Quantas maneiras há de provar o teorema de Pitágoras? — Betty Fei

Vejam a lição completa em: https://ed.ted.com/lessons/how-many-ways-are-there-to-prove-the-pythagorean-theorem-betty-fei

O que é que Euclides, Einstein aos 12 anos e o presidente norte-americano James Garfield têm em comum? Todos produziram elegantes provas para o famoso teorema de Pitágoras, uma das regras mais importantes da geometria e a base para aplicações práticas, como a construção de edifícios estáveis e a triangulação das coordenadas GPS. Betty Fei pormenoriza estas três provas famosas.

Lição de Betty Fei, animação de Nick Hilditch.

O que é que Euclides,

o jovem Einstein aos 12 anos

e o presidente norte-americano
James Garfield têm em comum?

Todos eles produziram elegantes provas
para o famoso teorema de Pitágoras,

a regra que diz que,
num triângulo retângulo,

a soma dos quadrados dos dois lados

é igual ao quadrado da hipotenusa.

Por outras palavras,

A ao quadrado mais B ao quadrado
é igual a C ao quadrado.

Esta afirmação é uma das regras
mais importantes da geometria

e a base para aplicações práticas,

como a construção de edifícios estáveis
e a triangulação das coordenadas GPS.

O teorema tem o nome de Pitágoras,

um filósofo e matemático grego
do século VI a.C.,

mas já era conhecido
mais de mil anos antes.

Uma tabuleta babilónica de 1800 a.C.,
lista 15 conjuntos de números

que satisfazem este teorema

Alguns historiadores especulam
que os agrimensores do Egito antigo

usavam um conjunto semelhante
de números — 3, 4, 5 —

para fazer cantos quadrados.

A teoria é que os inspetores
esticavam uma corda

com nós com doze segmentos iguais

para formar um triângulo em que
o comprimento dos lados era 3, 4 e 5.

Segundo o inverso do teorema de Pitágoras,

faziam assim um triângulo retângulo

e, portanto, um canto quadrado.

Os textos matemáticos indianos
mais antigos que se conhecem,

escritos entre 800 e 600 a.C.,

afirmam que uma corda esticada
pela diagonal de um quadrado

produz um quadrado com o dobro
do quadrado inicial.

Esta relação pode ser derivada
do teorema de Pitágoras.

Mas como sabemos
que este teorema é verdade

para todos os triângulos
numa superfície plana,

e não apenas para os que eram conhecidos
desses matemáticos e agrimensores?

Porque podemos prová-lo.

As provas usam a lógica
e regras matemáticas

para demonstrar que um teorema
tem de ser sempre verdadeiro.

Uma prova clássica atribuída
muitas vezes a Pitágoras

usa uma estratégia chamada
prova por rearranjo.

Agarramos em quatro triângulo
retângulos iguais

com os comprimentos dos lados a e b

e o comprimento da hipotenusa c.

Arranjamo-los de modo que a hipotenusa
forme um quadrado inclinado.

A área desse quadrado é c².

Depois rearranjamos os triângulos
em dois retângulos,

deixando os quadrados
mais pequenos de cada lado.

As áreas desses quadrados
são a² e b².

A chave é esta.

A área total da figura não mudou

e as áreas dos triângulos
não mudaram.

Portanto, o espaço vazio num deles, c²

tem de ser igual
ao espaço vazio no outro.

a² + b².

Outra prova provém de um matemático
grego, chamado Euclides

e também foi descoberta fortuitamente
quase 2000 anos depois

por um jovem Einstein, de 12 anos.

Esta prova divide um triângulo retângulo
em dois triângulos

e usa o princípio de que,

se os ângulos correspondentes
de dois triângulos são iguais,

a proporção dos seus lados
também é igual.

Para estes três triângulos equivalentes

podemos escrever estas expressões
para os seus lados:

[AC / CD = BC

[& AB /BD = BC / AB]

A seguir, rearranjamos os termos

e, por fim, somamos as duas equações
e simplificamos

e obtemos AB²+AC²=bc²,

igual a BC²

ou A²+B²=BC².

Esta prova usa a tesselação,

um padrão geométrico repetitivo
para uma prova mais visual.

Estão a ver como funciona?

Suspendam o vídeo, se quiserem
pensar um pouco nisto.

A resposta é esta:

O quadrado cinzento escuro é a²

e o cinzento claro é b².

O que está contornado a azul é c².

Cada quadrado contornado a azul
contém as peças exatas

de um quadrado cinzento escuro
e de um cinzento claro,

provando o teorema de Pitágoras
mais uma vez.

Se vocês gostam de ficarem convencidos,

podem construir uma plataforma giratória

com três caixas quadradas
de igual profundidade,

ligadas umas às outras
em volta de um triângulo retângulo.

Se encherem o quadrado maior
com água e rodarem a plataforma,

a água do quadrado maior
encherá perfeitamente

os dois quadrados mais pequenos.

O teorema de Pitágoras
tem mais de 350 provas,

que vão desde brilhantes a obscuras.

Querem juntar a vossa a esta multidão?