第二個矩陣的第一列
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7:45 - 7:48而在乘積矩陣裏，也同樣位於第一列
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7:48 - 7:51與之類似，藍圈裏的6和8
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7:51 - 7:57就是這個6和這個8，以及下面的這組6和8
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7:57 - 8:00最後，棕圈裏的3和4
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8:00 - 8:04就是這裡的3和4，以及這裡的3和4
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8:04 - 8:06當然，我們可以簡化一下
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8:06 - 8:08這裡是1乘以5，加上2乘以7
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8:08 - 8:15就是5加上14，等於19
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8:16 - 8:18這裡是1乘以6，加上2乘以8
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8:18 - 8:21就是6加上16，等於22
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8:22 - 8:26這裡是3乘以5，加上4乘以7
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8:26 - 8:30就是15加上28，即38加5 (看見可汗老師怎麽心算加法了嗎)
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8:30 - 8:32結果是43，如果沒算錯的話
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8:33 - 8:36最後是3乘以6，加上4乘以8
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8:36 - 8:43就是18加上32，也就是50
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8:44 - 8:46現在請思考一個問題——
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8:46 - 8:53我先把簡化的答案寫下來：19, 22, 43, 50
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8:53 - 8:55現在請思考一個問題 ：
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8:55 - 9:03我們做矩陣的加法時，順序是不重要的
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9:04 - 9:08比如A加上B——這倆都是矩陣，所以加粗了
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9:08 - 9:11就相當於B加上A
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9:11 - 9:15這是基於我們對矩陣加法的定義
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9:15 - 9:19現在我想問：在做矩陣乘法時
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9:19 - 9:29“A乘以B” 和 “B乘以A” 是一回事嗎？
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9:30 - 9:34矩陣乘法裏，順序重要嗎？
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9:34 - 9:37這裡我告訴大家，順序至關重要
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9:37 - 9:43實際上，有些矩陣只能以特定的順序相乘
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9:43 - 9:48調換一下順序，它們就不能相乘了
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9:48 - 9:50我以後會給出相應的例題
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9:50 - 9:54但現在請記住一點，"A乘以B" 多數時候不等於 "B乘以A"
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9:54 - 9:57我建議你們試著用矩陣5, 6, 7, 8 乘以矩陣1, 2, 3, 4
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9:57 - 9:59還是我來演示一下吧
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9:59 - 10:02我快速地演示一遍，以證明上述的論點
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10:02 - 10:04先把上面的擦掉
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10:11 - 10:13這一塊也可以擦掉
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10:14 - 10:17只要記住，前面這個乘以後面這個
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10:17 - 10:18結果等於下面這個矩陣
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10:18 - 10:22現在調換順序——我會算得很快，免得你們覺得無趣
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10:22 - 10:24我們把兩個矩陣的順序顛倒
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10:24 - 10:26也算是又一道例題，這樣挺好
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10:26 - 10:37即是矩陣5, 6, 7, 8 乘以前面這個矩陣
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10:37 - 10:39我僅僅顛倒兩者的順序
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10:39 - 10:42來看看順序到底重要不重要
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10:42 - 10:45另一個矩陣是1, 2, 3, 4
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10:48 - 10:50這次我不會用線圈去指示了，直接計算
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10:50 - 10:52我想你們已經看了足夠多的示例了
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10:54 - 10:59第一個元素，等於前者的第一行乘以後者的第一列
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10:59 - 11:03也就是5乘以1，加上6乘以3
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11:03 - 11:105乘以1——我們跳過算式，直接寫結果吧
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11:15 - 11:21也就是5，加上6乘以3，就是18
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11:24 - 11:26這裡的第二個元素是多少呢？
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11:26 - 11:30應該等於5乘以2，加上6乘以4
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11:30 - 11:405乘以2得10，加上六四得24
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11:40 - 11:44就是用這一行乘以這一列
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11:45 - 11:49好，來計算剩下的一行
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11:49 - 11:51左下角的這個元素應該等於
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11:51 - 11:53這一行乘以這一列
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11:53 - 12:03就是7乘以1，加上三八得24
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12:03 - 12:05最後，求右下角的元素
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12:05 - 12:08只要拿這一行乘以後面這一列
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12:08 - 12:14就是7乘以2，得到14
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12:15 - 12:21再加上8乘以4，也就是32
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12:22 - 12:25那麽最後的結果等於
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12:25 - 12:305加18等於23, 這裡是34
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12:30 - 12:357加24得31, 最後是46
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12:36 - 12:43請注意，如果我們把這個矩陣稱爲A
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12:43 - 12:46這個稱爲B，看到沒有？
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12:47 - 12:52前一個例題，我們求出了A乘以B
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12:54 - 13:02它等於矩陣19, 22, 43, 50
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13:03 - 13:06而我們剛剛看到，如果順序顛倒
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13:06 - 13:10B乘以A的結果是完全不同的矩陣
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13:10 - 13:15所以矩陣乘法裏，順序至關重要
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13:15 - 13:17這段影片就快結束了
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13:17 - 13:20下一課我會講講矩陣的類型——
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13:20 - 13:23我們已經知道，矩陣乘法裏，順序很重要
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13:23 - 13:28而下一課，我會講講哪些類型的矩陣能夠相乘
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13:28 - 13:32做矩陣的加減法時，需要前後矩陣的維度相同
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13:32 - 13:34因爲我們要拿對應位置的數字做運算
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13:34 - 13:37然而你們將看到，矩陣乘法有些不同
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13:37 - 13:39我們會在下段影片學到
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13:39 - 13:39再會
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David Chiu added a translation |