Mnożenie macierzy (część 1)

Mnożenie macierzy 2x2

Mam nadzieję, że po ostatnim filmie mamy już pojęcie

o dodawaniu macierzy.

Teraz nauczmy się jak mnożyć macierze.

Miejcie na uwadze, że to są definicje mnożenia macierzy,

stworzone przez ludzi.

Moglibyśmy zdefiniować zupełnie inne sposoby

ich mnożenia.

Ale zachęcam, to tefo żebyście się nauczyli tego w ten sposób,

ponieważ pomoże to wam na lekcjach matematyki.

Zobaczymy później, że istnieje bardzo wiele zastosowań,

które wynikają z tego typu

mnożenia macierzy.

Weźmy dwie macierze.

Zrobię to dla dwóch macierzy 2 na 2. Pomnożymy je.

Weźmy jakieś losowe liczby: 2,

minus 3, 7 i 5.

Zamierzam pomnożyć tę macierz, lub tę tablicę liczb

przez 10 minus 8, pozwólcie mi wybrać jakąś dobrą liczbę

tutaj -- 12 i minus 2.

A więc teraz możemy mieć silną pokusę -- i w pewnym sensie

nie jest to pokusa nieuzasadniona --

żeby zrobić to samo z mnożeniem, co robiliśmy

z dodawaniem, czyli żeby po prostu pomnożyć odpowiadające

sobie elementy. Możecie więc ulec pokusie, żeby powiedzieć, no cóż

pierwszy wyraz tutaj, wyraz nr 1, 1, czyli w pierwszym rzędzie i w pierwszej kolumnie

będzie równy 2 razy 10.

A ten wyraz będzie równy minus 3 razy

minus 8 i tak dalej.

W taki właśnie sposób dodawaliśmy macierze, a więc może

to jest naturalne rozszerzenie na mnożenie macierzy, zrobienie tego tą samą metodą.

I to jest sensowne.

Można by to tak zdefiniować, ale to nie jest tak

w prawdziwym świecie.

A metoda w prawdziwym świecie,

jest niestety bardziej skomplikowana.

Ale jeżeli zrobicie dużo przykładów,

myślę, że ją załapiecie.

I przekonacie się, że jest to

dosyć proste.

Jak więc to robimy?

A więc ten pierwszy wyraz, stojący w pierwszym rzędzie i w pierwszej

kolumnie, jest równy iloczynowi

tego pierwszego wektora wierszowego

i tego wektora kolumnowego.

A teraz: co ja przez to rozumiem, tak?

Więc, ten wyraz bierze swoją wierrszową informację

z wiersza pierwszej macierzy, a kolumnową informację czerpie

z kolumny drugiej macierzy.

Jak więc to robię?

Jeżeli jesteście już zaznajomieni z iloczynem skalarnym, to jest to po prostu

iloczyn skalarny tych dwóch macierzy.

Albo, mówiąc prościej, jest to:

2 razy 10, czyli 2 - napiszę małymi - razy 10 dodać

minus 2 razy 12.

Kończy mi się miejsce.

Jaki jest więc ten drugi wyraz tutaj?

No cóż, jesteśmy nadal w pierwszym rzędzie iloczynu, ale

teraz jesteśmy w drugiej kolumnie.

Bierzemy naszą informację kolumnową stąd.

Wybierzmy więc dobry kolor - to jest trochę inny

odcień purpury.

A więc to będzie równe -- zrobię to innym kolorem --

2 razy minus 8 -- napiszę liczbę --

2 razy minus 8 daje minus 16, dodać 3 razy minus 2 --

ile jest minus 3 razy minus 2?

To jest plus 5, zgadza się?

A więc to stoi w pierwszym rzędzie i drugiej kolumnie.

Minus 16 plus 6.

A teraz zejdźmy tu na dół.

Teraz jesteśmy w drugim rzędzie.

A więc teraz użyjemy -- zaczerpniemy naszą informację wierszową

z pierwszej macierzy -- wiem, że

to jest mylące i źle się z tym czuję, ale zrobimy dużo przykładów

i myślę że to ma sens.

A więc ten wyraz -- lewy dolny wyraz -- będzie równy iloczynowi

tego wiersza i tej kolumny.

Czyli będzie równy 7 razy 10, czyli 70, dodać 7 razy 10,

dodać 5 razy 12, dodać 60.

A prawy dolny wyraz będzie równy 7 razy

minus 8, czyli minus 56 dodać 5 razy minus 2.

Czyli to jest minus 10.

A więc ostateczny iloczyn będzie równy 2 razy 10, czyli 20

odjąć 36, czyli minus 16 dodać 6, co daje 10.

90 -- co powiedziałem?

Nie, to było 70 dodać 60 czyli 130.

A potem minus 56 minus 10, czyli minus 66.

No i mamy wynik.

Właśnie pomnożyliśmy tę macierz przez tę macierz.

Zróbmy inny przykład.

Spróbuję ścisnąć go po tej stronie,

żebyśmy mogli napisać to po tej stronie trochę porządniej.

Weźmy macierz 1, 2, 3, 4 razy

macierz 5, 6, 7, 8.

Teraz mamy dużo więcej miejsca do pracy, a więc powinno

wyjść ładniej.

OK, ale zamierzam zrobić to samo, a więc żeby obliczyć

ten wyraz tutaj -- górny lewy wyraz -- musimy wziąć --

albo wyraz w pierszym rzędzie i w pierwszej kolumnie -- musimy wziąć

inormację z rzęu nr 1 tutaj i kolumny 1

tutaj.

Możemy patrzeć na to jako na iloczyn tego wektora wierszowego

i tego wektora kolumnowego.

Dostajemy w wyniku 1 razy 5 dodać 2 razy 7.

Zgadza się?

Proszę bardzo.

A ten wyraz będzie iloczynem tego wektora wierszowego,

i tego wektora kolumnowego -- zrobię to innym kolorem --

czyli mamy 1 razy 6 dodać 2 razy 8.

Pozwólcie, że to zapiszę.

Czyli mamy 1 razy 6 dodać 2 razy 8.

Teraz idziemy na dół do drugiego wiersza.

I bierzemy informację wierszową z pierwszego wektora --

zakreślę go tym kolorem -- i mamy 3 razy 5

dodać 4 razy 7.

A teraz jesteśmy w prawym dolnym rogu, czyli jesteśmy

w dolnym wierszu i drugiej kolumnie.

A więc bierzemy naszą informację wierszową stąd,

a informację kolumnową stąd.

Czyli mamy 3 razy 6 dodać 4 razy 8.

No i teraz upraszczamy, to jest 5 dodać --

właściwie przypomnę jeszcze skąd

się wzięły te wszystkie liczby.

Mamy więc ten zielony kolor, tak?

Ta 1 i ta 2, to jest ta 1 i ta 2.

ta 1 i ta 2.

Zgadza się?

I zauważcie, te liczby były w pierwszym rzędzie tutaj

i są w pierwszym rzędzie tutaj.

A ta 5 i ta 7?

Cóż, to jest ta 5 i ta 7 i ta 5 i ta 7.

Interesujące.

To było w kolumnie nr 1 drugiej macierzy i jest w kolumnie

nr 1 iloczynu macierzy.

I podobnie 6 i 8.

To jest ta 6, ta 8 i jest użyta tutaj,

ta 6 i ta 8.

No i na koniec ta 3 i ta 4 na brązowo, a więc

ta 3, ta 4 oraz ta 3 i ta 4.

No i możemy oczywiście uprościć to wszystko.

To było 1 razy 5 dodać 2 razy 7, czyli 5 dodać 14

co daje 19.

To jest 1 razy 6 dodać 2 razy 8, czyli 6 dodać

16 czyli 22.

To jest 3 razy 5 dodać 4 razy 7.

Czyli 15 dodać 28, 38, 43 -- jeżeli się nie mylę --a potem mamy

3 razy 6 dodać 4 razy 8.

Czyli 18 dodać 32, co daje 50.

A teraz mam do was pytanie -- żebyście wiedzieli, jaki jest wynik mnożenia

-- napiszę go ładnie --

19, 22, 43, 50.

Mam do was pytanie.

Kiedy dodawaliśmy macierze, nauczyliśmy się, że jeżeli mieliśmy dwie macierze,

to nie miało znaczenia w jakiej kolejności je dodawaliśmy.

Czyli jeżeli mieliśmy A dodać B -- i to są macierze; dlatego

piszę je pogrubionymi literami -- mówiliśmy, że to jest to samo, co

B dodać A, opierając się na tym jak definiowaliśmy

dodawanie macierzy, B dodać A.

A więc teraz zadam wam pytanie.

Czy iloczyn dwóch macierzy AB -- to po prostu znaczy,

że mnożymy A i B -- czy to jest to samo co BA?

Czy to ma znacznie?

Czy kolejność macierzy w iloczynie ma znaczenie?

Odpowiedź jest taka, mogę to wam już teraz powiedzieć,

że ma ogromne znaczenie.

Okazuje się, zę są pewne macierze, które możecie dodać

w jednej kolejności, a nie możecie dodać w innej -- oj,

które możecie pomnożyć w jednej kolejności a nie możecie pomnożyć

w odwrotnej kolejności.

No cóż. Pokażę wam to na przykładzie -- ale

żeby pokazać, że to nie jest równe dla większości macierzy,

zachęcam was do pomnożenia tych macierzy

w odwrotnej kolejności.

Właściwie, zrobię to teraz.

Zrobię to bardzo szybko, żeby udowodnić

wam moją tezę.

Wymarzę tę górną część.

Wymarzę to wszystko. To też mogę wymazać.

No więc, mam nadzieję, że wiecie, że jeżeli mnożę tę macierz

przez tę macierz, dostaję to.

Teraz zmieńmy kolejność -- i zrobię to na prawdę szybko

żeby was nie znudzić -- w więć zmieniam kolejność

iloczynu macierzy.

To jest dobrze, bo to jest następny przykład. -- czyli

mnożę macierz 5, 6, 7, 8 przez tę macierz --

Po prostu zmieniłem kolejność i sprawdzamy czy

kolejność ma znaczenie -- 1, 2, 3, 4.

Obliczmy to. -- i nie będę znieniał kolorów i tak dalej.

Zrobię to po prostu systematycznie.

Myślę, że musicie po prostu zobaczyć dużo przykładów tutaj -- a więc ten

pierwszy wyraz bierze swoją informację wierszową z pierwszej

macierzy, informację kolumnową z drugiej macierzy.

A więc to jest 5 razy 1 dodać 6 razy 3, czyli to jest 5 razy 1 --

Napiszę to, a właściwie zmienię.

Pominę tu jeden krok -- OK czyli to jest 5 razy 1

dodać 6 razy 3 dodać 18.

Jaki jest drugi wyraz tutaj?

To będzie 5 razy 2 dodać 6 razy 4.

Czyli 5 razy 2 daje 10, dodać 6 razy 4 daje 24.

Dobrze, teraz wzięliśmy ten wiersz razy

ta kolumna tutaj.

OK, teraz jesteśmy tu na dole -- czyli teraz robimy ten wiersz,

ten wyraz tutaj na dole po lewej będzie

korzystał z tego wiersza i tej kolumny.

Czyli to jest 7 razy 1 dodać 8 razy 3.

8 razy 3 daje 24.

I na końću, żeby dostać ten wyraz, mnożymy

ten wiersz przez tę kolumnę, czyli to jest 7 razy 2

czyli 14, dodać 8 razy 4, dodać 32.

Czyli to jest równe 5 dodać 18 jest 23, 34.

Ile jest 7 dodać 24?

To jest 31, 46.

Czyli zauważcie, gdybyśmy nazwali tę macierz A, a tę

macierz B, dobrze?

W poprzednim przykładzie pokazaliśmy, że A ray B jest równe

19, 22, 43, 50.

A teraz pokazaliśmy, że jeżeli odwrócimy kolejność,

B razy A jest tą zupełnie inną macierzą.

A więc kolejność w jakiej mnożymy

macierze ma znacznie.

Kończy mi się czas.

W następnym filmie powiem więcej o

typach macierzy -- cóż, jedno już wiemy, że kolejność ma znaczenie,

a w następnym filmie pokażę wam, jakie typy macierzy,

mogą być przez siebie pomnożone.

Kiedy dodawaliśmy albo odejmowaliśmy macierze, mówiliśmy, że

muszą mieć takie same wymiary, ponieważ

dodajemy albo odejmujemy odpowiadające sobie wyrazy.

Ale zobaczycie, że z mnożeniem jest trochę inaczej.

Zrobimy to w następnym filmie.

Do zobaczenia.