Conic Identification 3

Bakalım biraz daha konik tanımlama problemleri yapabilecek miyiz.

-

Elimizde x kare artı y kare eksi 2x artı 4y eşittir 4 işlemi var.

-

İlk yapmanız gereken şey bunun hangi tür konik arakesit olduğunu bulmaktır.

-

Bu benim x kare terimim, bu da y kare.

-

Bunlar denklemin aynı tarafındalar.

Ve pozitif katsayıları var.

Yani uğraştığımız şey bir elips.

-

Bu durumda katsayılar eşittir.

-

İkisi de artı 1.

Bu bana bunun bir çember olduğunu gösterecek.

Hadi bunu standart şekle sokalım.

Sonra da grafiğe yansıtalım.

Yani kareyi tamamlamaya çalışacağız.

x değerlerini alalım.

Çünkü çemberi tamamlamak için elimizde x kare eksi 2x artı bir şey olacak.

Artı, ve şimdi de y kare değerlerini yapalım.

y kare artı 4y artı bir şey eşittir 4'e.

Ve şimdi neredeyiz?

Eksi 2'nin bir bölü ikisini alıyoruz, o da eksi 1.

Bunun da karesini alıyoruz.

Yani artı 1.

1 ekliyoruz.

Burada dışarıda olan bir şey yok, bu yüzden 1'i denklemin sol kısmına ekledik.

-

Yani sağ tarafa da 1 ekleyeceğiz.

Ve 4'ün bir bölü ikisini alıyoruz.

Yani 2.

2'nin karesi 4.

Buraya 4 koyduk.

Yani sağ tarafa da 4 eklememiz lazım.

4 ekledik çünkü 4'le çarpılan hiçbir şey yok şu anda.

-

Yani bu x eksi 1 kare artı y artı 2 kare eşittir 4 artı 1 artı 4 yani 9'a.

-

Ve şimdi bulduk.

Elimizde çemberin standart biçimdeki denklemi var.

Hatırlayın, eğer çemberin merkezi 0 ise, standart biçim x kare artı y kare eşittir r karedir.

-

Yani bu r kare, yarıçapın karesi.

Yani yarıçap 3'e eşit.

Ve merkezi de 1'e eksi 2 noktasıdır.

-

Neden peki?

Neyin bu denklemi 0 yapacağını düşünmeliyiz çünkü.

Bu 0 noktasıydı.

Ama şu an x koordinatı 1.

Ve bu denklemi sıfır yapacak şey, y eşittir sıfırdır.

-

Yani bu durumda y eşittir eksi 2.

Çemberimiz bu.

Yarıçap da bu, ve çemberi grafiğe dökmeye hazırız.

-

-

-

1'e eksi 2 noktasında olacak.

-

Yani burada.

Yani bu çember burada başlayacak.

Bu 1 noktası olacak.

Yani merkeze çok yakın.

-

İşte merkezde.

1'e eksi 2 noktasında.

Ve yarıçapı 3.

Yani bu uzaklık her yönde 3.

-

3.

Bu çok kolay bir problemdi.

Çemberler bazı yönlerden en kolayıdır.

Hatırlayın, bu bir elips olacak demiştim.

Yani bu, elips için standart formül.

-

Yani iki tarafı da 9'a bölerseniz ne elde edersiniz?

-

x eksi 1 kare bölü 9 artı y artı 2 kare bölü 9 eşittir 1'e.

-

Yani yatay eksen, ya da yatay çap 3 olacaktır.

-

Ya da yatay yarıçap 3 olacaktır.

Ve dikey yarıçap da 3 olacaktır.

Çünkü bu elipste yarıçap değişmez.

Yani gerçekten bir çember.

Hadi bir tane daha yapalım.

Bunları bildiğinize emin olalım.

Elimizde 2x kare artı y artı 12x artı 16 eşittir 0 var.

x kare ve y kare değerlerine bakalım.

0 kareli bir terimdir.

Ama y kare terimi yok.

Yani bu bir tip bilmece.

Bu bizi konik kesitlerimizin dördüncüsüne götürecek.

İlk videoda bahsetmiştik ama üstünde durmamıştık.

-

Parabol bu.

Parabol olduğunu nereden anlarım?

İlerideki videolarda parabollerin değişik biçimlerine değineceğim.

-

Ve bütün noktaların nasıl bir noktaya ve bir doğruya eşit uzaklıkta olduğuna değineceğim.

-

Ama bilirsiniz ki en basit parabol y eşittir x karedir.

-

Parabol buna benzer.

Tepe noktası orijindir.

Ya da x eşittir y kare dersek buna benzer.

-

Yanlamasına şekildedir.

Tepe noktası yine orijindir.

Bunun bir parabol olduğunu biliyoruz çünkü y ve x kare değerlerimiz var.

-

Bunlar farklı dereceler.

y'nin ikinci derece terimi yok.

Bunu size tanıdık gelecek bir forma sokmak için, sol taraftan y dışında her şeyi çıkaralım.

-

yani y eşittir eksi 2x kare eksi 12x eksi 16.

Bu sizin bildiğiniz form.

-

Bu parabolun sıfırlarını bulmayı biliyorsunuzdur, hadi şimdi bunu yapalım.

-

Bu denklem ne zaman x ekseni ile kesişir?

-

y eşittir sıfır ise.

Yani bu, sıfıra eşittir.

2x kare eksi 12x eksi 16 elde ederiz.

Bu genelde yaptığımızdan farklı.

Normalde kareyi tamamlamaya çalışırdım.

-

Ama ilk önce parabolun sıfırlarını bulmalıyım.

Yani sıfır eşittir eksi 2 kere - eksi 2'yi çarpanlarına ayırırsak x artı 6x artı 8 elde ederiz.

-

Yani bu sıfır, eksi 2 çarpı x artı 2 kere x artı 4'e eşittir.

-

Yani her şeyin sıfır olabilmesi için, ya bu sıfırdır ya da bu.

-

Yani ya x artı 2 sıfıra eşittir, ya da x artı 4 sıfıra eşittir.

-

Yani x eşittir eksi 2 ve x eşittir eksi 4.

Bu parabolun iki sıfırı bunlardır.

Bu parabol ile ilgili bir şeyi kesin biliyoruz, ki bunu cebir sınıflarınızda yapmışsınızdır.

-

x eksenini çizseydik, parabol x eksenini 1 ve eksi 2 noktalarında, ya da 3 ve eksi 4 noktalarında keserdi.

-

Şu ana kadar bunu biliyoruz.

Bakalım bu parabol hakkında daha çok şey öğrenmek için kare tamamlama becerimizi kullanabilir miyiz?

-

-

-

-

Bunu tekrar yazacağım.

Yani y eşittir - işte bununla uğraşıyorum.

Şimdi x değerlerini olduğu gibi alalım ve eksi 2'yi ayıralım.

-

Eksi 2 çarpı x kare artı 6x.

Bir şey daha ekleyeceğim.

Ve şimdi eksi 16 elde ettim.

Tam kare elde etmek için 6'nın bir bölü ikisini almalıyım.

-

Yani 3.

3'ün karesi 9.

Eğer denklemin sağ tarafına 9 eklersek - ama sadece 9 eklemedim.

-

Bu 9 çarpı eksi 2.

Çıkarırsam, bu eksi 18, eğer sağ taraftan 18 çıkarırsam sol taraftan da çıkarmalıyım.

-

Yani eksi 18.

Ve şimdi denklem y eksi 18 eşittir eksi 2 çarpı?

-

x artı 3 kare eksi 16.

Hadi bunu bildiğimiz bir forma sokalım.

-

İki tarafa da 16 ekleyelim.

İki tarafa da 16 eklersek, y eksi 18, artı 16.

Bu y eksi 2 olacak, fakat çevresine parantez koyacağım.

-

Eşittir eksi 2 çarpı x artı 3 kare.

Neden bu forma soktum diye soracaksınız.

Çünkü bu bize yardım edecek, diğer konik kesitlerde de bu tipi görürüz.

-

Size y eşittir x kareyi grafiğe dökün desem.

-

Bunun gibi bir şeye benzerdi.

Buraya biraz eksen çizin.

y eşittir x kare bunun gibi bir şeye benzer.

Bir parabole benziyor.

Aslında bu bir parabola, tepe noktası 0'da.

-

Tepe noktası parabolun en yüksek ya da en alçak noktasıdır.

-

Hesaplamaya geçtiğimizde bununla ilgili çok daha fazla şey öğreneceksiniz.

-

Ama hatırlayabilirsiniz, U'nun altı ya da üstü.

-

y eşittir eksi x kareyi çizseydim, bazı noktaları işaretleyebilirdiniz.

-

Ama bunun gibi bir şeye benziyor.

Eğer y eşittir 2x kareyi grafiğe dökmeyi deneseydim, y eşittir x kare gibi olurdu, ama iki kat daha hızlı yukarı çıkardı.

-

-

Buna benzerdi.

Tepe noktası orijindir.

Eğer y eşittir eksi 2x kareyi çizseydik, bunun gibi bir şey olurdu.

-

Aşağı doğru açılırdı ve iki kat hızlı aşağı giderdi.

Bu denklem, y eşittir eksi 2x kare ile aynı şey.

-

Aynı ana hatlara sahip.

Fakat tepe noktası değişmiş durumda, orijinde değil.

-

-

Hangi y değeri bu terimi sıfır yapar?

y eşittir 2.

Neden sıfır yapan değeri arıyoruz?

Çünkü orijindeyiz.

Hangi x değeri bunu sıfır yapar?

x eşittir eksi 3.

Bu bize tepe noktasının nerede olduğu ile ilgili bilgi verir.

Tepe noktası x eşittir eksi 3, y eşittir 2 koordinatlarındadır.

Yani olduğu yer x eşittir 1,2,3.

Ve y eşittir 1,2.

Bu iki noktayı çoktan biliyoruz, çünkü bunun 0 olduğunu bulduk.

-

Bilmeseydik bile, y eşittir eksi 2x kare ile aynı şekle sahip olduğunu biliyoruz.

-

-

Yani aşağı doğru açılacak.

Bunun gibi.

Ve y eşittir eksi x kareden daha hızlı olacak.

Buna benzeyecek.

Ve bu noktalardan geçtiğini biliyoruz.

-

İşte böyle.

Artık her konik kesit türüne değindik.

Sonraki iki videoda, konik kesit teorisi hakkında daha derinlere ineceğim.

-

-

Fakat bence cebir testinde karşınıza çıkacak pek çok soruyu şu anda cevaplayabilirsiniz.

-

Görüşmek üzere.