피타고라스 증명법의 가짓수 |베티 페이(Betty Fei)

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유클리드, 12 살의 아인슈타인, 그리고 미국 대통령 제임스 가필드가 가지는 공통점이 무엇일까요? 그들은 모두 피타고라스 정리를 증명하는 방법을 생각해 냈습니다. 기하학의 가장 기본적인 규칙 중 하나이며 안정된 건물을 짓고 GPS 좌표를 삼각화 하는 것과 같은 실용적인 응용 분야의 기초에 대해 말이죠. 베티 페이는이 세 가지 유명한 증명들을 자세히 설명합니다.

설명: 베티 페이, 애니메이션: 닉 힐디치

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Steph, Jack Ta, Jose Fernandez-Calvo, PnDAA , Marcel Trompeter-Petrovic, Radoslava Vasileva, Sandra Tersluisen, Fabian Amels, Sammie Goh, Mattia Veltri, Quentin Le Menez, Sarabeth Knobel, Yuh Saito, Joris Debonnet, Martin Lõhmus, Patrick leaming, Heather Slater, Muhamad Saiful Hakimi bin Daud, Dr Luca Carpinelli, Janie Jackson, Jeff Hanevich, Christophe Dessalles, Arturo De Leon, Delene McCoy, Eduardo Briceño, Bill Feaver, Ricardo Paredes, Joshua Downing, Jonathan Reshef, David Douglass, Grant Albert, Paul Coupe.

유클리드,

스무살의 아인슈타인,

미국 대통령 제임스 가필드의
공통점은 무엇일까요?

그들은 모두 피타고라스 공식의
증명을 고안해내었습니다.

그 법칙은 직각삼각형에서,

한 쪽변과 다른쪽 변의 제곱의 합이

빗변의 제곱의 합과 같다는 공식입니다.

말하자면, a²+b²=c² 입니다.

이 공식은 기하학의
가장 기본이 되는 공식이고,

실용적인 응용의 기본이 됩니다.

견고한 건물의 건설과
GPS의 좌표 설정처럼 말입니다.

이 공식의 이름은 기원전 6세기의
그리스 철학자와 수학자인

피타고라스의 이름을 따서 지었습니다.

그러나 이것은 천년 정도
먼저 알려져 있었습니다.

기원전 1800년정도의
바빌로니아 서판에서

이 공식을 만족시키는
15세트의 숫자가 발견되었습니다.

몇 역사학자들은 고대 이집트 측량사들이

3,4,5 등의 숫자를 직각을
만들기 위해 사용했다고 생각합니다.

이론상, 사람들은 12개의
동일한 부분으로 나누어진 줄을

각 변의 길이가 3, 4, 5가 되도록
삼각형을 만들었다고 생각합니다.

피타고라스 공식의 역을 보면,

이 숫자들은 직각삼각형을
만들어야 되고,

결론적으로 직각을 만들게 됩니다.

또한 기원전 800년에서
600년 사이에 쓰여진

최초의 인도 수학서적에 의하면

사각형의 대각선에 줄을 연결한다면

기존의 사각형의 두 배의
넓이를 가진 사각형이 만들어집니다.

그 관계는 피타고라스
공식으로부터 증명이 됩니다.

그러나 우리는 어떻게 모든 평면에서의

모든 직각삼각형에
적용이 되는지 어떻게 알까요?

수학자들이 알아낸
삼각형 말고도 말입니다.

증명할 수 있기 때문이죠.

공식이 언제나 성립한다는 것을
수학적인 논리와

증거에 의해 증명이 되는 것입니다.

가장 일반적인 증명은
피타고라스 자신에게서

삼각형을 재배열하면서 이루어집니다.

직각을 낀 두변이 a,b이고 빗
변이 c인 동일한 직각삼각형들이

4개가 있다고 가정해봅시다.

이 삼각형들을 빗변들이 기울어진
사각형을 이루도록 배열해봅시다.

이 사각형의 넓이는 c²입니다.

이제 두 개의 직각삼각형을 배열해서

양 쪽에 사각형을 만들도록 배치합시다.

이 사각형의 넓이는 a²과 b² 입니다.

여기 해법이 있습니다.

전체 넓이는 변하지 않았고,

삼각형들의 넓이 또한
변하지 않았습니다.

따라서 넓이가 c²인 빈공간은

다른 두 개의 빈공간의
넓이의 합과 같아야 합니다.

a² + b² 으로 말입니다.

다른 증명은 동시대의
그리스 수학자인 유클리드가 했고

이 증명은 거의 2000년 이후

스무 살의 아인슈타인이
우연히 발견했습니다.

이 증명은 직각삼각형 하나를
두 개로 분리합니다.

그리고 이 두 개의 대응되는 각은

같다는 이론을 사용합니다.

대응되는 변들의 비율도 같습니다.

따라서 이 비슷한 삼각형들에 대해서는

그들의 변들을 표현할 수 있습니다.

그 다음, 이들을 재배열합니다.

이 두 공식들을 더한 후 정리하면

ab²+ac²=bc², 또는

a²+b²=c²라는 공식을 얻게 됩니다.

여기 테셀레이션을 이용한
풀이도 있습니다.

기하학적인 패턴을 통해
시각적으로 증명하는 것이죠.

이해가 가시나요?

생각해봐야 할 것 같으면
멈춘 후 생각해 보세요.

여기 답이 있습니다.

짙은 회색 네모는 a²이고

옅은 회색 네모가 b²입니다.

파란색으로 테두리 쳐진
네모는 c² 입니다.

모든 파란색으로 테두리 쳐진 네모는
정확히 하나의 짙은 회색 네모와

옅은 회색 네모를 포함하고,

이로써 피타고라스 공식이 증명됩니다.

스스로 확인하고 싶다면,

여러분은 세 개의
일정한 깊이의 구멍이 있고,

직각삼각형 주위에 연결되어 있는
턴테이블을 만드세요.

가장 큰 구멍에 물을 가득 채우고
턴테이블을 돌리면,

큰 구멍에서의 물이 나머지 두 구멍을
정확히 채우는 것을 알 수 있습니다.

피타고라스 공식은
350가지가 넘는 증명이 있고,

이들은 추상적인 것부터
명확한 것까지 있습니다.

여러분도 증명해 보는 건 어떨까요?