Quantas maneiras existem para comprovar o teorema de Pitágoras? Betty Fei

Veja a lição completa: https://ed.ted.com/lessons/how-many-ways-are-there-to-prove-the-pythagorean-theorem-betty-fei

O que Euclides, Einstein aos 12 anos de idade e o presidente americano James Garfield têm em comum? Eles encontraram evidências requintadas para o famoso teorema de Pitágoras, um dos princípios mais fundamentais da geometria e a base para aplicações práticas, como a construção de prédios estáveis e a triangulação das coordenadas do GPS. Betty Fei detalha essas três comprovações famosas.

Lição de Betty Fei; animação de Nick Hilditch.

O que Euclides,

Einstein aos 12 anos de idade,

e o presidente americano James
Garfield têm em comum?

Todos produziram comprovações requintadas
para o famoso teorema de Pitágoras,

a regra que diz que
para um triângulo retângulo,

o quadrado de um dos lados mais
o quadrado do outro lado

é igual ao quadrado da hipotenusa.

Em outras palavras, a²+b²=c².

Essa afirmação é um dos princípios
mais fundamentais da geometria,

e a base para aplicações práticas,

como a construção de prédios estáveis
e a triangulação das coordenadas do GPS.

O teorema tem esse nome
devido à Pitágoras,

um filósofo e matemático grego
do século 6 a.C.,

mas foi empregado
mais de mil anos antes.

Uma tábua da Babilônia, de cerca
de 1800 a.C., lista 15 grupos de números

que obedecem ao teorema.

Alguns historiadores especulam
que projetistas do antigo Egito

usaram tal grupo de números,
3, 4, e 5 para fazer ângulos retos.

A teoria é que projetistas podiam esticar
uma corda com nós com 12 segmentos iguais

para formar um triângulo com lados
de comprimento 3, 4 e 5.

De acordo com a conversão
do teorema de Pitágoras,

isso gera um triângulo retângulo,

e consequentemente, um ângulo reto.

E os mais antigos textos
matemáticos indianos conhecidos,

escritos entre 800 e 600 a.C.,

afirmam que uma corda esticada
pela diagonal de um quadrado,

gera um quadrado duas vezes
maior do que o original.

Essa relação pode ser deduzida
pelo teorema de Pitágoras.

Mas como sabemos
que o teorema é verdadeiro

para todo triângulo retângulo
numa superfície plana,

e não apenas aqueles que os matemáticos
e projetistas conheciam?

Porque nós podemos comprovar isso.

Comprovações usam regras
matemáticas existentes e lógica

para demonstrarem que o teorema
é verdadeiro o tempo todo.

Uma prova clássica frequentemente
atribuída ao próprio Pitágoras

usa uma estratégia chamada
de comprovação por reagrupamento.

Considere quatro triângulos retângulos
idênticos, com comprimento dos lados a e b

e o comprimento da hipotenusa c.

Arrume-os de modo que suas hipotenusas
formem um quadrado inclinado.

A área desse quadrado é c².

Agora, reorganize esses triângulos
dentro de dois retângulos,

deixando quadrados
menores ao lado deles.

As áreas desses quadrados
são a² e b².

Aqui está o segredo.

A área total da figura não mudou,

e as áreas dos triângulos não mudaram.

Então, o espaço vazio em um, c²,

deve ser igual ao espaço vazio no outro,

a² + b².

Outra confirmação vem do colega
matemático grego Euclides

e de Einstein aos 12 anos de idade,

que também se deparou com uma
comprovação quase 2 mil anos depois.

Essa demonstração divide um triângulo
retângulo em dois outros

e usa o princípio de que se os ângulos
correspondentes de dois triângulos

são equivalentes,

a proporção dos seus lados
é a mesma também.

Então, para esses três
triângulos similares,

você pode escrever essas expressões
para os seus lados.

(Música)

Em seguida, reorganize os termos.

(Música)

E, por fim, some as duas equações
e simplifique-a para obter

ab² + ac² = bc²,

ou a² + b² = c².

Aqui está um modelo
que usa um mosaico,

um padrão geométrico repetitivo
para uma comprovação mais visual.

Você consegue ver como ele funciona?

Pause o vídeo se você quiser
algum tempo para pensar sobre isso.

(Pausa)

Aqui está a resposta.

O quadrado cinza-escuro é a²

e o cinza-claro é b².

O quadrado contornado
em azul é c².

Cada quadrado contornado em azul
contém os pedaços de exatamente

um quadrado cinza-escuro
e um cinza-claro,

comprovando, novamente,
o teorema de Pitágoras.

E se você realmente quiser se certificar,

construa uma mesa giratória com três
caixas quadradas de igual profundidade,

conectadas umas às outras
por um triângulo retângulo.

Se preencher o quadrado maior com água
e girar a mesa giratória,

a água do quadrado maior irá encher
perfeitamente os dois quadrados menores.

O teorema de Pitágoras tem mais de 350
comprovações, e a contagem continua,

desde brilhantes a obscuras.

Você consegue contribuir
com sua própria comprovação?