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ピタゴラスの定理の証明方法 ― ベティ・フェイ

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    「理性だけが不滅である」
    ピタゴラス
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    ユークリッドと
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    12歳のアインシュタイン
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    ジェームズ・ガーフィールド米大統領の
    共通点とは？
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    エレガントな方法で
    ピタゴラスの定理の証明をしたことです
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    これは直角三角形における
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    直角と隣り合う一辺の二乗と
    他辺の二乗との和は
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    斜辺の二乗に等しいという規則で
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    つまり A²+B²=C²ということです
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    これは幾何学における
    最も基本的な規則で
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    実務的な応用の基礎となるものです
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    例えば 安定した建物の建造や
    GPS座標の三角測量などで用います
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    定理の名前の由来となった
    ピタゴラスは
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    紀元前６世紀の哲学者で
    数学者でもあります
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    しかし この定理は
    その千年以上前から知られています
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    紀元前1800年頃のバビロニアの
    粘土板にはこの定理を満たす
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    15通りの数字の組み合わせが
    記載されています
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    歴史学者の中には
    古代エジプトの測量士が
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    ３､４､５といった数字の組み合わせで
    直角を作ったと推測する人もいます
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    測量士が12等分に結び目を付けた
    縄を使って
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    辺の長さがそれぞれ
    ３､４､５の三角形を作れたと言うのです
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    ピタゴラスの定理の逆から
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    この三角形は 直角三角形のはずです
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    よって 直角を得られるのです
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    紀元前800年から600年に書かれた
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    知られる限り最古のインドの数学書には
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    正方形の対角に渡した縄を
    １辺とする正方形を作ると
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    元の２倍の面積の
    正方形ができるとしています
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    この関係はピタゴラスの定理から
    導き出せます
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    数学者や測量士が知っていた
    ものだけでなく
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    平面上のどの三角形についても
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    なぜこの定理が
    真であるとわかるのでしょうか
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    証明できるからです
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    証明には数学の既存の定理や
    論理を使って
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    ある命題が常に真であることを示します
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    古典的な証明はピタゴラス自身による
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    再構成という戦略を使います
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    辺の長さがaとbで
    斜辺がcの
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    合同な直角三角形４つを
    考えてみましょう
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    これらの斜辺で
    正方形を作るように並べます
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    このエリアの面積はc²です
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    今度は三角形で
    ２つの長方形を作ると
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    両側に小さな正方形ができますが
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    これらの面積はa² とb²です
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    ここにカギがあります
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    この図形の総面積は変化せず
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    各三角形の面積も変化していません
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    ですから このひとつめの空白部分は
    c²で
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    もう一方の空白部分である
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    a² + b²と等しいはずです
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    別の証明は同じくギリシャの数学者の
    ユークリッドによるもので
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    その約２千年後に
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    12歳のアインシュタインも
    考えた証明です
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    この証明では直角三角形を
    二分して
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    ２つの三角形の
    対応する角が等しいときは
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    ２つの三角形の
    対応する角が等しいときは
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    その辺の比も等しいという
    原理を用います
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    この３つの三角形は相似で
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    辺について
    これらの式で表すことができます
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    次に項を整理します
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    最後に２つの等式を足して
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    AB²+AC²=BC²
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    つまり A²+B²=C²です
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    この証明では 平面充填
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    つまり 幾何学パターンを繰り返して
    視覚的に証明します
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    仕組みはわかりますか？
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    ここでビデオを止めて
    考えてみましょう
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    さて 回答です
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    ダークグレーの正方形はa²
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    ライトグレーのものはb²です
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    青い線で示したものはc²です
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    青い線の正方形は
    ダークグレーの正方形ひとつと
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    ライトグレーの正方形ひとつを
    含んでいて
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    ここでも ピタゴラスの定理を証明できます
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    自分を納得させたいなら
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    直角三角形の周りに
    ３つの正方形の箱をつけた
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    ターンテーブルをつくり
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    一番大きい正方形に水を入れて
    ターンテーブルを回すと
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    その水は残りの２つの正方形を
    完全に満たすはずです
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    ピタゴラスの定理の証明には
    すばらしいものから
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    曖昧なものまで
    350以上の方法があります
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    オリジナルの方法を考えられますか？
  • 4:56 - 4:58
    このレッスンを
    楽しんでいただけましたか？
  • 4:58 - 5:01
    私たちのNPO活動の支援を
  • 5:01 - 5:04
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    ご検討ください
Title:
ピタゴラスの定理の証明方法 ― ベティ・フェイ
Description:

ユークリッドと12歳のアインシュタイン、ジェームズ・ガーフィールド米大統領の 共通点とは何でしょうか？エレガントな方法で、かの有名な「直角三角形の斜辺の二乗は、他の２辺の二乗の和に等しい」というピタゴラスの定理の証明をしたことです。これは幾何学で最も基本的な規則の１つで、例えば 安定した建物の建造やGPS座標の三角測量などの実務的な応用の基礎となります。 ベティ・フェイが３種の有名な証明を解説します。
講師：ベティ・フェイ、アニメーション：ニック・ヒルディッチ
＊このビデオの教材 : https://ed.ted.com/lessons/how-many-ways-are-there-to-prove-the-pythagorean-theorem-betty-fei
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Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
05:17

Japanese subtitles

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