Singular Matrices

Talvez mais interessante do que encontrar o inversa de uma

matriz é tentar determinar quando o inverso de uma matriz

existe. Ou então é indefinido.

E uma matriz quadrada que não possui inversa, ou

a inversa é indefinida, é chamada matriz singular.

Então, vamos pensar em como uma matriz singular vai ser,

e como isso se aplica aos diferentes problemas que

resolveremos usando matrizes.

Então se eu tiver uma 2 por 2, e seja esse

apenas um exemplo mais simples.

Mas isso se aplica a qualquer tamanho de matriz quadrada.

Então vejamos essa nossa matriz 2 por 2.

Seus elementos são 'a', 'b', 'c' e 'd'.

Qual é o inverso dessa matriz?

Espero que isso seja novidade pra você.

É 1 sobre o determinante de 'a' vezes o adjunto de 'a'.

E nesse caso, você apenas troca esses dois termos. Então você

tem um 'd' e um 'a'.

E você faz esses dois termos negativos.

Então você tem menos 'c' e menos 'b'.

Minhas pergunta pra você é, o que fará essa

expressão indefinida?

Bem, não faz diferença que números são esses que eu tenho. Se eu tenho

números aqui que fazem uma definida, então eu posso obviamente

trocá-los ou fazê-los negativos, e não alterará

essa parte da expressão.

Mas o que criaria um problema é se nós tentássemos

dividir por zero aqui.

Se o determinante de uma matriz A fosse indefinido.

Então A inversa é indefinida, se e somente se -- e em matemática eles

às vezes escrevem isso com dois 'f' -- se e somente se o

determinante de A i é igua a 0.

Então a outra forma de ver isso é, i um determinante de qualquer

matriz é igual a 0, então essa matriz é uma matriz

singular, e não tem inversa, ou a inversa é indefinida.

Vamos pensar sobre termos conceituais, pelo menos os

dois problemas que vimos, o que um determinante igual a zero

significa, e vejamos se nós podemos ter alguma intuição no

por que não há inversa.

Então o que é um determinante igual a 0?

Nesse caso, o que é um determinante de uma 2 po 2?

Bem, o determinante de A é igual a quanto?

É igual a a<i>d - b</i>c

Então essa matriz é singular, ou não tem inversa, se essa

expressão for igual a 0.

Deixe-me escrever isso aqui.

Se a<i>d é igual a b</i>c -- ou nós podemos manipular isso

e poderemos dizer se a/b é igual a c/d -- eu apenas dividí

ambos os lados por 'b', e dividí ambos os lados por 'd' -- então se a

razão de a/b é a mesma que a razão de c/d, então essa

não terá inversa.

Ou um outro modo que poderíamos escrever essa expressão, se a/c -- se eu

dividir ambos os lados por 'c', e dividir ambos os lados po 'd' -- é

igual a b/d.

Um outro modo em que isso seria singular é se -- e é

na verdade o mesmo modo --

se isso é verdade, então isso é verdade.

São o mesmo.

Só um pouco de manipulação algébrica.

Mas se a razão de a/c é igual a razão de b/d, e

você pode imaginar porque é a mesma coisa.

A razão de a/b sendo a mesma coisa

que a razão de c/d.

Mas de qualquer modo, eu não quero lhe confundir.

Mas pensemos em como traduzir isso para alguns dos

problemas que vimos.

Digamos que queremos ver o problema -- vamos

dizer que nós temos essa matriz representando a equação

linear do problema.

Bem, na verdade, seria 1.

Então eu tenho 'a', 'b', 'c', 'd' vezes 'x'. 'y' é igual a dois outros

números que ainda não usamos, 'e' e 'f'.

Se temos essa matriz representando o

problema da equação linear, então o problema da equação linear

seria traduzido como a<i>x + b</i>y = e.

E c<i>x + d</i>y = f.

E queremos ver onde esses dois se intersectam.

Isso seria a solução, o vetor

solução do nosso problema.

E então, apenas para ter uma ideia visual do que essas

duas linhas representam, vamos pô-las na

forma de interseção com y.

Então isso se tornaria o quê?

Nesse caso, 'y' pe igual a quanto?

'y' é iguala (-a/b)*x + e/b

Eu estou pulando alguns passos.

Mas você subtrái a*x de ambos os lados.

E depois dividi ambos os lados por 'b', e terá isso.

Então essa equação, se você pô-la na mesma forma,

resolverá para 'y'.

Você terá 'y' igual a menos c/d * x + f/y.

Então vamos pensar sobre isso.

Eu provavelmente deveria mudar as cores porque está parecendo muito--

Vamos pensar sobre como essas duas equações se pareceriam

se isso aqui prevalecer.

E nós dissemos se permanecer, então não teremos determinante,

e essa se torna uma matriz singular, e não tem inversa.

E uma vez que não tem inversa, você pode resolver essa equação

multiplicando amos os lados pela inversa, porque a

inversa não existe.

Então vamos pensar aobre isso.

Se é verdade, nós não temos determinante, mas o que

isso quer dizer intuitivamente, nos termos dessas equações?

Bem is a/b é igual a c/d, essas duas linhas terão

a mesma inclinação.

Terão a mesma inclinação.

Então se essas duas expressões são diferentes, então o que nós

sabemos sobre elas?

Se duas linhas que possuem a mesma inclinação e diferentes

interseções com 'y', elas serão paralelas entre si, e nunca,

nunca se cruzaram.

Então deixe-me desenhar isso, apenas para que você-- essa llinha--