Singular Matrices

也许比求矩阵的逆更有趣的是

判断它的逆矩阵什么时候不存在

或者说什么时候没定义

当一个方阵没有逆矩阵时

或者它的逆矩阵没定义的时候

我们称之为奇异矩阵 接下来就是

研究什么样的矩阵是奇异矩阵

以及怎样运用在不同的

处理矩阵的问题中

假设这有个2×2的矩阵

因为这样的例子更简单

而且它能运用到任何阶数的实际方阵中

所有我们先用2×2的矩阵

它的元素是a,b,c和d

那么它的逆矩阵是什么？

相信这个你们能马上反应过来了

它等于1除以A的行列式

再乘上A的伴随矩阵

在这种情况下 a与d的位置互换

变成d和a

b和c取负数

变成-c和-b

那么我要问你们的问题是

怎样才能使这个式子没有定义？

当然不管这里面元素是多少

如果这里的元素有定义

那么我交换这里或者那里取相反数后

并不会改变这一部分表达式

但是有什么办法能

让这里的除数是0

如果矩阵A的行列式没有定义

所有A的逆也没有定义 当且仅当――

有时候我们简写成iff――

当且仅当A的行列式等于0

从另一个角度看

如果任何矩阵的行列式等于0

那么这个矩阵是奇异矩阵

它不可逆 或者说它的逆没定义

从概念上考虑

我们至少要思考的以下两个问题

行列式为0表示什么

另一个是能否通过直觉来判断

为什么一个矩阵不可逆

那么行列式为0表示什么？

在这种情况下 2×2的行列式又表示是什么

A的行列式等于什么？

它等于ad-bc

因此如果这表达式等于0

那么这个矩阵是奇异的 或者说它不可逆

我把它写在这

如果ad等于bc――

我们可以把式子处理一下

我们说如果a/b等于c/d

即在等式两边

同时除以b和d

如果a：b的比值等于c：d的比值

则可以说矩阵不可逆

或者换一种写法

如果a/c――

如果等式两边 同时除以c和d――

即等于b/d

使这个矩阵奇异的另一种情况是――

它们其实都是换汤不换药

如果它成立 则它也成立

它们是一个意思

只是用了一点代数变换

但若a：c的比值等于b：d的比值

你可以考虑一下 为什么它们一样

a：b的比值等于

c：d的比值

但无论怎样 我希望你不要迷惑

来看看它是如何转变成

我们遇到的问题

假如我们遇到这样的问题

假设有以矩阵形式表示的

线性方程的问题

实际上 它可以表示为任何一个线性方程问题

矩阵[a,b;c,d]乘上[x,y]等于

另外两个未知的值[e.f]

如果已知这个矩阵方程

它代表一个线性方程组

那么这个线性方程问题

其实就是ax+by=e

以及cx+dy=f

我们要求它们的交点

交点就是解

就是这个方程的解向量

为了直观地感受

这两个直线是什么样的

我将其改写成用x表示y的形式

这将是什么？

在这种情况下 y等于什么？

等于y=-(a/b)x+e/b

我跳了一些步骤

两边同时减去了ax

然后同除以b

就得到这个结果

对于这个等式

把它化成相同的形式

解出y

得到y=-(c/d)x+f/d\N【此处有笔误 视频中未修正】

我们考虑这些

我需要换一种颜色 因为它看起来――

我们考虑如果这项成立

那么这两个等式会变成什么

其实如果这项成立

那么就不会有行列式

从而这就是一个奇异矩阵

从而没有逆矩阵

既然它没有逆矩阵

你就不能通过两边同时乘以逆的方法

来解这个方程

因为逆根本就不存在

我们考虑这里

如果它成立 则行列就不存在

然而从这些等式的直观上来看

它意味着什么呢？

如果a/b=c/d

这两条直线就有相同的斜率

它们斜率相同

如果这两个表达式不同

那么从中能得到什么？

如果这两条直线斜率相同

而纵坐标不同

那么它们相互平行

它们永远不会相交

我画出来 你会得到――

上面这个直线方程――

这些不一定是正数

但是不妨设这个为负值

我就画一个负的斜率

这是第一条直线

它的纵坐标为e/b

就是这条直线

然后是第二条直线――

我换一种颜色――

我不知道它是在第一条直线的上面还是下面

但是二者肯定是平行的

它就像这样

这是纵坐标―― 所以就是这条直线――

它的纵坐标为f/y

如果e/b和f/y不相同

但是这两条直线有相同形式的方程

即它们相互平行 永不相交

因此方程组没有解

如果有人告诉你――

用传统的方法

或者使用替换法

或者通过加减等式――

你都不能找到一个解

使得二者相交 前提是a/b=c/d

理解奇异矩阵的一种方式是

将它们看做是平行线

现在你可能会说

如果e/b=f/y 那么这两条线就相交了

如果这两项相等

那么它们就是相同的直线

它们不仅仅是相交

而是重合了

但你仍然没有得到唯一解

这个方程组不只有一个解

它对于所有的x和y值都成立

所以当你把矩阵应用到这类问题时

你就可以这么考虑

这个矩阵是奇异的

如果这两条直线

相互平行

甚至是重合的

它们相互平行 永不相交

或者是重合的

相交于无穷多个点

这样A的逆没有定义

或许就能说得通

我们来考虑

向量的线性组合

我不是想擦掉它

当我们用因子的线性组合

考虑问题时

通常用这样的方式

它与下式是相同的

即[a,c]x+[b,d]y

等于向量[e,f]

我们进一步考虑

考虑是否有[a,c]和[b,d]线性组合

等于向量[e,f]

我们刚刚说过它没有逆

因为我们知道这个行列式等于0

如果这个行列式等于0

那么在本题中a/c一定等于b/d

a/c一定等于b/d

这表明了什么？

我画出来

也许代入具体数值会好一些

但我想你应该有这种直觉

我就画出四分之一圆

假设两个部分都在其中

我画出来

向量[a,c]

假设这是a

我换一种颜色

继续画向量[a,c]

如果这是a 这是c

那么向量[a,c]就像这样

我画一下

我要写得简洁一些

向量[a,c]就像这样

这里有个箭头

向量[b,d]是什么样呢？

向量[b,d]――

我可以把它画在任意的位置

我们假设它没有导数――

抱歉 是没有行列式

我一直都把“行列式”说成“导数”了吗？

但愿不是这样

我们假设

这个矩阵没有行列式

如果行列式不存在

则有a/c=b/d

另一种考虑方式是c/a=d/b

这表明

这两个向量有相同的斜率

如果它们都从0点出发

它们的方向相同

而它们的长度不同

方向是相同的

如果这是点b 这是点d

向量[b,d]就在这里

如果你还看不出来

那么如果这项成立

就考虑为什么这两个向量

指向同一个方向

这个向量有一部分与前者重叠

方向与前者是相同的

而长度是不同的

其实应该说长度有可能相同

现在的问题是

我们不知道向量[e,f]是多少

我们任取一些点

假设这个是e 这个是f

这个就是向量[e,f]

我换一种颜色

比如说向量[e,f]在这

我要问的问题是

如果这两个向量方向相同

也许长度是不同的

那么是否可以通过这两个向量的线性组合

来构造出这个向量？

答案是否定的 你可以将这个向量伸缩或加减

你所能做的都是沿着这条直线

你能得到的是

这些向量的一个倍数

因为它们方向相同

所以不能得到

其他方向上的任何向量

如果这个向量处在一个不同的方向上

那么这个方程组就无解

如果这个向量恰好

与前两个向量同向

那么就有一个解

就是将它伸缩

事实上 存在着关于x和y的

无穷多个解

如果向量的方向不同

那么就无解

不存在这样的线性组合

使得这个向量加这个向量等于这个向量

你还要再仔细思考一下

然后应该就会明白

另一种考虑方式是

当你对向量做加法时

任何其他的向量

为了沿着这个方向移动

需要有这个方向

以及另一个方向

这样才能得到另一个向量

如果两个向量

方向相同

就不能得到方向不同的向量

无论如何 我一直在

重复地解释同一内容

但我希望能够给大家

一点直观的感觉

现在你知道了什么是奇异矩阵

知道了什么时候逆不存在

知道了当行列式为0时

矩阵不存在逆

我希望――

以下是本次课的关键――

你要理解为什么会这样

因为如果你考虑向量的问题

你不能找到――

或者不存在这样的解

使得这两个向量

构成那个向量的线性组合

或者有无穷多个解

同样的事情

对于求两条直线的交点也是成立的

它们或者平行 或者重合

如果行列式等于0

我们下次课见