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证明毕达哥拉斯定理有多少种方法？- 贝蒂·菲

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    欧几里得，
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    十二岁的爱因斯坦，
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    以及美国总统詹姆斯·加菲尔德，
    有什么共同点？
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    他们都对毕达哥拉斯定理
    （勾股定理）做出了精彩的证明，
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    这个定理是说，对于一个直角三角形，
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    一边的平方加上另一边的平方，
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    等于斜边的平方。
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    换句话说，a²+b²=c²。
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    这是几何学中最基本的定理之一，
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    也是实际应用的基础，
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    比如建造稳定的建筑，
    或对GPS点进行三角测量。
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    这个定理以毕达哥拉斯命名，
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    他是公元前6世纪的希腊哲学家和数学家，
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    但是该定理在此之前的
    1000多年就出现了。
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    公元前1800年的巴比伦石板上列出了
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    满足该定理的15组数字。
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    一些历史学家认为，
    古埃及勘测员
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    利用譬如3，4，5的数组，
    来形成直角。
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    该理论认为勘测员可以伸展
    一个被绳结分成12份的绳子，
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    来形成边长为3，4，5的三角形。
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    根据毕达哥拉斯的逆定理，
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    这就可以形成一个直角三角形，
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    因此，便可形成直角。
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    已知最早的印度数学记录
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    出现在公元前800至600年间，
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    其说明穿过正方形对角线的绳子，
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    可以产生比原来正方形
    面积大一倍的正方形。
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    这种关系源于毕达哥拉斯定理。
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    但是我们怎么知道这个定理
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    对平面上的每个直角三角形都成立，
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    而不是一些数学家和勘测员所推测的呢？
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    因为我们可以证明它。
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    利用现有的数学定理和逻辑，
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    我们可以证明该定理总是成立。
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    经典证明是毕达哥拉斯自己做出的，
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    他利用了一种名叫排列的证明方法。
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    取四个全等的直角三角形，
    两边分别长a和b，
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    斜边长c。
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    将它们排列，
    使它们的斜边形成一个正方形。
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    这个正方形的面积是c²。
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    现在，重新将三角形排列成两个长方形，
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    让各边形成一个小的正方形。
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    这些正方形的面积分别为a²和b²。
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    这就是关键。
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    图形的总面积没有改变，
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    三角形的面积没有改变。
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    所以第一幅图中的空白部分，c²，
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    必须等于另一幅图中的空白部分，
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    a² + b²。
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    另一种证明来自希腊数学家欧几里得，
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    这种证明也被2000年后12岁的
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    爱因斯坦提出。
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    这种证明将一个直角三角形
    分为两个部分，
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    利用了如下定理，
    如果两个三角形对应的角
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    相同，
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    那么它们的边的比例也是相同的。
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    所以对这三个相似三角形，
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    你可以写出它们的边的表达式。
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    下一步，整理各项。
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    最后，将两式相加，化简得到
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    ab²+ac²=bc²,
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    或a²+b²=c².
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    还有一种用了曲面细分法，
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    这是一种重复几何图案的
    更加视觉化的证明。
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    你能看出这是怎么办到的吗？
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    如果你想花些时间思考一下，
    请暂停视频。
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    这是答案。
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    深灰色正方形是a²，
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    浅灰色正方形是b²。
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    蓝色画出的正方形是c²。
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    每个蓝色画出的正方形
    正好包含了一个深灰色正方形和
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    一个浅灰色正方形，
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    再次证明了毕达哥拉斯定理。
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    如果你真的想说服自己，
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    你可以建个转台，
    上面有三个相同深度的正方形盒子，
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    它们考一个直角三角形相连。
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    如果你在最大的正方形内装满水，
    并转动转台，
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    最大的正方形内的水会
    正好装满另外两个小的正方形。
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    毕达哥拉斯定理有超过350个证明，
    还有更多，
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    从及其聪明的，到有些难懂的。
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    你能提出一个新的证明吗？
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证明毕达哥拉斯定理有多少种方法？- 贝蒂·菲
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欧几里得，12岁的爱因斯坦，以及美国总统詹姆斯 加德菲尔有什么共同点？他们都对毕达哥拉斯定理——几何学中最基本的原理之一，还是譬如建造稳定建筑、对GPS观测点进行三角测绘等的实际应用的基础——做出了漂亮的证明。Betty Fei详细阐述了这三种有名的证明。

课程教授：Betty Fei，动画制作：Nick Hilditch。

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