Matrix multiplication (part 1)

Multiplying two 2x2 matrices.

.

حسناً، بعد العرض الاخير، اتمنى ان

موضوع جمع المصفوفات اصبح مألوفاً لنا

والآن دعونا نتعلم كيفية ضرب المصفوفات

وتذكروا، ان هذه التعريفات من ابتكار الانسان

اي ضرب المصفوفات

يمكننا الوصول الى طرق مختلفة

لضربها

لكني احفزكم على تعلم هذه الطريقة لأنها ستساعدكم

في دروس الرياضيات

وسنرى لاحقاً ان هناك العديد من

التطبيقات التي نتجت من هذا النوع من

ضرب المصفوفات

لذا دعوني افكر في مصفوفتين

سأتعامل مع مصفوفات 2×2، ودعونا نضربهم

دعونا نفترض --اسمحوا لي ان اختار اعداداً عشوائية: 2

-3، 7، و 5

وسأضرب تلك المصفوفة، او ذاك الجدول من

الاعداد، بـ 10، -8 --دعوني اختار عدداً جيداً

هنا-- 12، ثم -2

والآن ربما يكون هنالك اندفاع قوي --وانتم تعلمون

بطريقة ما انه ليس مجرد اندفاع غير منطقي-- كي

تفعل مع الضرب نفس الشيئ الذي فعلته

في الجمع، حتر تضرب

العبارات المتماثلة. لذا ربما تود لو تقول، حسناً، العبارة الاولى

هنا، اي عبارة 1، 1، او الصف الاول و

العامود الاول، سيكون 2 × 10

وهذه العبارة ستكون -3 ×

-8 وهكذا دواليك

وهكذا قمنا بجمع المصفوفات وربما انه

امتداد طبيعي لضرب المصفوفات بنفس الطريقة

وهذا منطقي

ربما سيعرفه احدهم هكذا، لكن هذه ليست الطريقة الموجودة

في الحقيقة

والطريقة الموجودة في الحقيقة

لسوء الحظ، تكون اكثر تعقيداً

لكن اذا نظرتم الى مجموعة من الامثلة

التي اعتقد انكم استوعبتموها

وستتعلمون انها

مباشرة جداً

فكيف نقوم بذلك؟

اذاً العبارة الاولى في الصف الاول و

العامود الاول، تساوي متجه الصف الاول

--لا، متجه الصف الاول هذا--

× متجه العامود

والآن ماذا اعني بذلك، اليس كذلك؟

انه يأخذ معلومات الصف من

صف المصفوفة الاولى، ويأخذ معلومات العامود من

عامود المصفوفة الثانية

كيف افعل ذلك؟

اذا كان الجداء القياسي مألوفاً لك، فإنه في الاساس

جداءاً قياسياً لهاتان المصفوفتان

او دون ان نقول ذلك بشكل وهمي، انه عبارة عن هذا الـ 2

× 10، اذاً 2 --سأكتب بخط صغير-- × 10 +

-3 × 12

ستنفذ المساحة لدي

والآن ما هي العبارة الثانية هنا؟

حسناً، لا زلنا في الصف الاول من متجه الحاصل لكن

الآن نحن في العامود الثاني

حصلنا على معلومات العامود من هنا

دعونا نختار لون جيد --هذه درجة مختلفة قليلاً

من اللون البنفسجي--

اذاً الآن هذا سيكون --سأكتب ذلك

بلون آخر-- 2 × -8-- دعوني اكتب العدد

2 × -8 = -16، + -3 × -2

كم حاصل -3 × -2؟

هذا يساوي 6، اليس كذلك؟

وذلك يقع في الصف 1 العامود 2

انه -16 + 6

والآن دعونا ننتقل الى الاسفل هنا

الآن نحن في الصف الثاني

وسوف نستخدم --لقد حصلنا على معلومات الصف

من المصفوفة الاولى-- اعلم ان هذا

مزعجاً وانا اشعر شعوراً سيئاً حيال ذلك، لكننا سنقوم

بحل مجموعة من الامثلة واعتقد انها ستوضح الامر--

اذاً هذه العبارة --العبارة السفلية على اليسار-- ستكون هذا الصف

× هذا العامود

اي ستكون 7 × 10، اي 70، + 7 × 10

+ 5 × 12، اي 60

ثم العبارة السفلية على اليمين ستكون 7 ×

-8، وهي ما يساوي 56 + 5 × -2

وهذا يساوي -10

اذاً الحاصل النهائي سيكون 2 × 10 = 20،

-36، وذلك يساوي -16 + 6، اي يساوي 10

90 --هل هذا ما قلته؟

لا، بل كان --70 + 60 = 130

ثم -56 - 10 = -66

اذاً حصلنا عليه

لقد ضربنا هذه المصفوفة بهذه المصفوفة

دعوني احل مثالاً آخر

واعتقد انني سأضغطه في هذا الجانب

لكي نستطيع الكتابة في هذا الجانب بشكل جيد

دعونا نأخذ المصفوفة، 1, 2, 3, 4 ×

المصفوفة 5, 6, 7, 8

الآن لدينا مساحة كبيرة لنقوم بالحل بها، بالتالي يكون الحل

اكثر تنظيماَ

حسناً، لكنني سأفعل نفس الشيئ، وحتى نحصل على هذه

العبارة هنا --العبارة العلوية اليسرى-- سنأخذ

--او تلك التي تمتلك الصف 1 العامود 1-- سوف نأخذ

معلومات الصف 1 من هنا

ومعلومات العامود 1 من هنا

لذا يمكنك ان تعتبره متجه الصف

× متجه هذا العامود

والناتج يكون 1 × 5 + 2 × 7

1 × 5 + 2 × 7

صحيح؟

هيا بنا

وهذه العبارة، ستكون متجه هذا الصف ×

متجه هذا العامود --دعوني افعل ذلك بلون مختلف-- ستكون

1 × 6 + 2 × 8

دعوني اكتب ذلك

انها 1 × 6 + 2 × 8

1 × 6 + 2 × 8

الآن ننتقل للاسفل الى الصف الثاني

ونحصل على معلومات الصف من المتجه الاول --دعوني

احيطه بهذا اللون-- وهو 3 × 5

+ 4 × 7

3 × 5 + 4 × 7

والآن نحن في اسفل اليمين، نحن في

الصف السفلي والعامود الثاني

ونحصل على معلومات الصف من هنا وعلى

معلومات العامود من هنا

اذاً 3 × 6 + 4 × 8

3 × 6 + 4 × 8

واذا بسطنا، هذا 5 +

--حسناً في الواقع، دعوني اذكركم من اين

اتت جميع الاعداد

اذاً لدينا ذلك اللون الاخضر، صحيح؟

هذا 1 وهذه 2، هذا 1 وهذه 2

هذا 1 وهذه 2

صحيح؟

ولاحظوا، كان هذان في الصف الاول وفي

الصف الاول هنا

وهذه 5 وهذه 7

حسناً، هذه 5 وهذه 7، وهذه 5 وهذه 7

امر ممتع

كان هذا في العامود 1 من المصفوفة الثانسة وهذا في

العامود 1 في المصفوفة الناتجة

وبشكل مشابه، الـ 6 و الـ 8

هذه 6، وهذه 8، ثم تم استخدامها هنا، هذه 6

وهذه 8

ثم اخيراً هذه 3 وهذه 4 باللون البني، اذاً

هذه 3 وهذه 4، وهذه 3 وهذه 4

ويمكننا بالطبع ان نبسط ذلك جميعه

كان هذا 1 × 5 + 2 × 7، اي 5 + 14

ويساوي 19

هذا 1 × 6 + 2 × 8، اي 6 +

16، ويساوي 22

هذا 3 × 5 + 4 × 7

اي 15 + 28، 38، 43 --هذا اذا كانت حساباتي صحيحة-- ثم

لدينا 3 × 6 + 4 × 8

اي 18 + 32 = 50

والآن اسمحوا لي ان اسألكم --كما تعلمون ان

المصفوفة الناتجة-- سأكتبها بشكل منظم --هي

19, 22, 43, و 50

الآن دعوني اسألكم سؤالاً

عندما قمنا بجمع المصفوفات تعلمنا انه اذا كان لدي

مصفوفتان --لن اهتم للترتيب الذي جمعناهم به--

فاذا قلت A + B --وهما عبارة عن مصفوفات، لهذا السبب

كتبتهما بخط سميك-- لقد قلنا ان هذا يعادل

B + A، استناداً الى كيفية تعريف

جمع المصفوفة، B + A

الآن دعوني اسألكم سؤالاً

هل عملية ضرب مصفوفتان، هل AB --ذلك يعني

اننا نضرب A و B-- هل هذا يعادل BA؟

.

هل يؤثر؟

هل يؤثر الترتيب في عملية ضرب المصفوفات؟

سأخبركم الآن، في الواقع انه يؤثر

بمقدار كبير

وفي الواقع يوجد مصفوفات نعينة يمكنك جمعها

باتجاه واحد ولا يمكنك جمعها بالاتجاه الآخر

--يمكنك ان تضربها باتجاه واحد ولا يمكن ضربها

بالترتيب الآخر--

حسناً، سأوضح لكم ذلك بمثال --لكن من اجل

التوضيح، ان ذلك لا يكون مساوياً لمعظم المصفوفات، وانا

احفزكم على ان تضربوا هاتان المصفوفتان

بالترتيب الآخر

في الواقع، اسمحوا لي ان اقوم بذلك

دعوني افعل ذلك بسرعة حتى اثبت

النقطة لكم

لذا دعوني امحو كل هذا الجزء

.

دعوني امحوه جميعه، ويمكنني ان امحو الى هذا الحد

واتمنى، انكم تعلمون انه عندما اضرب هذه المصفوفة

بهذه المصفوفة، سأحصل على هذه

اذاً دعوني ابدل الترتيب --وسأفعل ذلك بسرعة

لكي لا اجعلكم تشعرون بالملل-- دعوني اغير ترتيب

ضرب المصفوفات

وهذا جيد كمثال آخر --سوف

اضرب هذه المصفوفة 5, 6, 7, 8 × هذه المصفوفة و

اغير الترتيب، وسنختبر ما اذا كان

الترتيب سيؤثر --1, 2, 3, 4

دعونا نفعل ذلك --ولا اريد استخدام جميع الالوان--

سأفعل ذلك بأسلوب منهجي

اعتقد انه عليك ان ترى العديد من الامثلة هنا --اذاً هذه

العبارة الاولى وقد اخذت معلومات الصف من

المصفوفة الاولى، ومعلومات العامود من المصفوفة الثانية

وهي 5 × 1 + 6 × 3، اي 5 × 1

--دعوني اكتب، او اضيف

سأتخطى خطوة هنا --حسناً، انه 5 × 1

+ 6 × 3، اي + 18

ما هي العبارة الثانية هنا؟

ستكون 5 × 2 + 6 × 4

5 × 2 = 10، + 6 × 4 = 24

صحيح؟ الآن نأخذ هذا الصف × هذا

العامود هنا

حسناً، الآن نحن في الاسفل هنا --ثم سنتعامل مع هذا

الصف، هذا العنصر الموجود في الاسفل على اليسار سوف

يستخدم هذا الصف، وهذا العامود

انه 7 × 1 + 8 × 3

8 × 3 = 24

ثم اخيراً، حتى نحصل على هذا العنصر

سنضرب هذا الصف بهذا العامود، اذاً 7 × 2

= 14، + 8 × 4 = 32

وهذا يساوي 5 + 18 = 23، 34

كم ناتج 7 + 24؟

انه 31، 46

اذاً لاحظوا، اذا سمينا هذه المصفوفة A وهذه

المصفوفة B، اليس كذلك؟

في المثال الاخير، لقد وضحنا ان A × B = 19

22, 43, 50

وقد وضحنا ذلك، حسناً، اذا عكست الترتيب، B

× A فإن هذه مصفوفة مختلفة تماماً

اذاً الترتيب الذي تضرب به

المصفوفات يؤثر بشكل كبير

لقد انتهى الوقت

في العرض التالي سأتحدث اكثر عن

انواع المصفوفات --حسناً، اولاً نحن نعرف ترتيب المصفوفات--

وفي العرض التالي سأوضح ما هو نوع

النصفوفات التي يمكن ان تضرب ببعضها

عندما نجمع او نطرح المصفوفات، نقول، حسناً

يجب ان تحتويا على نفس الابعاد لأننا

نجمع او نطرح عبارات متماثلة. لكنك

سترى ان الامر في الضرب مختلفاً قليلاً

وسنفعل ذلك في العرض التالي

اراكم قريباً

.