Singular Matrices

Pöördmaatriksi leidmisest veelgi huvitavam on selliste

juhtude väljaselgitamine kus pöördmaatriksit ei leidu

või kui see ei ole defineeritud.

Ruutmaatriksit, millel ei leidu pöördmaatriksit, mille pöördmaatriks

ei ole defineeritud, nimetatakse singulaarseks maatriksiks.

Mõtleme hetkeks milline võiks singulaarne maatriks

välja näha ja kuidas see rakendub erinevatele probleemidele

mida me oleme maatriksitega seoses vaadelnud.

Kui mul oleks 2 korda 2, kuna see on

vaid lihtsam näide.

Aga see kohaldub suvaliste mõõtmetega ruutmaatriksile.

Võtame oma 2 korda 2 maatriksi.

Ning selle elemendid on a, b, c ja d.

Mis selle maatriksi pöördmaatriks on?

See on loodetavasti praeguseks teile juba selge.

See on 1 jagatud a determinandiga, korrutatud a abimaatriksiga.

Praegusel juhul tuleb lihtsalt need kaks elementi omavahel vahetada.

Nii et meil on d ja a.

Need kaks elementi tuleb teha vastupidisteks.

Siia tuleb miinus c ja miinus b.

Minu küsimus on, et millisel juhul oleks terve see

avaldis defineerimata?

Vahet pole, millised numbrid mul siin oleks. Kui mul on

numbrid mis a defineerivad, siis nähtavasti saan

ma neid vahetada või teha negatiivseks ja see ei muudaks

avaldise seda osa.

Mis aga tekitaks probleemi, on kui me üritaks

siin jagada 0-ga.

Kui maatriksi A determinant ei oleks defineeritud.

Seega A pöördmaatriksit ei saa defineerida siis ja ainult-- matemaatikas

kirjutatakse seda mõnikord kahe f-ga-- siis ja ainult siis kui

A determinant on võrdne 0ga.

Teine viis seda vaadelda on, kui maatriksi determinant võrdub 0ga,

siis see maatriks on singulaar-

maatriks ja tal ei ole pöördmaatriksit või ta pöördmaatriks ei ole defineeritud.

Mõtleme selle peale kontseptuaalsetes mõistetes, vähemalt

need kaks probleemi, mida me oleme vaadelnud, mida nulldeterminant

tähendab ja vaatame kas me saame natuke intuitsiooni

miks pöördmaatriksit ei leidu.

Mis on nulldeterminant?

Sellel juhul, mis on selle 2 korda 2 determinandiks?

A determinant võrdub millega?

See võrdub ad miinus bc.

Seega on see maatriks singulaarne, ehk tal puudub pöördmaatriks, kui

see avaldis võrdub nulliga.

Las ma kirjutan selle siia.

Kui ad on võrdne bc-ga-- me võime lihtsalt manipuleerida nendega,

ning me võiksime öelda et kui a/b = c/d-- ma jagasin

mõlemad pooled b-ga ning d-ga-- ehk kui

suhe a:b on sama nagu suhe c:d, siis

pöördmaatriksit ei leidu.

Seda avaldist saab ka teisel kujul kirjutada, kui a/c-- kui ma

jagan mõlemad pooled c-ga ja seejärel d-ga-- on

võrdne b/d-ga.

Teine võimalus kuidas see oleks singulaarne on kui-- ja see on

tegelikult sama.

Kui see on tõene, siis see on ka tõene.

Need on samad.

Lihtsalt üks väike algebraline teisendus.

Kuid kui a ja c suhe on võrdne b ja d suhtega ning

te mõtlete, miks see on sama.

A ja b suhte võrdumine

c ja d suhtega

Kuid igatahes, ma ei taha teid segadusse ajada.

Mõtleme nüüd kuidas see avaldub meie vaadeldavate

probleemide kaudu.

Ütleme et me tahame vaadelda küsimust-- ütleme

et see maatriks kujutab endast lineaar-

võrrandi probleemi.

Hästi, tegelikult, see oleks emb-kumb.

Nii et mul on a, b, c, d korda x, y on võrdne kahe teise

numbriga, mida me ei ole veel kasutanud, e ja f.

Nii et kui meil on see maatriks kujutamas

lineaarvõrrandit, siis see lineaarvõrrand

saaks esitatud kujul a korda x pluss b korda y on võrdne e-ga.

Ja c korda x pluss d korda y on võrdne f-ga.

Ning meil on vaja leida, kus need kaks omavahel lõikuvad.

See oleks lahendus, selle võrrandi

lahend vektorkujul.

Ning et saada visuaalne arusaam sellest kudias need

kaks sirget välja näevad, paneme nad y-lõikaja

tõusu kujule.

Mis sellest saab?

Sel juhul, millega y on võrdne?

y on võrdne miinus a/b, x pluss e/b.

Ma jätan mõned sammud vahele.

Kuid me lahutame ax mõlemast poolest.

Seejärel jagame mõlemad pooled b-ga ja jõuame siiani.

Ning seejärel see võrrand, kui viia see samale kujule,

leida y.

Saame et y on võrdne miinus c/d x pluss f/y.

Mõtleme järele.

Ma peaksin vist värvi vahetama kuna see näeb välja liiga--

Mõtleme millised need kaks võrrandit välja näeksid

kui see pädeb.

Ja me ütlesime et kui see lehtib, siis meil ei ole determinanti

je sellest saab singulaarmaatriks ning tal ei leidu pöördmaatriksit.

Kuna tal ei ole pöördmaatriksit, siis ei saa seda võrrandit lahendada

mõlemaid pooli pöördmaatriksiga korrutades, kuna

pöördmaatriksit ei eksisteeri.

Nii et mõtleme selle üle järele.

Kui see on tõsi, ei ole meil determinanti kuid mida see

intuitiivselt tähendab kui vaadata neid võrrandeid?

Hästi kui a/b võrdub c/d-ga, siis need kaks sirget on

sama tõusuga.

Neil on ühine tõus.

Ehk kui need kaks avaldist on erinevad, siis mida me

neist teame?

Kaks sirget, millel on sama tõus ning erinevad

y-lõikajad, on omavahel paralleelsed ning nad

ei lõiku kunagi.

Nii et las ma joonistan nad, et te näeksite-- see ülemine sirge--

Nad ei pea olema positiivsed kuid kuna see on negatiivne,

joonistan ma selle negatiivse tõusuna.

See on esimene sirhe.

Ning selle y-lõikaja on e/b.

See on see sirge siin.

Teine sirge aga-- ma teen erineva värviga-- ma

ei tea kas ta on eelmise sirge peal või all, kuid

kindlasti on ta paralleelne.

Ta peaks välja nägema umbes nii.

Ning selle sirge y-lõikaja-- see on see sirge-- selle

sirge y-lõikaja on f/y.

Nii et e/b ja f/y on erinevad kuid mõlemal

sirgel on sama võrrand, nad on paralleelsed

ning nad ei lõiku kunagi.

Nii et tegelikult puuduks sellel lahend.

Kui keegi ütleks teile-- traditsiooonilisel viisil kuidas te

seda tegite, kas siis läbi asendusvõtte või

liitmis-/lahutamisvõtte-- te

ei oleks leidnud lahendit, kus need kaks oleksid lõikunud,

kui a/v on võrdne c/d.

Seega üks viis kuidas singulaarset maatriksit vaadelda on

et teil on paralleelsed sirged.

Kuid siis võite te öelda, kuule Sal, aga need kaks sirget lõikuksid

kui e/b võrduks f/y.

Kui see ja see oleksid samad, siis oleks meil

tegelikult tegemist identsete sirgetega.

Ja nad mitte ainult ei lõikuks, nad lõikuksid

lõpmatu arv punktides.

Kuid ka sel puhul ei oleks teil ühest lahendit.

Selle võrrandi puhul ei leidu lahendit.

See oleks tõene kõigi x ja y väärtuste puhul.

Nii et kui me rakendame maatrikseid selles vallas,

näetegi kohe.

Et maatriks on singulaarne, kui kaks sirget mida see esitab

on kas paralleelsed või

samad.

Kui need on paralleelsed ja ei lõiku.

Või kui nad on täpselt samal sirgel ning lõikuvad

lõpmatul hulgal punktides.

Ning on ju mõistetav, et A

pöördmaatriks ei olnud defineeritud.

Mõtleme selle peale vektorite lineaar-

kombinatsioonide osas.

See ei ole see mida ma tahtsin selle kustutamiseks kasutada.

Kui me mõtleme sellele probleemile läbi lineaar-

kombinatsioonide faktorite, me võime mõelda ka nii.

See on sama nagu vektor ac korda x pluss

vektor bd korda y, on võrdne vektoriga ef.

Mõtleme selle peale natuke.

Ütleme, et kas on olemas kombinatsiooni vektorist ac

ning vektorist bd mis võrdub vektoriga ef.

Kuid me just ütlesime ju et kui meil puudub pöördmaatriks, me teame

seda kuna determinant on 0.

Ning kui determinant on 0, siis me teame selles olukorras

et a/c peab olema võrdne b/d-ga.

Nii et a/c on võrdne b/d-ga.

Mida see meile ütleb?

Joonistame selle.

Võib-olla oleksid numbrid siin natuke rohkem abiks.

Kuid ma usun et te saate intuitsiooni kätte.

Joonistan esimese veerandi.

Ma eeldan, et mõlemad vektorid asuvad esimeses veerandis.

Las ma joonistan.

Vektor ac.

Ütleme et see on a.

Las ma teen erineva värviga.

Nii et ma joonistan vektori ac.

Seega see on a ja see on v, nii et vektor

ac näeb välja selline.

Las ma joonistan selle.

Ma tahan et see oleks ilus.

Selline on vektor ac.

Siin on meil nool.

Milline näeb välja vektor bd?

Vektor bd-- ja ma võiksin joonistada

selle suvaliselt kuskile.

Kuid me oletame, et ei ole derivaati-- vabandust,

determinant puudub.

Kas ma olen kasutanud sõna derivaat terve selle aja?

Ma loodan, et mitte.

Nii, me oletame, et sellel maatriksil

puudub determinant.

Nii et kui determinant puudub, siis teame et

a/c on võrdne b/d-ga.

Või et c/d on võrdne d/bga.

Mida see meile ütleb, et mõlemad vektorid

on sama tõusuga.

Nii et kui nad mõlemad algavad punktist 0, siis nad mõlemad

liiguvad samas suunas.

Neil võib olla erinev pikkus, kuid

nende suund on sama.

Nii et kui see on punkt b ja see on punkt d, siis vektor bd

asub siin.

Kui see pole teie jaoks ilmselge, mõelge natuke

miks need kaks vektorid, kui see on tõsi, miks nad näitavad

samasse suunda?

See vektor kattub.

Tal on sama suund kuid

tal on erinev pikkus.

Tal võib olla ka sama pikkus.

Minu küsimus teile on, vektor ef, me ei tea, kus

vektor ef asub.

Võtame ühe suvalise punkti.

Ütleme, et see on e ja see on f.

See siin üleval on vektor ef.

Kasutan jällegi erinevat värvi.

Ütleme, et vektor ef on siin.

Seega on minu küsimus teile, kui need kaks vektorit on

samas suunas.

Võib-olla erineva pikkusega.

Kas on olemas viisi nende vektorite kombinatsioonide liitmiseks või lahutamiseks

et jõuda selle vektorini?

Hästi, te võite neid vektoreid liigutada ja liita.

Ja kõik mida te saavutate, on et te liigute mööda seda sirget.

Te võite saada suvalise teise vektori.

On olemas nende vektorite kordne.

Kuna aga nad on täpselt samas suunas, siis ei saa

te ühtegi vektorit, mis asub mõnes teises suunas.

Ehk et kui see vektor asub teises suunas, siis

siin lahend puudub.

Kui see vektor asuks samas suunas

selle vektoriga, siis lahend eksisteeriks, kus te saaksite

need lükata.

Tegelikult oleks sel puhul lõpmata arv lahendeid.

x ja y puhul.

Kuid kui vektor on natuke erinev oma

suuna osas, siis lahend puudub.

Ei ole olemas kombinatsiooni sellest vektorist ja sellest

vektorist mida saab liita et saada see vektor..

Ning see on miski mille peale teil tuleb natuke mõtelda.

See võib olla silmnähtav.

Kuid teine viis selle peale mõtlemiseks on, kui te üritate

võtta vektorite summat, ükskõik millist teist vektorit, et liikuda

selles suunas, siis on teil vaja natuke sellest suunast ja

natuke sellest teisest suunast, et saada mõne

teise vektorini.

Kui mõlemad teie koostisvektorid oleksid sama

suunaga, siis ei ole võimalik saada erinevat vekorit.

Igatahes, nüüdma vist juba teen nõiaringi oma

seletustega.

Kuid loodetavasti annab see teile natuke intuitsiooni

hästi, esiteks, nüüd teate mis on singulaarne maatriks.

Te teate millisel juhul ei leidu selle pöördmaatriksit.

Te teate et kui determinant on 0, ei saa

pöördmaatriksit leida.

Ja loodetavasti-- ning see oli terve selle video

eesmärk-- teil on intuitsioon, miks see nii on.

Kuna kui te vaatate vektoreid, ei ole olemas

viisi leidmaks-- et kas ei ole lahendit

vektorite kombinatsiooni leidmiseks, mis viiks teid

selle vektorini või siis oleks tegemist lõpmatu arvuga.

Sama asi kehtib ka kahe sirge

lõikepunkti leidmisel.

Nad on kas paralleelsed või on tegemist ühe ja sama sirgega, kui

determinant on 0.

Igatahes, kohtume järgmises videos.