Singular Matrices

Es mas interesante que encontrar el inverso de un

Quizás aún más interesante que encontrar la inversa de una

matriz está tratando de determinar cuándo una inversa de una matriz

no existe. O cuando es indefinido.

Y una matriz cuadrada para la que no hay inversa, de los cuales

una inversa no está definido se denomina matriz singular.

Así que vamos a pensar en lo que es una matriz singular se verá

gusta, y cómo se aplica a los diferentes problemas que

hemos de direcciones utilizando matrices.

Así que si tuviera los otros 2 por 2, porque eso es

sólo un ejemplo más sencillo.

Pero en realidad se traslada a cualquier tamaño de la matriz cuadrada

Así que vamos a tomar nuestra matriz 2 por 2.

Y los elementos son a, b, c y d.

¿Cuál es la inversa de la matriz?

Esperamos que esto es un poco de una segunda naturaleza para usted ahora.

Es 1 sobre el determinante de una, veces el adjunto de un.

Y en este caso, que acaba de cambiar estos dos términos. Así que

tienen un d y un una.

Y que estos dos términos negativos.

Así que hay menos C y B menos.

Así que mi pregunta es, ¿qué hará este completo

expresión no definida?

Bueno, no importa qué número tengo. Si tengo

números aquí que marcan la define, entonces, obviamente, puede

intercambiarlos o hacerlos negativo, y no va a cambiar

esta parte de la expresión.

Pero lo que crearía un problema si intentáramos

dividir por 0 aquí.

Si el determinante de la matriz A no estaban definidos.

Así que una inversa está definida, si y sólo si - y en matemáticas se

a veces escribir que si con dos f's - si y sólo si el

determinante de A es igual a 0.

Así que la otra manera de ver esto es, si un determinante de cualquier

matriz es igual a 0, entonces esa matriz es singular

matriz, y no tiene inversa, o el inverso no está definido.

Así que vamos a pensar en términos conceptuales, al menos la

dos problemas que hemos visto, lo que es un determinante 0

medios, y ver si podemos conseguir un poco de intuición para

por qué no hay inversa.

Entonces, ¿qué es un determinante 0?

En este caso, lo que es un factor determinante de este 2 por 2?

Bueno, el determinante de A es igual a qué?

Es igual a menos ad y bc.

pausa

Así esta matriz es singular, o que no tiene inversa, si este

expresión es igual a 0.

Así que permítanme que escribir aquí.

Así que si el anuncio es igual a BC - o simplemente podemos manipular las cosas,

y podríamos decir si a / b es igual a c/d-- yo dividido

ambos lados por b, y divide ambos lados por d - por lo que si el

elación de a: b es la misma que la relación de c: d, entonces este

no tendrá inversa.

O de otra manera podríamos escribir esta expresión, si a/c-- si

dividir ambos lados por c, y dividir ambos lados por d - se

igual a b / d.

Así que otra manera de que esto sería singular es que si - y es todo

en realidad la misma manera.

Si esto es cierto, entonces esto es cierto.

Estos son los mismos.

Sólo un poco de manipulación algebraica.

Pero si la relación de a: c es igual a la relación de b: d, y

usted puede pensar acerca de por qué esa es la misma cosa.

La relación de a: b es la misma cosa que

la relación de c: d.

Pero de todos modos, yo no quiero confundirte.

Pero vamos a pensar en lo que se traduce en algunos de los

problemas que nos parecía.

Así que digamos que hemos querido ver el problema - Vamos a

decir que tuvimos esta matriz representa el lineal

ecuación problema.

Bueno, en realidad, éste sería uno u otro.

Así que tengo a, b​​, c, d x veces, y es igual a las otras dos

números que no hemos utilizado todavía, ey f.

Así que si tenemos esta ecuación representa la matriz

problema de la ecuación lineal, entonces el problema de la ecuación lineal

se traduciría un veces x más b veces y es igual a e.

Y c x veces más d veces y es igual a f.

Y nos gustaría ver que estos dos se cruzan.

Eso sería la solución, el vector

solución a esta ecuación.

Y así, sólo para obtener una comprensión visual de lo que estos

dos líneas parecer, vamos a ponerlo en la

y pendiente-intersección.

Así que esto se convertiría en qué?

En este caso, y es igual a lo que?

y es igual a menos a / b, x más e / b.

Sólo estoy omitiendo algunos pasos.

Pero le reste hacha por ambos lados.

Y luego divide ambos lados por b, y te entiendo.

Y entonces esta ecuación, si lo pones en la misma forma, sólo

resolver para y.

Usted consigue y es igual a menos c / d x más f / y.

Así que vamos a pensar en esto.

Probablemente debería cambiar de color porque se ve demasiado -

Vamos a pensar en lo que estas dos ecuaciones se vería

Si esto es.

pausa

Y nos dijo que si esto se cumple, entonces no tenemos determinante,

y esto se convierte en una matriz singular, y que no tiene inversa.

Y puesto que no tiene inversa, no se puede resolver esta ecuación

multiplicando ambos lados por el inverso, porque la

inversa no existe.

Así que vamos a pensar en esto.

Si esto es cierto, no tenemos determinante, pero sí lo

Eso significa intuitivamente en términos de estas ecuaciones?

Bueno, si a / b es igual a c / d, estas dos líneas tendrán la

misma pendiente.

Ellos tendrán la misma pendiente.

Así que si estas dos expresiones son diferentes, entonces lo que hacemos

sabemos de ellos?

Si dos líneas que tienen la misma pendiente y diferentes

intersecciones, son paralelas entre sí, y lo harán

nunca, nunca se cruzan.

Así que permítanme que llamar, sólo para obtener el - esta línea top -

Ellos no tienen que ser números positivos, pero como este tiene un

negativo, lo voy a dibujar como una pendiente negativa.

Así que esa es la primera línea.

Y su intersección con el eje en este e / b.

pausa

Es esta línea aquí.

Y luego la segunda línea - déjenme hacerlo en otro color - I

No sé si esto va a estar por encima o por debajo de esa línea, pero

que va a ser paralelos.

Se verá algo como esto.

pausa

Y esa línea de intersección - por lo que es esta línea - que

y la línea de intersección que va a ser f / y.

Así que si e / b, f / y son términos diferentes, pero ambos

líneas tienen la misma ecuación, que van a ser paralelas

y que nunca se cruzan

Así que en realidad no habría solución.

Si alguien te dijo - de la manera tradicional que has

hecho, ya sea por sustitución o por medio de

sumar o restar las ecuaciones lineales - que

no sería capaz de encontrar una solución en la que estos dos

cruzan, si a / b es igual a c / d.

Así que una manera de ver la matriz singular es que se

tienen líneas paralelas.

Bueno, entonces usted podría decir: hey Sal, pero lo haría estas dos líneas

si se cruzan e / b igualado f / y.

Si este y este fuera el mismo, entonces éstos

en realidad ser las líneas idénticas.

Y no sólo se entrecruzan, lo harían

intersectan en un número infinito de lugares.

Pero aún así no tendría solución única.

Usted no tendría una solución a esta ecuación.

Sería cierto en todos los valores de x e y.

Así que usted puede tipo de vista que cuando se aplica a las matrices

este problema.

La matriz es singular, si las dos líneas que se están

representados son paralelos, o son el

misma línea exacta.

Son paralelos y no se cortan en absoluto.

O son exactamente la misma línea, y se cortan en un

número infinito de puntos.

Y así es como que tiene sentido que la A

inversa no se definió.

Así que vamos a pensar acerca de esto en el contexto de la lineal

combinaciones de vectores.

Eso no es lo que quería utilizar para borrarlo.

pausa

Así que cuando pensamos en este problema en términos de lineal

combinación de factores, se puede pensar que es así.

Que esto es lo mismo que el vector x ac veces más el

vector bd veces y, es igual a la ef vector.

Así que vamos a pensar un poco.

Estamos diciendo, hay alguna combinación de los ac vector

y la bd vector que es igual al vector ef.

Pero acaba de decir que si no tenemos inverso aquí, sabemos

que debido a que el determinante es 0.

Y si el determinante es 0, entonces sabemos que en esta situación

que a / c debe ser igual a b / d.

Entonces, a / a es igual a b / d.

Entonces, ¿qué nos dice eso?

Pues déjenme dibujarlo.

Y tal vez los números sería más útil aquí.

Pero creo que obtendrá la intuición.

Voy a dibujar el primer cuadrante.

Voy a suponer que ambos sectores están en el primer cuadrante.

Déjame dibujar.

dubujar

El vector de corriente alterna.

Digamos que esta es una.

Déjame hacerlo en un color diferente.

Así que voy a señalar a la ac vector.

Así que si se trata de un, y esto es c, entonces el vector

ac se ve así.

Déjame dibujar.

Quiero dejar esto limpio.

El aire acondicionado vector es así.

Y luego tenemos la flecha.

¿Y cuál sería el vector bd parece?

pausa

Bueno, la bd vector - Y yo podría dibujar

arbitrariamente en algún lugar.

Pero estamos suponiendo que no hay derivada - lo siento,

no determinante.

¿He estado diciendo derivado todo el tiempo?

Espero que no.

Bueno, estamos suponiendo que no hay

determinante de esta matriz.

Así que si no hay determinante, sabemos que

a / c es igual a b / d.

O otra manera de ver es que c / d es igual a d / b

Pero lo que usted dice es que estos dos vectores

tipo de tener la misma pendiente.

Así que si los dos empiezan en el punto 0, van a ir en la

misma dirección.

Puede ser que tengan una magnitud diferente, pero estamos pasando

para ir en la misma dirección.

Así que si este es el punto B, y este es el punto D, el vector es bd

va a estar aquí.

Y si eso no te resulta obvio, piensa un poco sobre

por qué estos dos vectores, si esto es cierto, van a apuntar en

la misma dirección.

Así que el vector se va a solapan esencialmente.

Se va a tener la misma dirección que este vector, pero

que sólo va a tener una magnitud diferente.

Se podría tener la misma magnitud.

Así que mi pregunta es, vector ef, no sabemos dónde

vector ef es.

Bueno, vamos a escoger un punto arbitrario.

Digamos que este es e, y esto es f.

Así que este es el vector ef allí.

Déjame hacerlo en un color diferente.

Vector ef, digamos que está ahí.

pausa

Así que mi pregunta es, si estos dos vectores están en el

misma dirección.

Tal vez de diferente magnitud.

Hay alguna manera de que usted puede agregar o restar combinaciones

de estos dos vectores para llegar a este vector?

Pues no, usted puede escalar estos vectores y agregarlos.

Y todo lo que vamos a hacer es una especie de movimiento a lo largo de esta línea.

Se puede llegar a cualquier otro vector.

Hay un múltiplo de uno de estos vectores.

Pero debido a que se trata de la misma dirección exacta,

no se puede llegar a cualquier vector que está en una dirección diferente.

Así que si este vector es en una dirección diferente, hay

ninguna solución aquí.

Si este vector sólo pasó a ser en la misma dirección que

esto, entonces no sería una solución, en la que sólo podría

escalar esos.

En realidad, habría un número infinito de soluciones

en función de x e y.

Pero si el vector es ligeramente diferente, en términos de su

dirección, entonces no hay ninguna solución.

No hay combinación de este vector y el vector de esta

que se suman a esta.

Y es algo para lo piensas un poco.

Puede ser que sea obvio para usted.

Pero otra manera de verlo es pensar, cuando usted está tratando de

tomar sumas de vectores, cualquier otro vector, con el fin de mover

en ese sentido, hay que tener un poco de un

dirección y un poco de otra dirección, para llegar a

cualquier otro vector.

Y si ambos vectores sus ingredientes son los mismos

dirección, no hay manera de llegar a una diferente.

De todos modos, estoy probablemente sólo ser circular en lo que estoy

explicando.

Pero espero que te da un poco de una intuición de

así, uno, ya sabes lo que es una matriz singular es.

Usted sabe cuando usted no puede encontrar su inversa.

Usted sabe que cuando el determinante es 0, no podrá

encontrar un inverso.

Y es de esperar - y este fue el punto central de este

video - tiene una intuición de por qué es así.

Porque si usted está buscando en el problema vector, no hay

manera que usted puede encontrar - que, o bien no hay una solución a

encontrar la combinación de los vectores que se llega a que

vector, o hay un número infinito.

Y lo mismo es cierto de encontrar la

intersección de dos líneas.

Son ya sea en paralelo, o son la misma línea, si el

determinante es 0.

De todos modos, voy a ver en el siguiente video.

adios!