Singular Matrices

.

ربما ان الشيئ الممتع اكثر من ايجاد معكوس

المصفوفة هو محاولة تحديد متى يكون معكوس المصفوفة

غير موجوداً، او عندما يكون غير معرفاً

والمصفوفة المربعة لا يوجد لها معكوس، حيث ان

المعكوس عندما يكون غير معرفاً تسمى المصفوفة المفردة

اذاً دعونا نفكر في كيف تبدو المصفوفة المفردة

وكيف ان ذلك يطبق على المسائل المختلفة التي

وضعناها باستخدام المصفوفات

فاذا كان لدي مصفوفة 2×2، لأن هذا

المثال الابسط

لكن يمكن تطبيقه على اي حجم للمصفوفة المربعة

اذاً دعونا نأخذ مصفوفة 2×2

والعناصر هي a, b, c و d

ما هو معكوس هذه المصفوفة؟

اتمنى ان هذا بديهي بالسبة لكم

انه 1 / محدد a × مساعد a

وفي هذه الحالة، تقوم بتبديل هذان الحدان، اذاً

لدينا a d و a

وتجعل هذن الحدان سالبان

اذاً لدينا -c و -b

وسؤالي لكم هو، ما الذي سيجعل كل هذه

العبارة غير معرفة؟

حسناً، لا يهم ما هي الاعداد التي لدي، اذا كان لدي

اعداد هنا تجعلها معرفة، بالتالي يمكنني بكل وضوح ان

اقلبهم او اجعل اشارتهم سالبة، ولن يغير

هذا الجزء من العبارة

لكن ما يمكن ان ينشئ مشكلة هو اذا اردنا ان

نقسم على 0 هنا

اذا كان محدد المصفوفة A غير معرفاً

اي معكوس A يكون غير معرفاً، اذا وفقط اذا

اذا وفقط اذا

كان محدد A يساوي 0

الطريقة الاخرى لتصور هذا هي، اذا كان محدد اي

مصفوفة يساوي 0، بالتالي هذه المصفوفة تكون

مصفوفة مفردة، وليس لها معكوساً، او ان المعكوس غير معرفاً

لذا دعونا نفكر في مفاهيم العبارات، على الاقل

بالنسبة للمسألتان اللتان تطرقنا لهما، ماذا يعني المحدد 0

ونرى اذا كان بامكاننا الحصول على بعض البداهة من اجل

تفسير سبب عدم وجود معكوس

اذاً ما هو المحدد 0؟

في هذه الحالة، ما هو محدد مصفوفة 2×2؟

حسناً، كم يساوي محدد المصفوفة A؟

يساوي ad - bc

ad - bc

اذاً هذه المصفوفة مفردة، او ان ليس لديها معكوساً، اذا كانت هذه

العبارة تساوي 0

دعوني اكتب هذا هنا

اذا كان ad = bc --او يمكننا ان نتلاعب بالاشياء

ويمكن ان نقول اذا كان a/b = c/d-- لقد قسمت

كلا الطرفين على b، وقسمت كلا الطرفين على d --اذا كانت

نسبة a:b تكافئ نسبة c:d، بالتالي فإن هذه

لن يكون لها معكوساً

او بطريقة اخرى يمكننا ان نكتب هذه العبارة، اذا a/c --اذا

قسمت كلا الطرفين على c، وقسمت كلا الطرفين على d--

تساوي b/d

طريقة اخرى تكون بها هذه المصفوفة مفردة وهي اذا --و

في الواقع هي نفس الطريقة

اذا كان هذا صحيحاً، بالتالي فإن هذا صحيح

كلاهما متكافئان

هذا مجرد تلاعب جبري

لكن اذا كانت نسبة a:c تساوي نسبة b:d، و

يمكنك ان تفكر في سبب تعادلهما

نسبة a:b تعادل

نسبة c:d

لكن على اي حال، لا اريد ان اربككم

لكن دعونا نفكر في كيفية ترجمة هذا الى بعض

المسائل التي استعرضناها

لذا دعونا نفترض اننا نريد ان ننظر الى المسألة --دعونا

نفترض ان لدينا هذه المصفوفة التي تمثل

مسألة معادلة خطية

حسناً، ستكون اي وحدة

اذا كان لدي a, b, c, d × x, y يساوي عددان آخران

لم نستخدمهما بعد، هما e و f

فاذا كا لدي معادلة هذه المصفوفة التي تمثل

مسألة معادلة خطية، بالتالي فإن مسألة المعادلة الخطية

ستمثل كالتالي (a × x) + (b × y) = e

و (c × x) + (d × y) = f

ونريد ان نرى مكان تقاطعهما

هذا سيكون الحل

اي حل المتجه لهذه المعادلة

وحتى نحصل على فهم مرئي

لشكل هذان الخطان، دعونا نضعها

بنموذج تقاطع y للميل

كم ناتج هذا؟

في هذه الحالة، كم تساوي y؟

y = -a/b x + e/b

لقد تغاضيت عن بعض الخطوات

لكنا طرحنا ax من كلا الطرفين

ومن ثم قسمنا كلا الطرفين على b، ونحصل على هذا

ثم ان هذه المعادلة، اذا وضعناها في نفس النموذج

سنجد y

نحصل على y = -c/d x + f/y

دعونا نفكر في هذا

ربما يجب علي ان اغير الالوان لأنها تبدو

--دعونا نفكر في كيف ستبدوان هاتان المعادلتان

اذا بقي هذا

.

وقد قلنا انه اذا بقي هذا، بالتالي لن يكون لدينا محدد

وتصبح هذه مصفوفة مفردة، وليس لديها معكوساً

وبما انه ليس لديها معكوساً، فلن يكون بامكانك ان تجد هذه المعادلة

عن طريق ضرب كلا الطرفين بالمعكوس، لأن

المعكوس غير موجود

دعونا نفكر بهذا

اذا كان هذا صحيحاً، ليس لدينا محدداً، لكن ماذا

يعني هذا بدلالة هاتان المعادلتان؟

حسناً، اذا كان a/b = c/d، فإن هذان الخطان سيكن لهما

نفس الميل

سيكون لهما الميل نفسه

اذا كانت هاتان العبارتان مختلفتان، فماذا

نعرف عنهما؟

اذا كان خطان لهما الميل نفسه ويختلفان

بتقاطع y، سيكونان متوازيان، و

لن يتقاطعا ابداً

دعوني ارسم ذلك، ونحصل على --هذا الخط العلوي--

لا يجب ان تكون الاعداد موجبة، لكن بما ان هذا يمتلك

اشارة سالبة، فسأرسمه كميل سالب

اذاً هذا هو الخط الاول

وتقاطع y له سيكون e/b

.

هو هذا الخط

ثم الخط الثاني --دعوني ارسمه بلون آخر--

لا اعلم اذا سيكون فوق او تحت ذلك الخط، لكنه

سيكون موازياً له

سيبدو هكذا

سيبدو هكذا

وتقاطع y لذلك الخط --هذا الخط--

تقاطع y لذلك الخط سيكون f/y

اذا كان e/b و f/y عبارات مختلفة، لكن كلا

الخطان لهما نفس المعادلة، سيكونان متوازيان

ولن يتقاطعا

اذاً في الواقع لن يكون هنالك حل

اذا اخبرك احدهم --ان الطريقة التقليدة التي

تستخدمها، سواء عن طريق التعويض، او عن طريق

جمع او طرح المعادلات الخطية--

لن تكون قادرا على ايجاد حل لمكان

تقاطع هذان الخطان، اذا كان a/b = c/d

وطريقة تصور المصفوفة المفردة هي ان يكون

لدينا خطوط متوازية

وربما ستقول، لكن هذان الخطان سوف

يتقاطعا اذا كان e/b = f/y

اذا كان هذا وهذا متكافئان، بالتالي فإن هذه

ستكون الخطوط المطابقة

وليس يتقاطعا وحسب، بل سوف

يتقاطعا في اماكن غير نهائية

لكنه لا يزال الحل الفريد غير موجوداً

لن يكون حل واحد فقط لهذه المعادلة

سيكون صحيحاً لجميع قيم x و y

ويمكنك تصوره عندما تطبق المصفوفات على

هذه المسألة

المصفوفة مفردة، اذا كان الخطان

الممثلان اما متوازيان، او يعتبرا

نفس الخط

انهما متوازيان ولا يتاقطعا ابداً

او انهما انهما فس الخط، ويتقاطعان على

عدد لا نهائي من النقاط

وهذا منطقي ان يكون

معكوس A غير معرفاً

دعونا نفكر في هذا في سياق

المكونات الخطية للمتجهات

هذا ليس ما اردت استخدامه للمسح

.

اذاً عندما نفكر في هذه المسألة بدلالة

المكون الخطي للمتجهات، يمكننا ان نفكر به هكذا

ان هذا يعادل المتجه x × ac +

المتجه y × bd يساوي المتجه ef

اذاً دعونا نفكر بهذا قليلاً

نقول، هل يوجد مكون ما للمتجه ac

والمتجه bd بحيث يساوي المتجه ef

لكننا قلنا انه اذا لم يكن لدينا معكوساً هنا، نحن نعرف

ذلك لأن المحدد هو 0

واذا كان المحدد 0، بالتالي نحن نعلم انه في هذه الحالة

ان a/c يجب ان يساوي b/d

اذاً a/c = b/d

ماذا يوضح لنا هذا؟

حسناً، دعوني ارسمه

وربما ان الاعداد ستكون مساعدة اكثر هنا

لكني اعتقد انك ستحصل على البداهة

سوف ارسم الربع الاول

وسوف افترض ان كلاهما يقعان في الربع الاول

دعوني ارسم

.

المتجه ac

دعونا نفترض ان هذا a

دعوني اضعه بلون آخر

سوف ارسم المتجه ac

اذا كان هذا a، وهذا c، بالتالي فإن المتجه

ac سيبدو هكذا

دعوني ارسمه

اريد رسمه بشكل متقن

المتجه ac سيبدو هكذا

ثم لدينا السهم

وكيف سيبدو المتجه bd؟

كيف سيبدو المتجه bd؟

حسناً، المتجه bd --ويمكنني ان ارسمه

اعتباطياً في اي مكان

لكننا نفترض انه لا يوجد مشتق --آسف

لا يوجد محدد

قلت كنت اقول محدد كل الوقت؟

اتمنى انه ليس كذلك

حسناً، نحن نفترض انه لا يوجد

محدد لهذه المصفوفة

فاذا لم يوجد محدد، نحن نعلم ان

a/c = b/d

او بطريقة اخرى ان c/d = d/b

لكن ما يوضحه هذا هو ان كل من هذان المتجهان

لهما الميل نفسه

فاذا ابتدأ كلاهما من النقطة 0، فسوف يذهبا

بنفس الاتجاه

ربما انهما يختلفان في الحجم، لكنهما سوف

يذهبان بنفس الاتجاه

اذا كانت هذه النقطة b، وهذه النقطة d، فإن المتجه bd

سوف يكون هنا

واذا لم يكن هذا واضحاً لكم، فكروا قليلاً

لما هذان المتجهان سوف يلتقيا في

نفس الاتجاه

اذاً هذا المتجه سوف يكون متداخلاً

سوف يكون له نفس اتجاه هذا المتجه، لكن

سيكون له حجم مختلف

ربما سيكون حجمه مختلف

سؤالي لكم الآن، المتجه ef، لا نعرف اين

المتجه ef

حسناً، دعونا نختار نقطة عشوائية ما

لنفترض انها e، وهذه f

اذاً المتجه ef موجود في الاعلى هنا

دعوني اضعه بلون مختلف

المتجه ef، لفترض انه هنا

.

سؤالي لكم هو، اذا كان هذان المتجهان

بنفس الاتجاه

ربما ان حجمه مختلف

هل هناك اي طريقة يمكنك من جمع او طرح مكونات

هذان المتجهان لكي نحصل على هذا المتجه؟

حسناً لا، يمكنك ان تقيس هذه المتجهات وتجمعهم

وكل ما ستفعله هو التحرك على طول هذا الخط

يمكنك الذهاب لأي متجه آخر

هناك العديد من هذه المتجهات

لكن لأنهما بنفس الاتجاه

فلا يمكنك الوصول لأي متجه يكون باتجاه آخر

فاذا كان هذا المتجه باتجاه آخر

فلن يكون لدينا حل هنا

فاذا حصل وكان اتجاه هذا المتجه نفس

هذا، بالتالي سيكون لدينا حل، حيث يمكنك

قياسهما

في الواقع، سيكون لدينا عدد لا نهائي من الحلول

بدلالة x و y

لكن اذا كان المتجه مختلفاً قليلاً، بدلالة

اتجاهه، بالتالي لن يكون لدينا حل

لا يوجد مكون لهذا المتجه وهذا المتجه

يمكن ان يكون مجموعه يساوي هذا

وهذا شيئ عليك ان تفكر به قليلاً

ربما سيكون واضحاً لكم

لكن هناك طريقة اخرى لتفكروا بها وهي، عندما تحاولون

اخذ مجموع المتجهات، اي متجه آخر، لكي ننقله

لذلك الاتجاه، فيجب ان يكون لدينا

اتجاه واحد واتجاه آخر، حتى نصل الى

اي متجه آخر

واذا كانت كل من عناصر المتجهات بنفس

الاتجاه، فلن يكون لدينا طريقة لنحصل على واحد مختلف

على اي حال، ربما انني محاطاً بما

اوضحه

لكن اتمنى ان هذا اعطاكم بعض البداهة

حسناً، اولاً، انتم الآن تعرفون ما هي المصفوفة المفردة

وتعرفون متى لا يمكنكم ايجاد معكوسها

تعرفون انه عندما يكون المحدد 0، فلن يمكنكم

ايجاد المعكوس

واتمنى --وكان هذا كل شيئ اردت شرحه في هذا

العرض-- انكم الآن حصلتم على البداهة لتفسير هذا

لأنه اذا كنتم تنظرون الى مسألة متجه ، فلا يوجد

طريقة تمكنكم من ايجاد --بأي واحدة، لن يكون هنالك حل

لايجاد مكون المتجهات الذي يوصلكم الى ذلك

المتجه، او ان هنالك عدد لا نهائي من الحلول

ونفس الشيئ يكون صحيحاً لايجاد

تقاطع خطان

انهما اما متوازيان، او انهما نفس الخط، اذا كان

المحدد 0

على اي حال، سأراكم في العرض التالي

.